Распределение Максвелла – Больцмана

Максвелл – Больцманн

Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры	${\ displaystyle a> 0}$
Служба поддержки	${\ Displaystyle х \ в (0; \ infty)}$
PDF	${\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {2} {\ pi}}} {\ frac {x ^ {2} e ^ {- x ^ {2} / \ left (2a ^ {2} \ right)}} {a ^ {3}}}}$
CDF	${\ displaystyle \ operatorname {erf} \ left ({\ frac {x} {{\ sqrt {2}} a}} \ right) - {\ sqrt {\ frac {2} {\ pi}}} {\ frac {xe ^ {- x ^ {2} / \ left (2a ^ {2} \ right)}} {a}}}$где erf - функция ошибок
Иметь в виду	${\ displaystyle \ mu = 2a {\ sqrt {\ frac {2} {\ pi}}}}$
Режим	${\ displaystyle {\ sqrt {2}} а}$
Дисперсия	${\ displaystyle \ sigma ^ {2} = {\ frac {a ^ {2} (3 \ pi -8)} {\ pi}}}$
Асимметрия	${\ displaystyle \ gamma _ {1} = {\ frac {2 {\ sqrt {2}} (16-5 \ pi)} {(3 \ pi -8) ^ {3/2}}}}$
Бывший. эксцесс	${\ displaystyle \ gamma _ {2} = 4 {\ frac {\ left (-96 + 40 \ pi -3 \ pi ^ {2} \ right)} {(3 \ pi -8) ^ {2}}} }$
Энтропия	${\displaystyle \ln \left(a{\sqrt {2\pi }}\right)+\gamma -{\frac {1}{2}}}$

В физике (в частности, в статистической механике ) распределение Максвелла – Больцмана - это частное распределение вероятностей, названное в честь Джеймса Клерка Максвелла и Людвига Больцмана .

Впервые он был определен и использовался для описания скоростей частиц в идеализированных газах , где частицы свободно перемещаются внутри неподвижного контейнера, не взаимодействуя друг с другом, за исключением очень коротких столкновений, в которых они обмениваются энергией и импульсом друг с другом или со своей тепловой средой. Термин «частица» в этом контексте относится только к газообразным частицам ( атомам или молекулам ), и предполагается, что система частиц достигла термодинамического равновесия . ^[1] Энергии таких частиц соответствуют так называемой статистике Максвелла – Больцмана., а статистическое распределение скоростей получается путем приравнивания энергии частиц к кинетической энергии .

Математически распределение Максвелла-Больцмана представляет собой распределение хи с тремя степенями свободы (компоненты вектора скорости в евклидовом пространстве ) с масштабным параметром, измеряющим скорости в единицах, пропорциональных квадратному корню из (отношения температуры и массы частицы ). ^[2]${\displaystyle T/m}$

Распределение Максвелла – Больцмана является результатом кинетической теории газов , которая обеспечивает упрощенное объяснение многих фундаментальных свойств газа , включая давление и диффузию . ^[3] Распределение Максвелла – Больцмана в основном применяется к скоростям частиц в трех измерениях, но оказывается, что оно зависит только от скорости ( величины скорости) частиц. Распределение вероятности скорости частицы указывает, какие скорости более вероятны: частица будет иметь скорость, выбранную случайным образом из распределения, и с большей вероятностью будет находиться в одном диапазоне скоростей, чем в другом. Кинетическая теория газов применима к классическому идеальному газу., который является идеализацией реальных газов. В реальных газах существуют различные эффекты (например, ван-дер-ваальсовы взаимодействия , вихревой поток, релятивистские ограничения скорости и квантовые обменные взаимодействия ), которые могут сделать их распределение по скоростям отличным от формы Максвелла – Больцмана. Однако разреженные газы при обычных температурах ведут себя почти как идеальный газ, и распределение Максвелла по скоростям является отличным приближением для таких газов. Идеальная плазма , которая представляет собой ионизированный газ достаточно низкой плотности, часто также имеет распределение частиц, частично или полностью максвелловское. ^[4]

Распределение было впервые получено Максвеллом в 1860 году на эвристических основаниях. ^[5] Позже, в 1870-х годах, Больцман провел значительные исследования физических причин этого распределения.

