J-структура

В математике J-структура - это алгебраическая структура над полем, связанная с йордановой алгеброй . Эта концепция была введена Спрингером (1973) для разработки теории йордановых алгебр с использованием линейных алгебраических групп и аксиом, в которых инверсия Йордана была основной операцией, а тождество Хуа - основным отношением. Существует классификация простых структур, вытекающая из классификации полупростых алгебраических групп . Над полями характеристики, отличной от 2, теория J-структур по существу такая же, как и у йордановых алгебр.

Определение [ править ]

Пусть V - конечномерное векторное пространство над полем K, а j - рациональное отображение из V в себя, которое можно выразить в форме n / N, где n - полиномиальное отображение из V в себя, а N - полином от K [ V ]. Пусть H - подмножество GL ( V ) × GL ( V ), содержащее пары ( g , h ) такие, что g ∘ j = j∘ ч : это замкнутая подгруппа продукта и проекция на первый множитель, множество г , которые происходят, является структурная группа из J , обозначается G» ( J ).

J-структура является тройка ( V , J , е ) , где V представляет собой векторное пространство над K , J представляет собой бирациональное отображение из V в себя и е представляет собой ненулевой элемент V , удовлетворяющий следующие условия. ^[1]

• j - однородная бирациональная инволюция степени −1
• j регулярна в e и j ( e ) = e
• если j регулярен в x , e + x и e + j ( x ), то

${\ Displaystyle J (е + х) + j (е + j (х)) = е}$

• орбита G е из е под структурной группой G = G ( J ) является Зарисским подмножеством V .

Норма связана с J-структурой ( V , J , е ) является числителем Н из J , нормированы так , что Н ( е ) = 1. степени от J-структуры является степень N в виде однородного полинома карте. ^[2]

Квадратичное отображение структуры является отображение Р от V до конца ( V ) , определенный в терминах дифференциального г J на обратимом х . ^[3] Положим

${\ Displaystyle P (x) = - (dj) _ {x} ^ {- 1}.}$

Квадратичное отображение оказывается квадратичной полиномиальное отображение на V .

Подгруппа структурной группы G, порожденная обратимыми квадратичными отображениями, является внутренней структурной группой J-структуры. Это замкнутая связная нормальная подгруппа. ^[4]

J-структуры из квадратичных форм [ править ]

Пусть K имеет характеристику, отличную от 2. Пусть Q - квадратичная форма на векторном пространстве V над K с ассоциированной билинейной формой Q ( x , y ) = Q ( x + y ) - Q ( x ) - Q ( y ) и выделенный элемент e такой, что Q ( e,. ) нетривиален. Определим отображение отражения x ^* как

${\ displaystyle x ^ {*} = Q (x, e) ex}$

и отображение инверсии j на

${\ displaystyle j (x) = Q (x) ^ {- 1} x ^ {*}.}$

Тогда ( V , j , e ) - J-структура.

Пример [ править ]

Пусть Q - обычная сумма квадратов, квадратичная функция на K ^r для фиксированного целого числа r , снабженная стандартным базисом e ¹ , ..., e ^r . Тогда ( K ^r , Q , e ^r ) является J-структурой степени 2. Она обозначается O ₂ . ^[5]

Связь с йордановыми алгебрами [ править ]

В характеристике, отличной от 2, которую мы предполагаем в этом разделе, теория J-структур по существу такая же, как и у йордановых алгебр.

Пусть A - конечномерная коммутативная неассоциативная алгебра над K с единицей e . Пусть L ( x ) обозначает умножение слева на x . Существует уникальная бирациональное отображение я на такое , что я ( х ). x = e, если i регулярен на x : он однороден степени −1 и инволюции с i ( e ) = e . Его можно определить как i ( x ) =L ( х ) ^-1 . е . Мы называем я инверсия на A . ^[6]

Йорданова алгебра определяется тождеством ^{[7] [8]}

${\ displaystyle x (x ^ {2} y) = x ^ {2} (xy).}$

Альтернативная характеристика состоит в том, что для всех обратимых x мы имеем

${\ displaystyle x ^ {- 1} (xy) = x (x ^ {- 1} y).}$

Если A - йорданова алгебра, то ( A , i , e ) - J-структура. Если ( V , j , e ) является J-структурой, то существует единственная структура йордановой алгебры на V с единицей e с инверсией j .

