В классической механике , принцип Мопертюй (названный в честь Мопертюй ) утверждает , что путь с последующим физической системой является одним из наималейшей длины (с подходящей интерпретацией пути и длиной ). Это частный случай более общего принципа наименьшего действия . Используя вариационное исчисление , это приводит к формулировке интегрального уравнения уравнений движения для системы.
Математическая формулировка
Принцип Мопертюи утверждает, что истинный путь системы, описываемой обобщенные координаты между двумя указанными состояниями а также - стационарная точка (т.е. экстремум (минимум или максимум) или седловая точка) сокращенного функционала действия
где - сопряженные импульсы обобщенных координат, определяемые уравнением
где - функция Лагранжа системы. Другими словами, любое возмущение пути первого порядка приводит к (не более чем) изменениям второго порядка в. Обратите внимание, что сокращенное действие- это функционал (то есть функция из векторного пространства в лежащее в его основе скалярное поле), который в этом случае принимает в качестве входных данных функцию (то есть пути между двумя указанными состояниями).
Формулировка Якоби
Для многих систем кинетическая энергия квадратична по обобщенным скоростям
хотя тензор масс может быть сложной функцией обобщенных координат . Для таких систем простое соотношение связывает кинетическую энергию, обобщенные импульсы и обобщенные скорости
при условии, что потенциальная энергия не включает обобщенные скорости. Путем определения нормализованного расстояния или метрики в пространстве обобщенных координат
можно сразу узнать тензор масс как метрический тензор . Кинетическая энергия может быть записана в безмассовой форме
или же,
Следовательно, сокращенное действие можно записать
поскольку кинетическая энергия равна (постоянной) полной энергии минус потенциальная энергия . В частности, если потенциальная энергия постоянна, то принцип Якоби сводится к минимизации длины путив пространстве обобщенных координат, что эквивалентно принципу наименьшей кривизны Герца .
Сравнение с принципом Гамильтона
Принцип Гамильтона и принцип Мопертюи иногда путают, и оба они называются принципом наименьшего действия . Они отличаются друг от друга тремя важными способами:
- их определение действия ...
- Принцип Гамильтона использует , интеграл лагранжиана с течением времени , варьировался между двумя фиксированными конечными временами , и конечные точки , . В отличие от этого, принцип Мопертюи использует сокращенный интеграл действия по обобщенным координатам , изменяемый на всех путях постоянной энергии, заканчивающихся на а также .
- решение, которое они определяют ...
- Принцип Гамильтона определяет траекторию как функция времени, тогда как принцип Мопертюи определяет только форму траектории в обобщенных координатах. Например, принцип Мопертюи определяет форму эллипса, по которому частица движется под действием центральной силы, обратной квадрату, такой как гравитация , но не описывает как таковой, как частица движется по этой траектории. (Однако эта временная параметризация может быть определена из самой траектории в последующих вычислениях с использованием сохранения энергии.) Напротив, принцип Гамильтона прямо определяет движение по эллипсу как функцию времени.
- ... и ограничения на вариацию.
- Принцип Мопертюи требует, чтобы два состояния конечной точки а также быть заданным, и эта энергия будет сохранена вдоль каждой траектории. Напротив, принцип Гамильтона не требует сохранения энергии, но требует, чтобы время в конечной точке а также должны быть указаны, а также состояния конечной точки а также .
История
Мопертюи был первым, кто опубликовал принцип наименьшего действия , в котором он определил действие как, который должен был быть минимизирован по всем путям, соединяющим две указанные точки. Однако Мопертюи применил этот принцип только к свету, а не к материи (см. Ссылку Мопертюи 1744 года ниже ). Он прибыл в принципе, рассматривая закон Снеллиуса для преломления от света , который Ферма был объяснить принцип Ферма , что свет идет по пути кратчайшего времени , а не расстояние. Это беспокоило Мопертюи, поскольку он считал, что время и расстояние должны быть равны: «почему свет должен предпочитать путь кратчайшего времени пути расстояния?» Соответственно, Мопертюи утверждает без дальнейшего обоснования принцип наименьшего действия как эквивалентный, но более фундаментальный, чем принцип Ферма , и использует его для вывода закона Снеллиуса . Мопертюи специально утверждает, что свет не подчиняется тем же законам, что и материальные объекты.
Несколько месяцев спустя, задолго до того, как работа Мопертюи появилась в печати, Леонард Эйлер независимо определил действие в его современной сокращенной форме.и применил его к движению частицы, но не к свету (см. ссылку Эйлера 1744 года ниже ). Эйлер также признал, что этот принцип действовал только тогда, когда скорость была функцией только положения, то есть когда сохранялась полная энергия. (Фактор массы в действии и требование сохранения энергии не имели отношения к Мопертюи, который интересовался только светом.) Эйлер использовал этот принцип, чтобы вывести уравнения движения частицы в однородном движении, в однородном и неоднородном. однородное силовое поле, и в центральном силовом поле. Подход Эйлера полностью соответствует современному пониманию принципа Мопертюи, описанному выше, за исключением того, что он настаивал на том, что действие всегда должно быть минимумом, а не стационарной точкой.