Распределение может быть получено на том основании, что оно максимизирует энтропию системы. Список производных:

1. Распределение вероятностей максимальной энтропии в фазовом пространстве с ограничением сохранения средней энергии ;${\displaystyle \langle H\rangle =E}$
2. Канонический ансамбль .

Функция распределения [ править ]

Предполагая, что интересующая система содержит большое количество частиц, доля частиц в бесконечно малом элементе трехмерного пространства скоростей , с центром на векторе скорости величины , равна , в которой${\displaystyle d^{3}v}$${\displaystyle v}$${\displaystyle f(v)d^{3}v}$

${\displaystyle f(v)~\mathrm {d} ^{3}v=\left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{3/2}\,e^{-{\frac {mv^{2}}{2kT}}}~\mathrm {d} ^{3}v,}$

где - масса частицы, - постоянная Больцмана и термодинамическая температура .${\displaystyle m}$${\displaystyle k}$${\displaystyle T}$

Можно записать элемент пространства скоростей как d = d d d для скоростей в стандартной декартовой системе координат или как d = d d в стандартной сферической системе координат, где d - элемент телесного угла. Здесь дана функция распределения вероятностей, должным образом нормированная так, чтобы d по всем скоростям равнялось единице. В физике плазмы распределение вероятностей часто умножается на плотность частиц, так что интеграл полученной функции распределения равен плотности.${\displaystyle ^{3}v}$${\displaystyle v_{x}}$${\displaystyle v_{y}}$${\displaystyle v_{z}}$${\displaystyle ^{3}v}$${\displaystyle v^{2}}$${\displaystyle v}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle f(v)}$${\displaystyle \int f(v)}$${\displaystyle ^{3}v}$

Функция распределения Максвелла для частиц, движущихся только в одном направлении, если это направление есть , равна${\displaystyle x}$

${\displaystyle f(v_{x})~\mathrm {d} v_{x}=\left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{1/2}\,e^{-{\frac {mv_{x}^{2}}{2kT}}}~\mathrm {d} v_{x},}$

который может быть получен путем интегрирования трехмерной формы, указанной выше, по и .${\displaystyle v_{y}}$${\displaystyle v_{z}}$

Признавая симметрию , можно проинтегрировать по телесному углу и записать вероятностное распределение скоростей в виде функции ^[6]${\displaystyle f(v)}$

${\displaystyle f(v)~\mathrm {d} v=\left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{3/2}\,4\pi v^{2}e^{-{\frac {mv^{2}}{2kT}}}~\mathrm {d} v,}$

Эта функция плотности вероятности дает вероятность на единицу скорости нахождения частицы с близкой скоростью . Это уравнение представляет собой просто распределение Максвелла – Больцмана (указанное в информационном окне) с параметром распределения . Распределение Максвелла – Больцмана эквивалентно распределению хи с тремя степенями свободы и параметром масштаба .${\displaystyle v}$${\displaystyle a={\sqrt {kT/m}}}$ ${\displaystyle a={\sqrt {kT/m}}}$

Самое простое обыкновенное дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет распределение:

${\displaystyle kTvf'(v)+f(v)(mv^{2}-2kT)=0,}$

${\displaystyle f(1)={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}e^{-{\frac {m}{2kT}}}\left({\frac {m}{kT}}\right)^{3/2}}$

или в безразмерном представлении:

${\displaystyle a^{2}xf'(x)+\left(x^{2}-2a^{2}\right)f(x)=0,}$

${\displaystyle f(1)={\frac {{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}e^{-{\frac {1}{2a^{2}}}}}{a^{3}}}.}$

С помощью метода средних значений Дарвина – Фаулера распределение Максвелла – Больцмана получается как точный результат.

