В математике , А локально компактная топологическая группа G обладает свойством (Т) , если тривиальное представление является изолированной точкой в его унитарным двойной оснащен Fell топологией . Неформально это означает, что если G действует унитарно в гильбертовом пространстве и имеет «почти инвариантные векторы», то он имеет ненулевой инвариантный вектор . Формальное определение, данное Давидом Кажданом ( 1967 ), придает этому точное количественное значение.
Хотя изначально свойство (T) определено в терминах неприводимых представлений , его часто можно проверить, даже если нет явных сведений об унитарном двойственном элементе. Свойство (T) имеет важные приложения в теории представлений групп , решетках в алгебраических группах над локальными полями , эргодической теории , геометрической теории групп , расширителях , операторных алгебрах и теории сетей .
Определения
Пусть G является σ-компактно, локально компактная топологическая группа и π: G → U ( Н ) а унитарное представление из G на (комплексном) гильбертовом пространстве H . Если ε> 0 и K - компактное подмножество G , то единичный вектор ξ в H называется (ε, K ) -инвариантным вектором, если
Следующие ниже условия на G эквивалентны тому, что G обладает свойством (T) из Каждана , и любое из них может использоваться как определение свойства (T).
(1) тривиальное представление является изолированной точкой из унитарного двойного из G с Fell топологией .
(2) Любая последовательность непрерывных положительно определенных функций на G , сходящаяся к 1 равномерно на компактных подмножествах , сходится к 1 равномерно на G .
(3) Каждое унитарное представление группы G , имеющее (ε, K ) -инвариантный единичный вектор для любого ε> 0 и любого компактного подмножества K , имеет ненулевой инвариантный вектор.
(4) Существует ε> 0 и компактное подмножество K группы G такие, что любое унитарное представление группы G , имеющее (ε, K ) -инвариантный единичный вектор, имеет ненулевой инвариантный вектор.
(5) Каждое непрерывное аффинно- изометрическое действие группы G на вещественном гильбертовом пространстве имеет неподвижную точку ( свойство (FH) ).
Если Н является замкнутой подгруппой из G , пара ( G , H ) , как говорят, относительное свойство (T) от Маргулиса , если существует е> 0 и компактное подмножество K в G такая , что всякий раз , когда унитарное представление G имеет ап (ε, K ) вектор -инвариантного единица, то она имеет ненулевой вектор , установленный H .
Обсуждение
Из определения (4), очевидно, следует определение (3). Чтобы показать обратное, пусть G - локально компактная группа, удовлетворяющая (3), предположим от противного, что для любых K и ε существует унитарное представление, которое имеет ( K , ε) -инвариантный единичный вектор и не имеет инвариантного вектора . Посмотрите на прямую сумму всех таких представлений, и это отменит (4).
Эквивалентность (4) и (5) (Свойство (FH)) - это теорема Делорма-Гишарде. Тот факт, что (5) влечет (4), требует предположения, что G является σ-компактным (и локально компактным) (Бекка и др., Теорема 2.12.4).
Общие свойства
- Свойство (T) сохраняется при дробей: если G обладает свойством (Т) и Н является фактор - группа из G , то Н обладает свойством (Т). Эквивалентно, если гомоморфный образ группы G имеет не обладают свойством (Т) , то G сама по себе не обладает свойством (T).
- Если G обладает свойством (T), то G / [ G , G ] компактно.
- Любая счетная дискретная группа со свойством (T) конечно порождена.
- Аменабельная группа , которая обладает свойством (Т) обязательно компактно . Аменабельность и свойство (T) в грубом смысле противоположны: они позволяют легко или трудно найти почти инвариантные векторы.
- Теорема Каждана : если Γ - решетка в группе Ли G, то Γ обладает свойством (T) тогда и только тогда, когда G обладает свойством (T). Таким образом, при n ≥ 3 специальная линейная группа SL ( n , Z ) обладает свойством (T).
Примеры
- Компактные топологические группы обладают свойством (T). В частности, круг группа , аддитивная группа Z р из р -адических чисел, компактный специальные унитарных группы SU ( п ) и все конечные группы обладают свойством (T).
