Лакунарная функция

В анализе , A лакунарная функция , также известная как лакунарный ряд , является аналитической функцией , которая не может быть аналитический продолжена в любом месте за пределами радиуса сходимости , в которой она определена с помощью степенного ряда . Слово « лакунарный» происходит от слова « лакуна» ( мн. Ч. Lacunae), что означает «пробел» или «пустота».

Первые известные примеры лакунарных функций включали ряды Тейлора с большими промежутками или лакунами между ненулевыми коэффициентами их разложений. Более поздние исследования также сосредоточили внимание на рядах Фурье с аналогичными промежутками между ненулевыми коэффициентами. Существует небольшая двусмысленность в современном использовании термина лакунарный ряд , который может относиться либо к рядам Тейлора, либо к рядам Фурье.

Простой пример [ править ]

Пусть . Рассмотрим следующую функцию, определяемую простым степенным рядом: ${\ Displaystyle а \ в \ mathbb {Z} \ cap \ left [2, \ infty \ right)}$

f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }z^{a^{n}}=z+z^{a}+z^{a^{2}}+z^{a^{3}}+z^{a^{4}}+\cdots \,

Степенный ряд сходится равномерно в любой открытой области | z | <1. Это можно доказать, сравнивая f с геометрическим рядом , который абсолютно сходится при | z | <1. Значит, f аналитична на открытом единичном круге. Тем не менее, f имеет особенность в каждой точке единичной окружности и не может быть аналитически продолжена за пределы открытого единичного круга, как демонстрирует следующий аргумент.

Ясно, что f имеет особенность в точке z = 1, поскольку

f(1)=1+1+1+\cdots \,

расходящийся ряд. Но если разрешить z не быть реальным, возникнут проблемы, так как

f\left(z^{a}\right)=f(z)-z\qquad f\left(z^{a^{2}}\right)=f(z^{a})-z^{a}\qquad f\left(z^{a^{3}}\right)=f\left(z^{a^{2}}\right)-z^{a^{2}}\qquad \cdots \qquad f\left(z^{a^{n+1}}\right)=f\left(z^{a^{n}}\right)-z^{a^{n}}

мы можем видеть, что f имеет особенность в точке z, когда z ^a = 1, а также когда z ^{a ²} = 1. По индукции, предложенной приведенными выше уравнениями, f должен иметь особенность в каждом из корней a ⁿ -й степени единицы для всех натуральных чисел n. Множество всех таких точек плотно на единичной окружности, поэтому при непрерывном расширении каждая точка на единичной окружности должна быть особенностью f. ^[1]

Элементарный результат [ править ]

Очевидно, аргументация, приведенная в простом примере, показывает, что можно построить определенные ряды для определения лакунарных функций. Что не так очевидно, так это то, что промежутки между степенями z могут увеличиваться гораздо медленнее, и результирующий ряд по-прежнему будет определять лакунарную функцию. Чтобы уточнить это понятие, необходимы дополнительные обозначения.

Мы пишем

f(z)=\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}z^{\lambda _{k}}=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}z^{n}\,

где b _n = a _k, когда n = λ _k , и b _n = 0 в противном случае. Участки, на которых коэффициенты b _n во втором ряду равны нулю, представляют собой пробелы в коэффициентах. Монотонно возрастающая последовательность положительных натуральных чисел {λ _k } определяет степени z, которые входят в степенной ряд для f ( z ).

Теперь можно сформулировать теорему Адамара . ^[2] Если

\liminf _{k\to \infty }{\frac {\lambda _{k}}{\lambda _{k-1}}}>1+\delta \,

где δ > 0 - произвольная положительная постоянная, то f ( z ) - лакунарная функция, которая не может быть продолжена за пределы круга сходимости. Другими словами, последовательность {λ _k } не должна расти так же быстро, как 2 ^k, чтобы f ( z ) была лакунарной функцией - она просто должна расти так же быстро, как некоторая геометрическая прогрессия (1 + δ) ^k . Говорят, что серия, для которой λ _k так быстро растет, содержит лакуны Адамара . См. Теорему Островского – Адамара о щели .