Связь с двумерным распределением Максвелла – Больцмана [ править ]

Для частиц, ограниченных движением в плоскости, распределение скоростей дается выражением

${\displaystyle P(s<|{\vec {v}}|<s+ds)={\frac {ms}{kT}}\exp {\bigg (}-{\frac {ms^{2}}{2kT}}{\bigg )}ds}$

Это распределение используется для описания равновесных систем. Однако большинство систем не запускаются в равновесном состоянии. Эволюция системы к состоянию равновесия регулируется уравнением Больцмана . Уравнение предсказывает, что для короткодействующих взаимодействий равновесное распределение скоростей будет следовать распределению Максвелла – Больцмана. Справа находится модель молекулярной динамики (МД), в которой 900 твердых сферических частиц вынуждены двигаться по прямоугольнику. Они взаимодействуют посредством совершенно упругих столкновений . Система инициализируется из состояния равновесия, но распределение скоростей (выделено синим) быстро сходится к двумерному распределению Максвелла – Больцмана (выделено оранжевым).

Типичные скорости [ править ]

Распределение Максвелла – Больцмана, соответствующее солнечной атмосфере. Масс частиц являются одним массой протона , и температура эффективной температура фотосферы солнца , . отметьте наиболее вероятную, среднюю и среднеквадратичную скорости соответственно. Их значения - и .${\displaystyle m=1{\text{ amu}}=1.67\times 10^{-24}{\text{ g }}}$${\displaystyle T=5800{\text{ K }}}$${\displaystyle {\tilde {V}},{\bar {V}},{\text{ and }}V_{\text{rms}}}$${\displaystyle {\tilde {V}}\approx 9.79{\text{ km/s, }}}$ ${\displaystyle {\bar {V}}\approx 11.05{\text{ km/s, }}}$${\displaystyle V_{\text{rms}}\approx 12.00{\text{ km/s }}}$

Средняя скорость , наиболее вероятная скорость ( режим ) v _р , и корень среднеквадратичной скорость могут быть получены из свойств распределения Максвелла.${\displaystyle \langle v\rangle }$${\displaystyle {\sqrt {\langle v^{2}\rangle }}}$

Это хорошо работает для почти идеальных , одноатомных газов , таких как гелий , но также и для молекулярных газов , таких как двухатомный кислород . Это потому, что, несмотря на большую теплоемкость (большую внутреннюю энергию при той же температуре) из-за большего количества степеней свободы , их поступательная кинетическая энергия (и, следовательно, их скорость) не изменяется. ^[7]

Таким образом, типичные скорости связаны следующим образом:

${\displaystyle v_{p}\approx 88.6\%\ \langle v\rangle <\langle v\rangle <108.5\%\ \langle v\rangle \approx v_{\mathrm {rms} }.}$

Среднеквадратичная скорость напрямую связана со скоростью звука c в газе следующим образом:

${\displaystyle c={\sqrt {\frac {\gamma }{3}}}\ v_{\mathrm {rms} }={\sqrt {\frac {f+2}{3f}}}\ v_{\mathrm {rms} }={\sqrt {\frac {f+2}{2f}}}\ v_{p},}$

где - показатель адиабаты , f - число степеней свободы отдельной молекулы газа. В приведенном выше примере двухатомный азот (приблизительно воздух ) при${\displaystyle \gamma =1+{\frac {2}{f}}}$300 К , ^[9] и${\displaystyle f=5}$

${\displaystyle c={\sqrt {\frac {7}{15}}}v_{\mathrm {rms} }\approx 68\%\ v_{\mathrm {rms} }\approx 84\%\ v_{p}\approx 353\ \mathrm {m/s} ,}$

истинное значение для воздуха можно приблизительно определить, используя среднюю молярную массу воздуха (29 г / моль ), давая 347 м / с при300 K (поправки на переменную влажность составляют от 0,1% до 0,6%).

