В математике дробно - линейным преобразованием называется, грубо говоря, преобразование вида
который имеет обратный . Точное определение зависит от природы a , b , c , d и z . Другими словами, линейно-дробное преобразование — это преобразование , представленное дробью , числитель и знаменатель которой линейны .
В самом общем случае a , b , c , d и z — это комплексные числа (в этом случае преобразование также называется преобразованием Мёбиуса ) или, в более общем смысле, элементы поля . Условие обратимости тогда ad – bc ≠ 0 . Над полем линейно-дробное преобразование есть ограничение на поле проективного преобразования или гомографии проективной прямой .
Когда a , b , c , d целые (или, в более общем случае, принадлежат области целостности ), z предполагается рациональным числом ( или принадлежит к полю дробей области целостности. В этом случае Условие обратимости состоит в том, что ad – bc должен быть единицей домена (т.е.1 или−1 в случае целых чисел). [1]
В самом общем случае a , b , c , d и z — это квадратные матрицы или, в более общем смысле, элементы кольца . Примером такого дробно-линейного преобразования является преобразование Кэли , которое первоначально было определено на кольце вещественных матриц 3x3 .
Дробно-линейные преобразования широко используются в различных областях математики и её приложений к технике, таких как классическая геометрия , теория чисел (они используются, например, в доказательстве Уайлса Великой теоремы Ферма ), теории групп , теории управления .