В дифференциальном исчислении нет единого единого обозначения для дифференцирования . Вместо этого несколько различных обозначений для производной из функции или переменной были предложены различными математиками. Полезность каждой нотации зависит от контекста, и иногда полезно использовать более одной нотации в данном контексте. Наиболее распространенные обозначения для дифференцирования (и его противоположной операции, антидифференцирования или неопределенного интегрирования ) перечислены ниже.
Обозначения Лейбница
dy
dx
д 2 г
dx 2
Первая и вторая производные y по x в обозначениях Лейбница.
Оригинальные обозначения, использованные Готфридом Лейбницем , используются во всей математике. Это особенно часто встречается, когда уравнение y = f ( x ) рассматривается как функциональная связь между зависимыми и независимыми переменными y и x . Обозначения Лейбница делают это отношение явным, записывая производную как
Поэтому функция, значение которой в точке x является производной от f в точке x, записывается как
Высшие производные записываются как
Это наводящий на размышления прием записи, который происходит от формального манипулирования символами, например,
С логической точки зрения эти равенства не являются теоремами . Вместо этого они просто определения обозначений. Действительно, оценка выше с использованием правила частного и использования dd для отличия от d 2 в приведенных выше обозначениях дает
Значение производной y в точке x = a может быть выражено двумя способами с использованием обозначений Лейбница:
.
Нотация Лейбница позволяет указать переменную для дифференцирования (в знаменателе). Это особенно полезно при рассмотрении частных производных . Это также упрощает запоминание и распознавание цепного правила :
Обозначения Лейбница для различения не требуют присвоения значения таким символам, как dx или dy, сами по себе, и некоторые авторы не пытаются приписывать значение этим символам. Лейбниц считал эти символы бесконечно малыми . Позднее авторы придали им другие значения, такие как бесконечно малые в нестандартном анализе или внешние производные .
Некоторые авторы и журналы установить дифференциальный символ D в латиницей вместо курсива : d х . Руководство по научному стилю ISO / IEC 80000 рекомендует этот стиль.
Обозначение Лейбница для антидифференцировки
∫ y dx ∫∫ y dx 2
Одинарный и двойной неопределенные интегралы от y по x в обозначениях Лейбница.
Лейбниц ввел интегральный символ ∫ в Analyseos tetragonisticae pars secunda и Methodi tangentium inversae instance (оба из 1675 г.). Теперь это стандартный символ для интеграции .
Обозначения Лагранжа
f ′ ( x )
Функция f от x , дифференцированная один раз в обозначениях Лагранжа.
Одно из наиболее распространенных современных обозначений дифференциации названо в честь Жозефа Луи Лагранжа , хотя на самом деле оно было изобретено Эйлером и только что популяризировано им. В обозначениях Лагранжа штрих обозначает производную. Если f - функция, то ее производная, вычисленная в x , записывается как
Высшие производные обозначаются дополнительными штрихами, как в для второй производной идля третьей производной . Использование повторяющихся штрихов со временем становится громоздким. Некоторые авторы продолжают использовать римские цифры , обычно в нижнем регистре, [2] [3] как в
для обозначения производных четвертого, пятого, шестого и более высоких порядков. Другие авторы используют арабские цифры в скобках, как в
Это обозначение также позволяет описать производную n , где n - переменная. Это написано
Символы Юникода, относящиеся к нотации Лагранжа, включают
U + 2032 ◌ ′ PRIME (производная)
U + 2033 ◌ ″ DOUBLE PRIME (двойная производная)
U + 2034 ◌ ‴ TRIPLE PRIME (третья производная)
U + 2057 ◌ ⁗ ЧЕТВЕРКА ПРАЙМ (четвертая производная)
Когда есть две независимые переменные для функции f ( x , y ), можно следовать следующему соглашению: [4]
Обозначение Лагранжа для антидифференцировки
f (−1) ( x ) f (−2) ( x )
Одинарный и двойной неопределенные интегралы от f по x в обозначениях Лагранжа.
