Бесконечное выражение

В математике , бесконечное выражение является выражением , в котором некоторые операторы принимают бесконечное число аргументов , или в которых вложенность операторов продолжает бесконечную глубину. ^[1] Общая концепция бесконечного выражения может привести к некорректно определенным или самосогласованным конструкциям (во многом подобно набору всех наборов ), но есть несколько примеров бесконечных выражений, которые четко определены.

Примеры [ править ]

Примеры четко определенных бесконечных выражений: ^[2]

бесконечные суммы , такие как

{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} = a_ {0} + a_ {1} + a_ {2} + \ cdots \,}

бесконечные продукты , такие как

{\ displaystyle \ prod _ {n = 0} ^ {\ infty} b_ {n} = b_ {0} \ times b_ {1} \ times b_ {2} \ times \ cdots}

бесконечные вложенные радикалы , такие как

{\ displaystyle {\ sqrt {1 + 2 {\ sqrt {1 + 3 {\ sqrt {1+ \ cdots}}}}}}}

бесконечные башни власти , ^[3] такие как

{\ Displaystyle {\ sqrt {2}} ^ {{\ sqrt {2}} ^ {{\ sqrt {2}} ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {\ cdot}}}}}}

бесконечные непрерывные дроби , такие как

{\ displaystyle c_ {0} + {\ underset {n = 1} {\ overset {\ infty} {\ mathrm {K}}}} {\ frac {1} {c_ {n}}} = c_ {0} + {\ cfrac {1} {c_ {1} + {\ cfrac {1} {c_ {2} + {\ cfrac {1} {c_ {3} + {\ cfrac {1} {c_ {4} + \ ddots}}}}}}}},}

где левая рука использует Gauss ' Kettenbruch обозначения . ^[4]

В бесконечной логике можно использовать бесконечные союзы и бесконечные дизъюнкции .

Даже для четко определенных бесконечных выражений значение бесконечного выражения может быть неоднозначным или неопределенным; например, существует несколько правил суммирования, доступных для присвоения значений рядам, и один и тот же ряд может иметь разные значения в соответствии с разными правилами суммирования, если ряд не является абсолютно сходящимся .

С гиперреальной точки зрения [ править ]

С точки зрения гиперреальных чисел такое бесконечное выражение получается в каждом случае из последовательности конечных выражений путем вычисления последовательности при сверхъестественном значении индекса n и применения стандартной части , так что . ^[^{необходима цитата}^] $E_{\infty }$ $(E_{n}:n\in \mathbb {N} )$ $n=H$ $E_{\infty }=\operatorname {st} (E_{H})$

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

↑ Хельмер, Олаф (январь 1938 г.). «Синтаксис языка с бесконечными выражениями» . Бюллетень Американского математического общества (аннотация). 44 (1): 33–34. DOI : 10.1090 / S0002-9904-1938-06672-4 . ISSN 0002-9904 . OCLC 5797393 . CS1 maint: discouraged parameter (link).
^ Эйлер, Леонард (1 ноября 1988 г.). Введение в анализ бесконечного, книга I (в твердом переплете). Дж. Д. Блэнтон (переводчик). Springer Verlag. п. 303 . ISBN 978-0-387-96824-7. CS1 maint: discouraged parameter (link)
↑ Мороний, Лука (2019). «Странные свойства башни бесконечной силы». arXiv : 1908.05559 .
↑ Wall, Hubert Stanley (28 марта 2000 г.). Аналитическая теория непрерывных дробей (твердый переплет). Американское математическое общество. п. 14 . ISBN 978-0-8218-2106-0. CS1 maint: discouraged parameter (link)

[1] Хельмер, Олаф (январь 1938 г.). «Синтаксис языка с бесконечными выражениями» . Бюллетень Американского математического общества (аннотация). 44 (1): 33–34. DOI : 10.1090 / S0002-9904-1938-06672-4 . ISSN 0002-9904 . OCLC 5797393 . CS1 maint: discouraged parameter (link).

[2] Эйлер, Леонард (1 ноября 1988 г.). Введение в анализ бесконечного, книга I (в твердом переплете). Дж. Д. Блэнтон (переводчик). Springer Verlag. п. 303 . ISBN 978-0-387-96824-7. CS1 maint: discouraged parameter (link)

[3] Мороний, Лука (2019). «Странные свойства башни бесконечной силы». arXiv : 1908.05559 .

[4] Wall, Hubert Stanley (28 марта 2000 г.). Аналитическая теория непрерывных дробей (твердый переплет). Американское математическое общество. п. 14 . ISBN 978-0-8218-2106-0. CS1 maint: discouraged parameter (link)

[1]