Лакунарные тригонометрические ряды [ править ]

Математики также исследовали свойства лакунарных тригонометрических рядов.

S((\lambda _{k})_{k},\theta )=\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}\cos(\lambda _{k}\theta )\qquad S((\lambda _{k})_{k},\theta ,\omega )=\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}\cos(\lambda _{k}\theta +\omega )\,

для которых λ _k находятся далеко друг от друга. Здесь коэффициенты a _k - действительные числа. В этом контексте внимание было сосредоточено на критериях, достаточных для того, чтобы гарантировать сходимость тригонометрического ряда почти везде (то есть почти для любого значения угла θ и коэффициента искажения ω ).

Колмогоров показал, что если последовательность { λ _k } содержит лакуны Адамара, то ряд S ( λ _k , θ , ω ) сходится (расходится) почти всюду, когда

\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}^{2}

сходится (расходится).

Зигмунд показал при том же условии, что S ( λ _k , θ , ω ) не является рядом Фурье, представляющим интегрируемую функцию, когда эта сумма квадратов a _k является расходящимся рядом. ^[3]

Единый взгляд [ править ]

Более глубокое понимание основного вопроса, который мотивирует исследование лакунарных степенных рядов и лакунарных тригонометрических рядов, может быть достигнуто повторным исследованием простого примера, приведенного выше. В этом примере мы использовали геометрический ряд

g(z)=\sum _{n=1}^{\infty }z^{n}\,

и M-тест Вейерштрасса, чтобы продемонстрировать, что простой пример определяет аналитическую функцию на открытом единичном круге.

Сам геометрический ряд определяет аналитическую функцию, которая сходится всюду на замкнутом единичном круге, кроме случая z = 1, где g ( z ) имеет простой полюс. ^[4] И, поскольку z = e ^iθ для точек на единичной окружности, геометрический ряд принимает вид

g(z)=\sum _{n=1}^{\infty }e^{in\theta }=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\cos n\theta +i\sin n\theta \right)\,

при конкретном z , | z | = 1. Таким образом, с этой точки зрения математики, изучающие лакунарные ряды, задаются вопросом: насколько геометрический ряд должен быть искажен - путем вырезания больших участков и введения коэффициентов a _k 1 - перед полученным математическим объектом превращается из красивой гладкой мероморфной функции в нечто, демонстрирующее примитивную форму хаотического поведения?

См. Также [ править ]

Заметки [ править ]

^ (Whittaker and Watson, 1927, стр. 98) Этот пример, по-видимому, возник у Вейерштрасса.
^ (Мандельбройт и Майлз, 1927)
^ (Фукуяма и Такахаши, 1999)
^ Это можно показать, применив критерий Абеля к геометрическому ряду g ( z ). Это также можно понять напрямую, признав, что геометрический ряд является рядом Маклорена для g ( z ) = z / (1 - z ).

Ссылки [ править ]

Катуси Фукуяма и Сигеру Такахаси, Труды Американского математического общества , т. 127 # 2 стр. 599–608 (1999), "Центральная предельная теорема для лакунарных рядов".
Солем Мандельбройт и Эдвард Рой Сесил Майлз, Брошюра Института риса , т. 14 № 4 с. 261–284 (1927), «Лакунарные функции».
Е. Т. Уиттакер и Г. Н. Уотсон , Курс современного анализа , четвертое издание, Cambridge University Press, 1927.

Внешние ссылки [ править ]

Фукуяма и Такахаши, 1999 г. Статья (PDF), озаглавленная «Центральная предельная теорема для лакунарных рядов» , из AMS.
Мандельбройт и Майлз, 1927 г. Статья (PDF), озаглавленная « Лакунарные функции» , из Университета Райса.
Статья MathWorld о лакунарных функциях

[1] (Whittaker and Watson, 1927, стр. 98) Этот пример, по-видимому, возник у Вейерштрасса.

[2] (Мандельбройт и Майлз, 1927)

[3] (Фукуяма и Такахаши, 1999)

[4] Это можно показать, применив критерий Абеля к геометрическому ряду g ( z ). Это также можно понять напрямую, признав, что геометрический ряд является рядом Маклорена для g ( z ) = z / (1 - z ).

[1]