- Простые вещественные группы Ли вещественного ранга не менее двух обладают свойством (T). Это семейство групп включает специальные линейные группы SL ( n , R ) для n ≥ 3 и специальные ортогональные группы SO ( p , q ) для p > q ≥ 2 и SO ( p , p ) для p ≥ 3. В более общем случае , это верно для простых алгебраических групп ранга не менее двух над локальным полем .
- Пары ( R n ⋊ SL ( n , R ), R n ) и ( Z n ⋊ SL ( n , Z ), Z n ) обладают относительным свойством (T) при n ≥ 2.
- При n ≥ 2 некомпактная группа Ли Sp ( n , 1) изометрий кватернионной эрмитовой формы сигнатуры ( n , 1) является простой группой Ли вещественного ранга 1, обладающей свойством (T). По теореме Каждана решетки этой группы обладают свойством (T). Эта конструкция важна, потому что эти решетки являются гиперболическими группами ; таким образом, существуют группы, которые являются гиперболическими и обладают свойством (T). Явные примеры групп в этой категории представлены арифметическими решетками в Sp ( n , 1) и некоторыми кватернионными группами отражений .
Примеры групп, не обладающих свойством (T), включают
- Аддитивные группы целых чисел Z , действительных чисел R и p -адических чисел Q p .
- Специальные линейные группы SL (2, Z ) и SL (2, R ) в результате существования представлений дополнительной серии вблизи тривиального представления, хотя SL (2, Z ) обладает свойством (τ) относительно главного сравнения подгруппы по теореме Сельберга.
- Некомпактные разрешимые группы .
- Нетривиальные свободные группы и свободные абелевы группы .
Дискретные группы
Исторически свойство (T) было установлено для дискретных групп Γ путем вложения их в виде решеток в вещественные или p-адические группы Ли со свойством (T). Сейчас доступно несколько прямых методов.
- Алгебраический метод Шалого применяется , когда Γ = SL ( п , R ) с R кольца и п ≥ 3; метод основан на том факте, что Γ может быть ограниченно порожденным , т.е. может быть выражено как конечное произведение более простых подгрупп, таких как элементарные подгруппы, состоящие из матриц, отличающихся от единичной матрицы в одном заданном недиагональном положении.
- Геометрический метод имеет свои истоки в идеях Garland, Громовы и Пирр Панса . Его простейшая комбинаторная версия принадлежит Зуку: пусть Γ - дискретная группа, порожденная конечным подмножеством S , замкнутая относительно обратного преобразования и не содержащая единицы, и определим конечный граф с вершинами S и ребром между g и h, когда g - 1 ч лежит в S . Если этот граф связен и наименьшее ненулевое собственное значение лапласиана соответствующего простого случайного блуждания больше ½, то Γ обладает свойством (T). Более общая геометрическая версия, предложенная Zuk, Ballmann & Swiatkowski (1997) , утверждает, что если дискретная группа Γ действует должным образом разрывно и кокомпактно на стягиваемом 2-мерном симплициальном комплексе с теми же теоретическими условиями, налагаемыми на связь в каждой вершине , то Γ обладает свойством (T). С помощью этого метода можно показать много новых примеров гиперболических групп со свойством (T).
- С помощью компьютера метод основан на предположении по Нарутака Одзава и был успешно реализован несколькими исследователями. Он основан на алгебраической характеризации свойства (T) в терминах неравенства в алгебре вещественных групп , для которого решение может быть найдено путем численного решения задачи полуопределенного программирования на компьютере. Примечательно, что этот метод подтвердил свойство (T) для группы автоморфизмов свободной группы ранга не ниже 5. Человеческое доказательство этого результата не известно.
Приложения
- Григорий Маргулис использовал тот факт, что SL ( n , Z ) (для n ≥ 3) обладает свойством (T) для построения явных семейств расширяющихся графов , то есть графов со свойством, что каждое подмножество имеет равномерно большую «границу». Эта связь привела к ряду недавних исследований, дающих явную оценку констант Каждана , количественную оценку свойства (T) для конкретной группы и порождающего набора.