При выборе первообразной Лагранж следовал обозначениям Лейбница: [5]
Однако, поскольку интегрирование является обратной операцией дифференцирования, обозначения Лагранжа для производных более высокого порядка распространяются и на интегралы. Повторяющиеся интегралы от f можно записать как
Высшие производные в качестве «нотированы полномочий» из D (где верхние индексы обозначают итерационную композицию из D ), как и в [4]
для второй производной
для третьей производной и
для n- й производной.
Нотация Эйлера оставляет неявной переменную, по которой производится дифференцирование. Однако эту переменную также можно указать явно. Когда f является функцией переменной x , это делается записью [4]
для первой производной,
для второй производной
для третьей производной и
для n- й производной.
Когда е является функцией нескольких переменных, это общепринятая использовать « ∂ » , а не D . Как и выше, нижние индексы обозначают взятые производные. Например, вторые частные производные функции f ( x , y ) : [4]
Обозначения Эйлера полезны для формулировки и решения линейных дифференциальных уравнений , поскольку они упрощают представление дифференциального уравнения, что может облегчить понимание основных элементов проблемы.
Нотация Эйлера для антидифференцировки
D-1 хy D −2 f
Х первообразная у и второй первообразной F , Эйлера обозначения.
Обозначения Эйлера могут использоваться для антидифференцирования точно так же, как обозначения Лагранжа [8] следующим образом [7]
для первого первообразного,
для второй первообразной, и
для n- го первообразного.
Обозначение Ньютона
ẋ ẍ
Первая и вторая производные от x , обозначения Ньютона.
Ньютоновская нотация для дифференцирования (также называемая точечной нотацией или иногда, грубо говоря, нотацией для дифференцирования [9] ) ставит точку над зависимой переменной. То есть, если y является функцией t , то производная y по t равна
Высшие производные представлены с использованием нескольких точек, как в
К символам Юникода, относящимся к нотации Ньютона, относятся:
U + 0307 ◌̇ ОБЪЕДИНЕНИЕ ТОЧКИ ВЫШЕ (производная)
U + 0308 ◌̈ КОМБИНИРОВАННЫЙ ДИАРЕЗ (двойная производная)
U + 20DB ◌⃛ ОБЪЕДИНЕНИЕ ТРЕХ ТОЧЕК ВЫШЕ (третья производная) ← заменено на «объединение диэрезиса» + «объединение точки сверху».
U + 20DC ◌⃜ ОБЪЕДИНЕНИЕ ЧЕТЫРЕ ТОЧЕК ВЫШЕ (четвертая производная) ← дважды заменено на «объединение диэрезиса».
U + 030D ◌̍ КОМБИНИРОВАНИЕ ВЕРТИКАЛЬНАЯ ЛИНИЯ НАД (интеграл)
U + 030E ◌̎ ОБЪЕДИНЕНИЕ ДВОЙНОЙ ВЕРТИКАЛЬНОЙ ЛИНИИ ВЫШЕ (второй интеграл)
U + 25AD ▭ БЕЛЫЙ ПРЯМОУГОЛЬНИК (интегральный)
U + 20DE ◌⃞ ОБЪЕДИНИТЕЛЬНЫЙ ПЛОЩАДЬ (цельный)
U + 1DE0 ◌ᷠ ОБЪЕДИНЕНИЕ СТРОЧНОЙ ЛАТИНСКОЙ БУКВЫ N ( n- я производная)
Обозначение Ньютона обычно используется, когда независимая переменная обозначает время . Если местоположение y является функцией t , тообозначает скорость [11] иобозначает ускорение . [12] Это обозначение популярно в физике и математической физике . Он также появляется в областях математики, связанных с физикой, таких как дифференциальные уравнения . Он популярен только для первой и второй производных, но в приложениях, как правило, это единственные производные, которые необходимы.
При выборе производной зависимой переменной y = f ( x ) существует альтернативное обозначение: [13]
Ньютон разработал следующие операторы в частных производных, используя боковые точки на изогнутом X (ⵋ). Определения, данные Уайтсайдом, приведены ниже: [14] [15]
Обозначение Ньютона для интегрирования
x̍ x̎
Первая и вторая первообразные x в одной из ньютоновских нотаций.