Средняя относительная скорость

${\displaystyle v_{\rm {rel}}\equiv \langle |{\vec {v}}_{1}-{\vec {v}}_{2}|\rangle =\int \!d^{3}v_{1}d^{3}v_{2}|{\vec {v}}_{1}-{\vec {v}}_{2}|f({\vec {v}}_{1})f({\vec {v}}_{2})={\frac {4}{\sqrt {\pi }}}{\sqrt {\frac {kT}{m}}}={\sqrt {2}}\langle v\rangle }$

где трехмерное распределение скорости

${\displaystyle f({\vec {v}})\equiv {\frac {1}{(2\pi kT/m)^{3/2}}}e^{-{\frac {1}{2}}m{\vec {v}}^{2}/kT}.}$

Интеграл легко сделать, перейдя в координаты и${\displaystyle {\vec {u}}={\vec {v}}_{1}-{\vec {v}}_{2}}$${\displaystyle {\vec {U}}={\frac {{\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2}}{2}}.}$

Деривация и связанные распределения [ править ]

Статистика Максвелла – Больцмана [ править ]

Первоначальный вывод, сделанный в 1860 году Джеймсом Клерком Максвеллом, был аргументом, основанным на молекулярных столкновениях кинетической теории газов, а также на определенных симметриях в функции распределения скоростей; Максвелл также дал ранний аргумент, что эти молекулярные столкновения влекут за собой тенденцию к равновесию. ^{[5] [10]} После Максвелла Людвиг Больцман в 1872 г. ^[11] также вывел распределение на основании механических оснований и утверждал, что газы должны со временем стремиться к этому распределению из-за столкновений (см. H-теорему ). Позже (1877 г.) ^{[12] он} снова вывел распределение в рамках статистической термодинамики.. Выводы в этом разделе соответствуют выводам Больцмана 1877 года, начиная с результата, известного как статистика Максвелла – Больцмана (из статистической термодинамики). Статистика Максвелла – Больцмана дает среднее количество частиц, обнаруженных в данном одночастичном микросостоянии . При определенных предположениях логарифм доли частиц в данном микросостоянии пропорционален отношению энергии этого состояния к температуре системы:

${\displaystyle -\log \left({\frac {N_{i}}{N}}\right)\propto {\frac {E_{i}}{T}}.}$

Предположения этого уравнения таковы, что частицы не взаимодействуют, и что они классические; это означает, что состояние каждой частицы можно рассматривать независимо от состояний других частиц. Кроме того, предполагается, что частицы находятся в тепловом равновесии. ^{[1] [13]}

Это соотношение можно записать в виде уравнения, введя нормирующий множитель:

${\displaystyle {\frac {N_{i}}{N}}={\frac {\exp(-E_{i}/kT)}{\sum _{j}\exp(-E_{j}/kT)}}}$

( 1 )

где:

• N _i - ожидаемое количество частиц в одночастичном микросостоянии i ,
• N - общее количество частиц в системе,
• E _i - энергия микросостояния i ,
• сумма по индексу j учитывает все микросостояния,
• T - равновесная температура системы,
• k - постоянная Больцмана .

Знаменатель в уравнении ( 1 ) - это просто нормализующий коэффициент, так что отношения в сумме дают единицу - другими словами, это своего рода статистическая сумма (для одночастичной системы, а не обычная статистическая сумма всей системы).${\displaystyle N_{i}:N}$

Поскольку скорость и скорость связаны с энергией, уравнение ( 1 ) можно использовать для получения взаимосвязи между температурой и скоростями частиц газа. Все, что нужно, - это обнаружить плотность микросостояний по энергии, которая определяется разделением импульсного пространства на области равного размера.

Распределение вектора импульса [ править ]

Потенциальная энергия принимается равной нулю, так что вся энергия находится в форме кинетической энергии. Связь между кинетической энергией и импульсом массивных нерелятивистских частиц имеет вид

${\displaystyle E={\frac {p^{2}}{2m}}}$

( 2 )

где p ² - квадрат вектора импульса p  = [ p _x ,  p _y ,  p _z ]. Поэтому мы можем переписать уравнение ( 1 ) как:

${\displaystyle {\frac {N_{i}}{N}}={\frac {1}{Z}}\exp \left[-{\frac {p_{i,x}^{2}+p_{i,y}^{2}+p_{i,z}^{2}}{2mkT}}\right]}$

( 3 )

