Из Википедии, свободной энциклопедии
Перейти к навигацииПерейти к поиску

В логике , бесконечно-значная логика (или вещественная логика или бесконечно многозначная логика ) является многозначной логикой , в которой значение истинности содержит непрерывный диапазон. Традиционно, в логике Аристотеля, логика , отличная от бивалентной логики, была ненормальной, поскольку закон исключенного третьего исключал более двух возможных значений (т. Е. «Истинное» и «ложное») для любого предложения . [1] Современная трехзначная логика (тернарная логика) допускает дополнительное возможное значение истинности (т. Е. «Не определился») [2] и является примеромконечнозначная логика, в которой значения истинности дискретны, а не непрерывны. Бесконечнозначная логика включает в себя непрерывную нечеткую логику , хотя нечеткая логика в некоторых ее формах может дополнительно включать в себя конечнозначную логику. Например, конечнозначная логика может применяться в булевозначном моделировании , [3] [4] логиках описания , [5] и дефаззификации [6] [7] нечеткой логики.

История

Исаак Ньютон и Готфрид Вильгельм Лейбниц использовали как бесконечности, так и бесконечно малые, чтобы развить дифференциальное и интегральное исчисление в конце 17 века. Дедекинд , которые определены действительные числа в терминах некоторых множеств из рациональных чисел в 19 - м веке, [8] также разработал аксиому непрерывности о том , что одно правильное значение существует на пределе любых проб и ошибок аппроксимации . Феликс Хаусдорф продемонстрировал логическую возможность абсолютно непрерывногоупорядочение слов, содержащих бивалентные значения, каждое слово имеющее абсолютно бесконечную длину, в 1938 году. Однако определение случайного действительного числа, означающего действительное число, не имеющее никакого конечного описания, остается в некоторой степени парадоксальным . [9]

Ян Лукасевич разработал систему трехзначной логики в 1920 году. Он обобщил систему на многозначную логику в 1922 году и продолжил разработку логики с помощью(бесконечно в пределах диапазона) значения истинности. Курт Гёдель разработал дедуктивную систему , применимую как для конечно-, так и для бесконечнозначной логики первого порядка (формальная логика, в которой предикат может относиться к одному предмету ), а также для промежуточной логики (формальная интуиционистская логика, используемая для предоставления доказательств). такие , как доказательство непротиворечивости для арифметического ), и показал , что в 1932 году логическая интуиция не может быть охарактеризована конечным-значной логикой . [10]

Концепция выражения значений истинности как действительных чисел в диапазоне от 0 до 1 может напомнить о возможности использования комплексных чисел для выражения значений истинности. Эти значения истинности будут иметь мнимое измерение, например между 0 и i . Двух- или многомерная истина потенциально может быть полезна в системах паранепротиворечивой логики . Если бы у таких систем возникли практические приложения, многомерная бесконечнозначная логика могла бы развиться как концепция, независимая от действительной логики. [11]

Лотфи А. Заде предложил формальную методологию нечеткой логики и ее приложений в начале 1970-х годов. К 1973 году другие исследователи применяли теорию нечетких контроллеров Заде к различным механическим и промышленным процессам. Концепция нечеткого моделирования , появившаяся в результате этого исследования, была применена к нейронным сетям в 1980-х и к машинному обучению в 1990-х. Формальная методология также привела к обобщениям математических теорий в семействе нечетких логик с t-нормой . [12]

Примеры

Базовая нечеткая логика - это логика непрерывных t-норм ( бинарные операции на реальном единичном интервале [0, 1]). [13] Приложения, включающие нечеткую логику, включают системы распознавания лиц , бытовую технику , антиблокировочные тормозные системы , автоматические трансмиссии , контроллеры для систем скоростного транспорта и беспилотных летательных аппаратов , интеллектуальные и инженерные системы оптимизации , прогнозирование погоды , ценообразование и оценку рисков. системы моделирования , медицинской диагностики и планирования лечения, системы торговли товарами и многое другое. [14] Нечеткая логика используется для оптимизации эффективности термостатов для управления нагревом и охлаждением, для промышленной автоматизации и управления процессами , компьютерной анимации , обработки сигналов и анализа данных . [15] Нечеткая логика внесла значительный вклад в области машинного обучения и интеллектуального анализа данных . [16]

В бесконечной логике степени доказуемости предложений могут быть выражены в терминах бесконечнозначной логики, которая может быть описана с помощью вычисляемых формул, записанных в виде упорядоченных пар, каждая из которых состоит из символа степени истинности и формулы. [17]

В математике безчисловая семантика может выражать факты о классических математических понятиях и делать их выводимыми с помощью логических выводов в бесконечнозначной логике. Нечеткая логика T-нормы может применяться для исключения ссылок на действительные числа из определений и теорем, чтобы упростить определенные математические концепции и облегчить определенные обобщения. Структура, используемая для безчисловой формализации математических понятий, известна как теория нечетких классов. [18]

Философские вопросы, включая парадокс Сорита , рассматривались на основе бесконечнозначной логики, известной как нечеткий эпистемизм . [19] Парадокс Сорита предполагает, что если добавление песчинки к чему-то, что не является кучей, не может создать кучу, то и куча песка не может быть создана. Поэтапный подход к пределу, при котором правда постепенно «просачивается», имеет тенденцию опровергать это предположение. [20]

При изучении самой логики бесконечнозначная логика помогает понять природу человеческого понимания логических понятий. Курт Гёдель попытался понять человеческую способность к логической интуиции в терминах конечно-значной логики, прежде чем пришел к выводу, что эта способность основана на бесконечнозначной логике. [21] Остаются открытыми вопросы относительно обработки в семантике естественного языка неопределенных истинностных значений. [22]