Ньютон разработал множество различных обозначений для интегрирования в своей Quadratura curvarum (1704) и более поздних работах : он написал небольшую вертикальную черту или штрих над зависимой переменной ( y̍ ), прямоугольник с префиксом ( ▭ y ) или вложение члена в прямоугольник ( у ) для обозначения свободно или временной интеграл ( absement ).
Для обозначения нескольких интегралов Ньютон использовал две маленькие вертикальные черты или простые числа ( y̎ ) или комбинацию предыдущих символов ▭ y̍ y̍ для обозначения второго интеграла по времени (абсолютность).
Интегралы по времени высшего порядка были следующими: [16]
Это математическое обозначение не получило широкого распространения из-за трудностей с печатью и споров об исчислении Лейбница-Ньютона .
Частные производные
f x f xy
Функция f дифференцируется по x , затем по x и y .
Когда необходимы более конкретные типы дифференцирования, например, в многомерном исчислении или тензорном анализе , используются другие обозначения.
Для функции f независимой переменной x мы можем выразить производную, используя индексы независимой переменной:
Этот тип записи особенно полезен для получения частных производных от функции нескольких переменных.
∂f/∂x
Функция f, дифференцированная по x .
Частные производные обычно отличаются от обычных производных заменой дифференциального оператора d символом « ∂ ». Например, мы можем указать частную производную f ( x , y , z ) по x , но не по y или z несколькими способами:
Что делает это различие важным, так это то, что непрямая производная, такая как может , в зависимости от контекста, интерпретироваться как скорость изменения относительно когда все переменные могут изменяться одновременно, тогда как с частной производной, такой как ясно, что должна изменяться только одна переменная.
Другие обозначения можно найти в различных подполях математики, физики и инженерии; смотри, например, отношения Максвелла из термодинамики . Символ- производная температуры T по объему V при сохранении постоянной энтропии (нижний индекс) S , в то время какявляется производной от температуры по отношению к объему , а константы поддержания давления P . Это становится необходимым в ситуациях, когда количество переменных превышает количество степеней свободы, так что нужно выбирать, какие другие переменные следует оставить фиксированными.
Частные производные высшего порядка по одной переменной выражаются как
и так далее. Смешанные частные производные могут быть выражены как
В этом последнем случае переменные записываются в обратном порядке между двумя обозначениями, что объясняется следующим образом:
Так называемая многоиндексная нотация используется в ситуациях, когда приведенная выше нотация становится громоздкой или недостаточно выразительной. При рассмотрении функций на, мы определяем мультииндекс как упорядоченный список неотрицательные целые числа: . Затем мы определяем для, обозначение
Таким образом можно кратко выразить некоторые результаты (например, правило Лейбница ), которые утомительно писать другими способами - некоторые примеры можно найти в статье о мультииндексах . [17]
Обозначения в векторном исчислении
Вектор Исчисление касается дифференциации и интеграции в вектор или скалярных полей . Распространены несколько обозначений, характерных для трехмерного евклидова пространства .
Предположим, что ( x , y , z ) - заданная декартова система координат , что A - векторное поле с компонентами, и это является скалярным полем .
Дифференциальный оператор, введенный Уильямом Роуэном Гамильтоном , который обозначается буквой и называется дель или набла, символически определяется в виде вектора:
где терминология символически отражает, что оператор ∇ также будет рассматриваться как обычный вектор.
∇ φ
Градиент скалярного поля φ .
Градиент : градиент скалярного поля - вектор, который символически выражается умножением ∇ и скалярного поля,
∇ ∙ А
Дивергенция векторного поля A .
Дивергенция : Дивергенция.векторного поля A является скаляром, который символически выражается скалярным произведением и вектора A ,
∇ 2 φ
Лапласиан скалярного поля φ .
Лапласиан : лапласиан скалярного поля является скаляром, который символически выражается скалярным умножением ∇ 2 и скалярного поля φ ,
∇ × А
Ротор векторного поля A .