где Z - статистическая сумма , соответствующая знаменателю в уравнении ( 1 ). Здесь m - молекулярная масса газа, T - термодинамическая температура, k - постоянная Больцмана . Такое распределение является пропорционально к плотности вероятности функции ф _р для нахождения молекулы с этими значениями компонентов импульса, так что :${\displaystyle N_{i}:N}$

${\displaystyle f_{\mathbf {p} }(p_{x},p_{y},p_{z})\propto \exp \left[-{\frac {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}{2mkT}}\right]}$

( 4 )

Константа нормализующее может быть определена путем признания того, что вероятность того , что молекулы , имеющей некоторый импульс должен быть равен 1. Интегрирование экспоненту в ( 4 ) по всем р _х , р _у и р _г дает фактор

${\displaystyle \iiint _{-\infty }^{+\infty }\exp \left[-{\frac {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}{2mkT}}\right]dp_{x}\ dp_{y}\ dp_{z}={({\sqrt {\pi }}{\sqrt {2mkT}})^{3}}}$

Итак, нормализованная функция распределения:

Распределение рассматривается как произведение трех независимых нормально распределенных переменных , и , с дисперсией . Кроме того, можно видеть, что величина импульса будет распределена как распределение Максвелла – Больцмана с . Распределение Максвелла – Больцмана для импульса (или, в равной степени, для скоростей) может быть получено более фундаментально, используя H-теорему в состоянии равновесия в рамках кинетической теории газов .${\displaystyle p_{x}}$${\displaystyle p_{y}}$${\displaystyle p_{z}}$${\displaystyle mkT}$${\displaystyle a={\sqrt {mkT}}}$

Распределение энергии [ править ]

Распределение энергии оказалось впечатляющим.

${\displaystyle f_{E}(E)dE=f_{p}({\textbf {p}})d^{3}{\textbf {p}},}$

( 7 )

где - бесконечно малый фазовый объем импульсов, соответствующий интервалу энергий . Используя сферической симметрии энергии-импульса дисперсионного соотношения , это может быть выражено в терминах , как${\displaystyle d^{3}{\textbf {p}}}$${\displaystyle dE}$${\displaystyle E=|{\textbf {p}}|^{2}/2m}$${\displaystyle dE}$

${\displaystyle d^{3}{\textbf {p}}=4\pi |{\textbf {p}}|^{2}d|{\textbf {p}}|=4\pi m{\sqrt {2mE}}dE.}$

( 8 )

Используя тогда ( 8 ) в ( 7 ) и выражая все через энергию , мы получаем${\displaystyle E}$

${\displaystyle f_{E}(E)dE={\frac {1}{(2\pi mkT)^{3/2}}}e^{-E/kT}4\pi m{\sqrt {2mE}}dE=2{\sqrt {\frac {E}{\pi }}}\left({\frac {1}{kT}}\right)^{3/2}\exp \left({\frac {-E}{kT}}\right)dE}$

и наконец

Поскольку энергия пропорциональна сумме квадратов трех нормально распределенных компонентов импульса, это распределение энергии можно записать в виде что эквивалентно гамма - распределения , используя параметр формы, и параметр масштаба, .${\displaystyle {k}_{shape}=3/2}$${\displaystyle {\theta }_{scale}=kT}$

Используя теорему о равнораспределении , учитывая, что энергия равномерно распределена между всеми тремя степенями свободы в равновесии, мы также можем разделить на набор распределений хи-квадрат , где энергия на степень свободы распределяется как хи-квадрат. распределение с одной степенью свободы, ^[14]${\displaystyle f_{E}(E)dE}$${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle f_{\epsilon }(\epsilon )\,d\epsilon ={\sqrt {\frac {1}{\pi \epsilon kT}}}~\exp \left[{\frac {-\epsilon }{kT}}\right]\,d\epsilon }$

В состоянии равновесия это распределение будет справедливым для любого числа степеней свободы. Например, если частицы являются твердыми массовыми диполями с фиксированным дипольным моментом, они будут иметь три поступательные степени свободы и две дополнительные вращательные степени свободы. Энергия в каждой степени свободы будет описана в соответствии с вышеупомянутым распределением хи-квадрат с одной степенью свободы, а полная энергия будет распределена в соответствии с распределением хи-квадрат с пятью степенями свободы. Это имеет значение в теории теплоемкости газа.