- Ален Конн использовал дискретные группы со свойством (T), чтобы найти примеры факторов типа II 1 со счетной фундаментальной группой , в частности, не всех положительных вещественных чисел ℝ + . Сорин Попа впоследствии использовал относительное свойство (T) для дискретных групп, чтобы получить фактор типа II 1 с тривиальной фундаментальной группой.
- Группы со свойством (T) приводят к хорошим свойствам перемешивания в эргодической теории : опять же неформально, процесс, который медленно перемешивает, оставляет некоторые подмножества почти инвариантными . [ необходима цитата ] [ требуется пояснение ]
- Точно так же группы со свойством (T) можно использовать для построения конечных наборов обратимых матриц, которые могут эффективно аппроксимировать любую заданную обратимую матрицу в том смысле, что каждая матрица может быть аппроксимирована с высокой степенью точности конечным произведением матриц. в списке или их обратные, так что количество необходимых матриц пропорционально количеству значащих цифр в приближении. [ необходима цитата ] [ требуется пояснение ]
- Группы со свойством (T) также обладают свойством Серра FA . [1]
- Тошиказу Сунада заметил, что положительность нижней части спектра «скрученного» лапласиана на замкнутом многообразии связана со свойством (T) фундаментальной группы . [2] Этот результат наблюдений урожайности Брукса , который говорит , что в нижней части спектра лапласиана на универсальной накрывающей многообразия над замкнутым риманова многообразия М равен нулю тогда и только тогда , когда фундаментальная группа М является поддается . [3]
Рекомендации
- ^ Вататани, Ясуо (1981). «Собственность Т Каждан влечет собственность FA Серра». Математика. Япония . 27 : 97–103. Руководство по ремонту 0649023 . Zbl 0489.20022 .
- ^ Сунада, Тошиказу (1989). «Унитарные представления фундаментальных групп и спектр скрученных лапласианов» . Топология . 28 (2): 125–132. DOI : 10.1016 / 0040-9383 (89) 90015-3 .
- ^ Брукс, Роберт (1981). «Фундаментальная группа и спектр лапласиана». Комментарий. Математика. Helv . 56 : 581–598. DOI : 10.1007 / bf02566228 .
- Ballmann, W .; Swiatkowski, J. (1997), "L 2 когомологий и свойство (Т) для групп автоморфизмов многогранных клеточных комплексов", GAFA , 7 (4): 615-645, CiteSeerX 10.1.1.56.8641 , DOI : 10.1007 / s000390050022
- Бекка, Башир; де ла Харп, Пьер; Валетт, Ален (2008), Свойство Каждана (T) (PDF) , Новые математические монографии, 11 , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-88720-5, MR 2415834
- de la Harpe, P .; Валетт, А. (1989), "Собственная собственность (Т) Каждана для компактов локализации групп (с приложением М. Бургера)", Astérisque , 175.
- Каждан Д. (1967), "О связи двойственного пространства группы со структурой ее замкнутых подгрупп", Функциональный анализ и его приложения , 1 (1): 63–65, doi : 10.1007 / BF01075866МИСТЕР0209390
- Lubotzky , A. (1994), Дискретные группы, расширяющиеся графы и инвариантные меры , Progress in Mathematics, 125 , Basel: Birkhäuser Verlag, ISBN 978-3-7643-5075-8
- Lubotzky , A. и A. Zuk, On property (τ) , монография должна появиться.
- Lubotzky , A. (2005), «Что такое свойство (τ)» (PDF) , AMS Notices , 52 (6): 626–627.
- Шалом, Ю. (2006), "Алгебраизация собственности (T)" (PDF) , Международный конгресс математиков, Мадрид, 2006 г.
- Зук, А. (1996), "Право собственности (T) Каждан для лесных групп на полях полиэдров", CR Acad. Sci. Париж , 323 : 453–458.
- Жук, А. (2003), "Свойство (T) и Каждана константа для дискретных групп", GAFA , 13 (3): 643-670, DOI : 10.1007 / s00039-003-0425-8.