Голоморф (математика)

В математике , особенно в области алгебры , известной как теории групп , то Голоморф из группы представляет собой группа , которая одновременно содержит (копию) группу и ее группу автоморфизмов . Голоморф предоставляет интересные примеры групп и позволяет рассматривать групповые элементы и групповые автоморфизмы в едином контексте. В теории групп для группы голоморф обозначенного может быть описан как полупрямое произведение или как группа перестановок .${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ operatorname {Hol} (G)}$

Hol ( G ) как полупрямое произведение [ править ]

Если это группа автоморфизмов из то${\ displaystyle \ operatorname {Aut} (G)}$${\ displaystyle G}$

${\ Displaystyle \ OperatorName {Hol} (G) = G \ rtimes \ OperatorName {Aut} (G)}$

где умножение дается выражением

${\displaystyle (g,\alpha )(h,\beta )=(g\alpha (h),\alpha \beta ).}$[Ур. 1]

Как правило, полупрямое произведение дается в форме, где и - группы, и является гомоморфизмом, а где умножение элементов в полупрямом произведении задается как${\displaystyle G\rtimes _{\phi }A}$${\displaystyle G}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \phi :A\rightarrow \operatorname {Aut} (G)}$

${\displaystyle (g,a)(h,b)=(g\phi (a)(h),ab)}$

что хорошо определено , так как и поэтому .${\displaystyle \phi (a)\in \operatorname {Aut} (G)}$${\displaystyle \phi (a)(h)\in G}$

Для голоморфа, и является тождественным отображением , поэтому мы явно запрещаем запись в умножении, приведенном в [Ур. 1] выше.${\displaystyle A=\operatorname {Aut} (G)}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi }$

Например,

• ${\displaystyle G=C_{3}=\langle x\rangle =\{1,x,x^{2}\}}$циклическая группа порядка 3
• ${\displaystyle \operatorname {Aut} (G)=\langle \sigma \rangle =\{1,\sigma \}}$ куда ${\displaystyle \sigma (x)=x^{2}}$
• ${\displaystyle \operatorname {Hol} (G)=\{(x^{i},\sigma ^{j})\}}$ с умножением на:

${\displaystyle (x^{i_{1}},\sigma ^{j_{1}})(x^{i_{2}},\sigma ^{j_{2}})=(x^{i_{1}+i_{2}2^{^{j_{1}}}},\sigma ^{j_{1}+j_{2}})}$где показатели взяты по модулю 3 и по модулю 2.${\displaystyle x}$${\displaystyle \sigma }$

Наблюдайте, например,

${\displaystyle (x,\sigma )(x^{2},\sigma )=(x^{1+2\cdot 2},\sigma ^{2})=(x^{2},1)}$

и эта группа не абелева , а , таким образом , что является неабелева группа порядка 6, который, по основной теории групп, должна быть изоморфна к симметричной группе .${\displaystyle (x^{2},\sigma )(x,\sigma )=(x,1)}$${\displaystyle \operatorname {Hol} (C_{3})}$ ${\displaystyle S_{3}}$

Hol ( G ) как группа перестановок [ править ]

Группа G естественным образом действует на себе левым и правым умножением, каждый что приводит к гомоморфизм из G в симметрической группы на основной набор G . Один гомоморфизм определяется как λ : G → Sym ( G ), λ ( g ) ( h ) = g · h . То есть g отображается в перестановку, полученную умножением слева каждого элемента G на g . Аналогично второй гомоморфизм ρ : G→ Sym ( G ) определяется формулой ρ ( g ) ( h ) = h · g ⁻¹ , где обратное равенство гарантирует, что ρ ( g · h ) ( k ) = ρ ( g ) ( ρ ( h ) ( k )) . Эти гомоморфизмы называются левый и правый регулярные представления о G . Каждый гомоморфизм инъективен , и этот факт называется теоремой Кэли .

Например, если G = C ₃ = {1, x , x ² } - циклическая группа третьего порядка, то

• λ ( x ) (1) = x · 1 = x ,
• λ ( x ) ( x ) = x · x = x ² и
• λ ( x ) ( x ² ) = x · x ² = 1,

поэтому λ ( x ) переводит (1, x , x ² ) в ( x , x ² , 1).

Образ Х является подгруппой Sym ( G ) , изоморфной G , и ее нормализатор в Sym ( G ) определяется , чтобы быть Голоморф Н из G . Для каждого n в N и g в G существует h в G такой, что n · λ ( g ) = λ ( h ) · n . Если элемент п голоморфа фиксирует идентичность из G, то для 1 в G ( n · λ ( g )) (1) = ( λ ( h ) · n ) (1), но левая часть равна n ( g ), а правая часть - h . Другими словами, если п в N фиксирует идентичность G , то для каждого г в G , п · λ ( г ) = λ ( п ( г )) · п . Если g , h элементыG , и n является элементом N, фиксирующим тождество G , то применяя это равенство дважды к n · λ ( g ) · λ ( h ) и один раз к (эквивалентному) выражению n · λ ( g · h ), получаем, что n ( g ) · n ( h ) = n ( g · h ). То есть каждый элемент N , фиксирующий тождество G , на самом деле является автоморфизмомиз G . Такое n нормализует λ ( G ), и единственное λ ( g ), которое фиксирует тождество, это λ (1). Установка А быть стабилизатором идентичности, подгруппа , порожденная А и Х ( G ) является полупрямым произведением с нормальной подгруппы Х ( G ) и дополнения A . Поскольку λ ( G ) транзитивна , подгруппа, порожденная λ (G ), а стабилизатор точки A - это все из N , что показывает, что голоморф как группа перестановок изоморфен голоморфу как полупрямому произведению.

Это полезно, но не имеет прямого отношения, что центратор из Х ( G ) в Sym ( G ) является ρ ( G ), их пересечение ρ (Z ( G )) = λ (Z ( G )), где Z ( G ) является центром из G , и что является общим дополнением к обеим из этих нормальных подгрупп N .

Свойства [ править ]

• ρ ( G ) ∩ Aut ( G ) = 1
• Aut ( G ) нормализует ρ ( G ) так, что канонически ρ ( G ) Aut ( G ) ≅ G ⋊ Aut ( G )
• ${\displaystyle \operatorname {Inn} (G)\cong \operatorname {Im} (g\mapsto \lambda (g)\rho (g))}$поскольку λ ( g ) ρ ( g ) ( h ) = ghg ⁻¹ ( - группа внутренних автоморфизмов группы G. )${\displaystyle \operatorname {Inn} (G)}$
• K ≤ G является характеристической подгруппой тогда и только тогда, когда λ ( K ) ⊴ Hol ( G )

Ссылки [ править ]

• Холл, Маршалл младший (1959), Теория групп , Macmillan, MR  0103215
• Бернсайд, Уильям (2004), Теория групп конечного порядка, 2-е изд. , Довер, стр. 87