Распределение Максвелла-Больцмана также можно получить, рассматривая газ быть тип квантового газа , для которых приближение ε >> кТ может быть сделано.

Распределение вектора скорости [ править ]

Признавая, что плотность вероятности скорости f _v пропорциональна функции плотности вероятности импульса по формуле

${\displaystyle f_{\mathbf {v} }d^{3}v=f_{\mathbf {p} }\left({\frac {dp}{dv}}\right)^{3}d^{3}v}$

и используя p = m v, получаем

что является распределением скоростей Максвелла – Больцмана. Вероятность найти частицу со скоростью в бесконечно малом элементе [ dv _x ,  dv _y ,  dv _z ] около скорости v  = [ v _x ,  v _y ,  v _z ] равна

${\displaystyle f_{\mathbf {v} }\left(v_{x},v_{y},v_{z}\right)\,dv_{x}\,dv_{y}\,dv_{z}.}$

Как и импульс, это распределение рассматривается как произведение трех независимых нормально распределенных переменных , и , но с дисперсией . Также можно видеть, что распределение Максвелла – Больцмана для векторной скорости [ v _x ,  v _y ,  v _z ] является произведением распределений для каждого из трех направлений:${\displaystyle v_{x}}$${\displaystyle v_{y}}$${\displaystyle v_{z}}$${\displaystyle {\frac {kT}{m}}}$

${\displaystyle f_{\mathbf {v} }\left(v_{x},v_{y},v_{z}\right)=f_{v}(v_{x})f_{v}(v_{y})f_{v}(v_{z})}$

где распределение для одного направления равно

${\displaystyle f_{v}(v_{i})={\sqrt {\frac {m}{2\pi kT}}}\exp \left[{\frac {-mv_{i}^{2}}{2kT}}\right].}$

Каждый компонент вектора скорости имеет нормальное распределение со средним значением и стандартным отклонением , поэтому вектор имеет 3-мерное нормальное распределение, особый вид многомерного нормального распределения со средним значением и ковариацией , где - единичная матрица.${\displaystyle \mu _{v_{x}}=\mu _{v_{y}}=\mu _{v_{z}}=0}$${\displaystyle \sigma _{v_{x}}=\sigma _{v_{y}}=\sigma _{v_{z}}={\sqrt {\frac {kT}{m}}}}$${\displaystyle \mu _{\mathbf {v} }={\mathbf {0} }}$${\displaystyle \Sigma _{\mathbf {v} }=\left({\frac {kT}{m}}\right)I}$${\displaystyle I}$${\displaystyle 3\times 3}$

Распределение по скорости [ править ]

Распределение Максвелла – Больцмана для скорости непосредственно следует из распределения вектора скорости, приведенного выше. Обратите внимание, что скорость

${\displaystyle v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}}$

и элемент объема в сферических координатах

${\displaystyle dv_{x}\,dv_{y}\,dv_{z}=v^{2}\sin \theta \,dv\,d\theta \,d\phi =v^{2}dv\,d\Omega }$

где и - сферические координатные углы вектора скорости. Интегрирование функции плотности вероятности скорости по телесным углам дает дополнительный множитель . Распределение скорости с заменой скорости на сумму квадратов компонент вектора:${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle d\Omega }$${\displaystyle 4\pi }$

В n- мерном пространстве [ править ]

В n -мерном пространстве распределение Максвелла – Больцмана принимает вид:

${\displaystyle f(v)~\mathrm {d} ^{n}v=\left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{n/2}\,e^{-{\frac {m|v|^{2}}{2kT}}}~\mathrm {d} ^{n}v}$

Распределение скорости становится:

${\displaystyle f(v)~\mathrm {d} v={\text{const.}}\times e^{-{\frac {mv^{2}}{2kT}}}\times v^{n-1}~\mathrm {d} v}$

