Многогранник Кеплера – Пуансо

Они могут быть получены путем звездообразной формы правильного выпуклого додекаэдра и икосаэдра и отличаются от них наличием правильных пентаграммных граней или фигур вершин . Все они в той или иной мере могут рассматриваться как трехмерные аналоги пентаграммы.

Эти фигуры имеют пентаграммы (звездные пятиугольники) в качестве граней или фигур вершин. Малый и большой звездчатые додекаэдры имеют невыпуклые грани правильной пентаграммы . Большой додекаэдр и большой икосаэдр имеют выпуклые многоугольные грани, но пентаграммные вершинные фигуры .

Во всех случаях две грани могут пересекаться по линии, которая не является краем ни одной из граней, так что часть каждой грани проходит через внутреннюю часть фигуры. Такие линии пересечения не являются частью многогранной структуры и иногда называются ложными ребрами. Точно так же, когда три такие линии пересекаются в точке, которая не является углом какой-либо грани, эти точки являются ложными вершинами. На изображениях ниже показаны сферы в истинных вершинах и синие стержни вдоль истинных краев.

Например, малый звездчатый додекаэдр имеет 12 граней пентаграммы , причем центральная пятиугольная часть скрыта внутри тела. Видимые части каждой грани состоят из пяти равнобедренных треугольников , которые соприкасаются в пяти точках вокруг пятиугольника. Мы могли бы рассматривать эти треугольники как 60 отдельных граней, чтобы получить новый неправильный многогранник, внешне идентичный. Теперь каждое ребро будет разделено на три более коротких ребра (двух разных видов), а 20 ложных вершин станут истинными, так что всего у нас будет 32 вершины (опять же двух видов). Скрытые внутренние пятиугольники больше не являются частью многогранной поверхности и могут исчезнуть. Теперь формула Эйлеравыполняется: 60 − 90 + 32 = 2. Однако этот многогранник больше не является тем, который описывается символом Шлефли {5/2, 5}, и поэтому не может быть телом Кеплера–Пуансо, хотя он все еще выглядит как один из за пределами.

Многогранник Кеплера-Пуансо покрывает описанную сферу более одного раза, при этом центры граней действуют как точки изгиба в фигурах с пентаграммными гранями, а вершины - в остальных. Из-за этого они не обязательно топологически эквивалентны сфере, как Платоновые тела, и, в частности, соотношение Эйлера

не всегда держит. Шлефли считал, что все многогранники должны иметь χ = 2, и отверг малый звездчатый додекаэдр и большой додекаэдр как правильные многогранники. Эта точка зрения никогда не была широко распространена.