Два года спустя Мопертюи цитирует работу Эйлера 1744 года как «прекрасное приложение моего принципа к движению планет» и продолжает применять принцип наименьшего действия к проблеме рычага в механическом равновесии и к идеально упругим и совершенно неупругим столкновениям ( см. публикацию 1746 года ниже ). Таким образом, Мопертюи считает, что принцип наименьшего действия является общим принципом, применимым ко всем физическим системам (а не только к свету), тогда как исторические данные свидетельствуют о том, что Эйлер был тем, кто совершил этот интуитивный скачок. Примечательно, что определения Мопертюи действия и протоколы для его минимизации в этой статье несовместимы с современным подходом, описанным выше. Таким образом, опубликованная работа Мопертюи не содержит ни одного примера, в котором он использовал бы принцип Мопертюи (в его нынешнем понимании).
В 1751 году приоритет Мопертюи в отношении принципа наименьшего действия был оспорен в печати ( Nova Acta Eruditorum of Leipzig) старый знакомый Иоганн Самуэль Кениг, который процитировал письмо 1707 года якобы от Лейбница, в котором описаны результаты, аналогичные результатам, полученным Эйлером в 1744 году. Однако Мопертюи и другие потребовали, чтобы Кениг предъявил оригинал письма, чтобы подтвердить, что оно было написано Лейбницем. У Кенига была только копия, но он не имел ни малейшего представления о местонахождении оригинала. Следовательно, Берлинская академия под руководством Эйлера объявила письмо подделкой и что ее президент Мопертюи может продолжать требовать приоритета за изобретение этого принципа. Кениг продолжал бороться за приоритет Лейбница, и вскоре Вольтер и король Пруссии Фридрих II были вовлечены в ссору. Однако никакого прогресса не было достигнуто до начала двадцатого века, когда были обнаружены другие независимые копии письма Лейбница.
Смотрите также
- Аналитическая механика
- Принцип Гамильтона
- Принцип наименьшего принуждения Гаусса (также описывает принцип наименьшей кривизны Герца )
- Уравнение Гамильтона – Якоби
Рекомендации
- Пьер Луи Мопертюи , Accord de différentes loix de la nature qui evoient jusqu'ici paru несовместимого (оригинальный французский текст 1744 года) ; Согласие между разными законами природы, которое казалось несовместимым (перевод на английский)
- Леонард Эйлер , Methodus inveniendi / Additamentum II (оригинальный латинский текст 1744 г.) ; Methodus inveniendi / Приложение 2 (перевод на английский)
- Пьер Луи Мопертюи , Les loix du mouvement et du repos déduites d'un principe metaphysique (оригинальный французский текст 1746 года) ; Вывод законов движения и равновесия из метафизического принципа (английский перевод)
- Леонард Эйлер , Exposé обеспокоенный l'examen de la lettre de M. de Leibnitz (оригинальный французский текст 1752 г.) ; Исследование письма Лейбница (английский перевод)
- Кениг Дж. С. «Универсальные принципы равновесия и движения », Nova Acta Eruditorum , 1751 , 125–135, 162–176.
- Дж. Дж. О'Коннор и Э. Ф. Робертсон, « Берлинская академия и подделка », (2003), в архиве истории математики MacTutor .
- CI Gerhardt, (1898) "Uber die vier Briefe von Leibniz, die Samuel König in dem Appel au public, Leide MDCCLIII, veröffentlicht hat", Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften , I , 419–419–419–419.
- В. Kabitz, (1913) "Убер в Гота сделайте aufgefundene Abschrift де фон С. Кёниг в seinem Streite мит Маупертуис унд дер Akademie veröffentlichten, Seinerzeit für unecht erklärten Leibnizbriefes", Sitzungsberichte дер Königlich Preussischen Akademie дер Wissenschaften , II , 632-638.
- Х. Гольдштейн, (1980) Классическая механика , 2-е изд., Аддисон Уэсли, стр. 362–371. ISBN 0-201-02918-9
- Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, (1976) Механика , 3-е. изд., Pergamon Press, стр. 140–143. ISBN 0-08-021022-8 (твердая обложка) и ISBN 0-08-029141-4 ( мягкая обложка )
- GCJ Jacobi, Vorlesungen über Dynamik, gehalten an der Universität Königsberg im Wintersemester 1842–1843 . А. Клебш (редактор) (1866 г.); Реймер; Берлин. 290 страниц, доступных в Интернете, uvres завершает том 8 в Gallica-Math из Gallica Bibliothèque nationale de France .
- Х. Герц, (1896) Принципы механики , в разных статьях , т. III, Макмиллан.
- В.В. Румянцев (2001) [1994], "Принцип наименьшей кривизны Герца" , Энциклопедия математики , EMS Press