Полезен следующий интегральный результат:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{+\infty }v^{a}e^{-{\frac {mv^{2}}{2kT}}}dv&=\left[{\frac {2kT}{m}}\right]^{(a+1)/2}\int _{0}^{+\infty }e^{-x}x^{\frac {a}{2}}dx^{\frac {1}{2}}\\&=\left[{\frac {2kT}{m}}\right]^{(a+1)/2}\int _{0}^{+\infty }e^{-x}x^{\frac {a}{2}}{\frac {x^{-{\frac {1}{2}}}}{2}}dx\\&=\left[{\frac {2kT}{m}}\right]^{(a+1)/2}{\frac {\Gamma ({\frac {a+1}{2}})}{2}}\end{aligned}}}$

где - гамма-функция . Этот результат можно использовать для вычисления моментов функции распределения скорости:${\displaystyle \Gamma (z)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle v\rangle &={\frac {\int _{0}^{+\infty }v\cdot v^{n-1}e^{-{\frac {mv^{2}}{2kT}}}dv}{\int _{0}^{+\infty }v^{n-1}e^{-{\frac {mv^{2}}{2kT}}}dv}}\\&=\left[{\frac {2kT}{m}}\right]^{1/2}{\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{2}})}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}\end{aligned}}}$

что и есть средняя скорость .${\displaystyle v_{\text{avg}}=\langle v\rangle =\left[{\frac {2kT}{m}}\right]^{1/2}{\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{2}})}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle v^{2}\rangle &={\frac {\int _{0}^{+\infty }v^{2}\cdot v^{n-1}e^{-{\frac {mv^{2}}{2kT}}}dv}{\int _{0}^{+\infty }v^{n-1}e^{-{\frac {mv^{2}}{2kT}}}dv}}\\&=\left[{\frac {2kT}{m}}\right]{\frac {\Gamma ({\frac {n+2}{2}})}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}\\&=\left[{\frac {2kT}{m}}\right]{\frac {n}{2}}={\frac {nkT}{m}}\end{aligned}}}$

что дает среднеквадратичную скорость .${\displaystyle v_{\text{rms}}={\sqrt {\langle v^{2}\rangle }}=\left[{\frac {nkT}{m}}\right]^{1/2}}$

Производная функции распределения скорости:

${\displaystyle {\frac {df(v)}{dv}}={\text{const.}}\times \ e^{-{\frac {mv^{2}}{2kT}}}\left(-{\frac {mv}{kT}}v^{n-1}+(n-1)v^{n-2}\right)=0}$

Это дает наиболее вероятную скорость ( режим ) .${\displaystyle v_{\text{p}}=\left[{\frac {(n-1)kT}{m}}\right]^{1/2}}$

См. Также [ править ]

• Квантовое уравнение Больцмана
• Статистика Максвелла – Больцмана
• Распределение Максвелла – Юттнера
• Распределение Больцмана
• Фактор Больцмана
• Распределение Рэлея
• Кинетическая теория газов

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Физика для ученых и инженеров - с современной физикой (6-е издание), П.А. Типлер, Г. Моска, Фриман, 2008, ISBN 0-7167-8964-7 
• Термодинамика, от концепций к приложениям (2-е издание), A. Shavit, C. Gutfinger, CRC Press (Taylor and Francis Group, США), 2009, ISBN 978-1-4200-7368-3 
• Химическая термодинамика, DJG Ives, University Chemistry, Macdonald Technical and Scientific, 1971, ISBN 0-356-03736-3 
• Элементы статистической термодинамики (2-е издание), LK Nash, Principles of Chemistry, Addison-Wesley, 1974, ISBN 0-201-05229-6 
• Ward, CA и Fang, G, 1999, «Выражение для прогнозирования потока испарения жидкости: подход статистической теории скорости», Physical Review E, vol. 59, нет. 1. С. 429–40.
• Рахими, П и Уорд, Калифорния, 2005 г., «Кинетика испарения: подход к статистической теории скорости», Международный журнал термодинамики, т. 8, вып. 9. С. 1–14.

Внешние ссылки [ править ]

• "Распределение скорости Максвелла" из демонстрационного проекта Wolfram в Mathworld