См. Также

  • Многозначная логика
  • Конечная логика
  • Интуиционистская логика
  • Логическая интуиция
  • Нечеткая логика
  • Нечеткое число
  • Построение t-норм
  • Теория множеств

Ссылки

  1. ^ Вайсштейн, Эрик (2018). «Закон исключенного среднего» . MathWorld - Интернет-ресурс Wolfram.
  2. ^ Вайсштейн, Эрик (2018). «Трехзначная логика» . MathWorld - Интернет-ресурс Wolfram.
  3. ^ Klawltter, Уоррен А. (1976). «Логические значения для нечетких множеств» . Диссертация и диссертации, 2025 . Lehigh Preserve.
  4. ^ Perović, Александар (2006). «Нечеткие множества - булевозначный подход» (PDF) . 4-й совместный сербско-венгерский симпозиум по интеллектуальным системам . Конференции и симпозиумы @ buda University.
  5. ^ Керами, Марко; Гарсия-Серданья, Анхель; Эстева, Фрэнсис (2014). "О конечнозначных логиках нечеткого описания" . Международный журнал приблизительного мышления . 55 (9): 1890–1916. DOI : 10.1016 / j.ijar.2013.09.021 . hdl : 10261/131932 .
  6. ^ Schockaert, Стивен; Янссен, Йерун; Вермейр, Дирк (2012). «Проверка выполнимости в логике Лукасевича как выполнение конечных ограничений». Журнал автоматизированных рассуждений . 49 (4): 493–550. DOI : 10.1007 / s10817-011-9227-0 .
  7. ^ "1.4.4 Дефаззификация" (PDF) . Нечеткая логика . Швейцарский федеральный технологический институт Цюриха. 2014. с. 4.
  8. ^ Джонс, Роджер Бишоп (1996). «Реальные числа - немного истории» .
  9. ^ Ракер, Руди. «разделы 311« Бесконечно малые и сюрреалистические числа »и 317« Случайные действительные числа » ». Бесконечность и разум . Издательство Принстонского университета.
  10. ^ Манкосу, Паоло; Зак, Ричард; Бадеса, Каликсто (2004). «7.2 Многозначные логики». 9. Развитие математической логики от Рассела до Тарского 1900-1935 гг . Развитие современной логики . Издательство Оксфордского университета. С. 418–420. ISBN 9780199722723.
  11. ^ Гершенсон, Карлос. «Многомерная логика: модель паранепротиворечивой логики» . Cogprints Когнитивные науки Архив EPrint.
  12. ↑ Гарридо, Ангел (2012). «Краткая история нечеткой логики» . Revista EduSoft., Редакционная
  13. ^ Cignoli, R .; Эстева, Ф; Godo, L .; Торренс, А. (2000). «Базовая нечеткая логика - это логика непрерывных t-норм и их остатков». Мягкие вычисления . 4 (2): 106–112. DOI : 10.1007 / s005000000044 .
  14. ^ Сингх, Харприт; Gupta, Madan M .; Мейтцлер, Томас; Хоу, Цзэн-Гуан; Гарг, Кум Кум; Соло, Ашу MG (2013). «Реальные приложения нечеткой логики» . Успехи в нечетких системах . 2013 : 1–3. DOI : 10.1155 / 2013/581879 .
  15. ^ Клингенберг, Брайан. «Приложения нечеткой логики» . Инженерный факультет колледжа Кальвин.
  16. ^ Hüllermeier, Eyke (2005). «Нечеткие методы в машинном обучении и интеллектуальном анализе данных: состояние и перспективы» (PDF) . Нечеткие множества и системы . 156 (3): 387–406. DOI : 10.1016 / j.fss.2005.05.036 . Архивировано из оригинального (PDF) 17 мая 2018 года.
  17. ^ Готвальд, Зигфрид (2005). «12. Расширения стиля Pavelka» (PDF) . Многозначная логика . philpapers.org. С. 40–41. Архивировано из оригинального (PDF) 17 мая 2018 года.
  18. ^ Běhounek, Libor (2009). «Бесчисловая математика на основе нечеткой логики с T-нормой» (PDF) . Остравский университет. Архивировано из оригинального (PDF) 17 мая 2018 года.
  19. ^ Макфарлейн, Джон (2010). Нечеткий эпистемизм (PDF) . Порезы и облака . Издательство Оксфордского университета.
  20. ^ Паоли, Франческо (2003). «Действительно нечеткий подход к парадоксу Соритеса». Synthese . 134 (3): 363–387. DOI : 10,1023 / A: 1022995202767 .
  21. ^ Берджесс, Джон. «Трех видов интуиции во взглядах Гёделя на континуум» (PDF) .
  22. ^ «Мораль: адекватная теория должна позволять нашим утверждениям, связанным с понятием истины, быть рискованными: они рискуют оказаться парадоксальными, если эмпирические факты окажутся крайне (и неожиданно) неблагоприятными. Не может быть синтаксического или семантического« сита », которое будет просеивать исключить «плохие» случаи, сохранив «хорошие» ... Я несколько не уверен, существует ли определенный фактический вопрос относительно того, справляется ли естественный язык с пробелами в истинностных значениях - по крайней мере, теми, которые возникают в связи с семантическими парадоксами - по схемам Фреге , Клини , ван Фраассена или, возможно, кого- то другого ". Крипке, Саул (1975). «Очерк теории истины» (PDF) .Журнал философии . 72 (19): 690–716. DOI : 10.2307 / 2024634 . JSTOR  2024634 .