Связь с квадратичными йордановыми алгебрами [ править ]

В общей характеристике, которую мы предполагаем в этом разделе, J-структуры связаны с квадратичными йордановыми алгебрами . Под квадратичной йордановой алгеброй понимаем конечномерное векторное пространство V с квадратичным отображением Q из V в End ( V ) и выделенным элементом e . Обозначим через Q также билинейное отображение Q ( x , y ) = Q ( x + y ) - Q ( x ) - Q ( y ). Свойства квадратичной йордановой алгебры будут ^[9][10]

• Q ( e ) = id _V , Q ( x , e ) y = Q ( x , y ) e
• Q ( Q ( x ) y ) = Q ( x ) Q ( y ) Q ( x )
• Q ( x ) Q ( y , z ) x = Q ( Q ( x ) y , x ) z

Мы называем Q ( х ) е в квадрат из х . Если возведение в квадрат доминантное (имеет плотный образ по Зарисскому ), то алгебра называется сепарабельной . ^[11]

Существует единственная бирациональная инволюция i такая, что Q ( x ) i x = x, если Q регулярна в точке x . Как и раньше, i - это инверсия , определяемая как i ( x ) = Q ( x ) ⁻¹ x .

Если ( V , j , e ) - J-структура с квадратичным отображением Q, то ( V , Q , e ) - квадратичная йорданова алгебра. В обратном направлении, если ( V , Q , e ) - сепарабельная квадратичная йорданова алгебра с инверсией i , то ( V , i , e ) - J-структура. ^[12]

H-структура [ править ]

Маккриммон предложил понятие H-структуры , отказавшись от аксиомы плотности и усилив третью (форму идентичности Хуа), чтобы она сохранялась во всех изотопах . Полученная структура категорически эквивалентна квадратичной йордановой алгебре. ^{[13] [14]}

Разложение Пирса [ править ]

J-структура имеет разложение Пирса на подпространства, определяемые идемпотентными элементами. ^[15] Пусть a - идемпотент J-структуры ( V , j , e ), то есть a ² = a . Пусть Q - квадратичное отображение. Определять

${\ displaystyle \ phi _ {a} (t, u) = Q (ta + u (ea)).}$

Это обратимо для ненулевых t , u в K, и поэтому φ определяет морфизм алгебраического тора GL ₁ × GL ₁ во внутреннюю структурную группу G ₁ . Есть подпространства

${\ displaystyle V_ {a} = \ left \ lbrace {x \ in V: \ phi _ {a} (t, u) x = t ^ {2} x} \ right \ rbrace}$

${\ displaystyle V '_ {a} = \ left \ lbrace {x \ in V: \ phi _ {a} (t, u) x = tux} \ right \ rbrace}$

${\ displaystyle V_ {ea} = \ left \ lbrace {x \ in V: \ phi _ {a} (t, u) x = u ^ {2} x} \ right \ rbrace}$

и они образуют разложение V в прямую сумму . Это разложение Пирса идемпотента a . ^[16]

Обобщения [ править ]

Если отбросить условие на выделенный элемент e , мы получим «J-структуры без идентичности». ^[17] Они связаны с изотопами йордановых алгебр. ^[18]

Ссылки [ править ]

• МакКриммон, Кевин (1977). «Аксиомы обращения в йордановых алгебрах». J. Алгебра . 47 : 201–222. DOI : 10.1016 / 0021-8693 (77) 90221-6 . Zbl  0421.17013 .
• МакКриммон, Кевин (1978). «Йордановы алгебры и их приложения» . Бык. Являюсь. Математика. Soc . 84 : 612–627. DOI : 10.1090 / S0002-9904-1978-14503-0 . Руководство по ремонту  0466235 . Zbl  0421.17010 .
• МакКриммон, Кевин (2004). Вкус йордановой алгебры . Universitext. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . DOI : 10.1007 / b97489 . ISBN 978-0-387-95447-9. MR  2014924 . Zbl  1044.17001 . Архивировано из оригинала на 2012-11-16 . Проверено 18 мая 2014 .
• Окубо, Сусуму (2005) [1995]. Введение в октонион и другие неассоциативные алгебры в физике . Серия лекций Мемориала Монтролла по математической физике. 2 . Издательство Кембриджского университета . DOI : 10.1017 / CBO9780511524479 . ISBN 0-521-01792-0. Zbl  0841.17001 .
• Шафер, Ричард Д. (1995) [1966]. Введение в неассоциативные алгебры . Дувр. ISBN 0-486-68813-5. Zbl  0145.25601 .
• Спрингер, Т.А. (1973). Йордановы алгебры и алгебраические группы . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 75 . Берлин-Гейдельберг-Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 3-540-06104-5. Zbl  0259.17003 .