Вращение : вращение, или же , векторного поля A является вектором, который символически выражается перекрестным произведением и вектора A ,
Многие символические операции над производными можно напрямую обобщить с помощью оператора градиента в декартовых координатах. Например, правило произведения с одной переменной имеет прямой аналог в умножении скалярных полей путем применения оператора градиента, как в
Многие другие правила исчисления с одной переменной имеют аналоги векторного исчисления для градиента, дивергенции, ротации и лапласиана.
Дальнейшие обозначения были разработаны для более экзотических типов пространств. Для расчетов в пространстве Минковского , то Д'Аламбера оператор , называемый также Даламбер, волновой оператор, или оператор коробки представлен как, или как когда не противоречит символу лапласиана.
^ Моррис, Карла С. (2015-07-28). Основы математического анализа . Старк, Роберт М., 1930-2017. Хобокен, Нью-Джерси. ISBN 9781119015314. OCLC 893974565 .
^Осборн, Джордж А. (1908). Дифференциальное и интегральное исчисление . Бостон: округ Колумбия Хит и компания. стр. 63 -65.
^ a b c d Дифференциальное и интегральное исчисление ( Август Де Морган , 1842 г.). стр. 267-268
^ Лагранж , Нувли METHODE налить résoudre ль littérales номинальных уравнения ль Moyen де SERIES (1770), стр. 25-26. http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PID=PPN308900308%7CLOG_0017&physid=PHYS_0031
^«Оператор D - Дифференциальный - Исчисление - Справочник по математике с рабочими примерами» . www.codecogs.com . Архивировано 19 января 2016 года.
^ a b Вайсштейн, Эрик У. «Дифференциальный оператор». Из MathWorld - веб-ресурса Wolfram. «Архивная копия» . Архивировано 21 января 2016 года . Проверено 7 февраля 2016 .CS1 maint: заархивированная копия как заголовок ( ссылка )
^ Вайсштейн, Эрик В. «Повторяющийся интеграл». Из MathWorld - веб-ресурса Wolfram. «Архивная копия» . Архивировано 01 февраля 2016 года . Проверено 7 февраля 2016 .CS1 maint: заархивированная копия как заголовок ( ссылка )
^Зилл, Деннис Г. (2009). «1.1» . Первый курс дифференциальных уравнений (9-е изд.). Бельмонт, Калифорния : Брукс / Коул . п. 3. ISBN 978-0-495-10824-5.
^ Обозначения Ньютона воспроизведены из:
Производные с 1-й по 5-ю: Quadratura curvarum ( Newton , 1704), стр. 7 (стр. 5r в оригинальной MS: «Архивная копия» . Архивировано 28 февраля 2016 года . Проверено 5 февраля 2016 .CS1 maint: заархивированная копия как заголовок ( ссылка )).
Производные с 1-й по 7-ю, n- ю и ( n + 1) -ю : Метод колебаний ( Ньютон , 1736 г.), стр. 313-318 и стр. 265 (стр. 163 в оригинальной MS: «Архивная копия» . Архивировано 6 апреля 2017 года . Проверено 5 февраля 2016 .CS1 maint: заархивированная копия как заголовок ( ссылка ))
Производные с 1-й по 5-ю: Трактат о флюксиях (Колин Маклаурин, 1742), стр. 613
Производные с 1-й по 4-ю и n- ю: статьи «Дифференциальные» и «Плавные», Словарь чистой и смешанной математики (Питер Барлоу, 1814 г.)
Производные с 1-й по 4-ю, 10-ю и n- ю: статьи 622, 580 и 579 в " Истории математических обозначений" (Ф. Каджори, 1929).
Производные с 1-го по 6-й и n- й: Математические статьи Исаака Ньютона Vol. 7 1691-1695 (DT Whiteside, 1976), стр. 88 и 17
Производные от 1-го до 3-го и n- го: История анализа (Hans Niels Jahnke, 2000), стр. 84-85
Точку для n- й производной можно опустить ( )
^ Weisstein, Эрик В. "Overdot". Из MathWorld - веб-ресурса Wolfram. «Архивная копия» . Архивировано 5 сентября 2015 года . Проверено 5 февраля 2016 .CS1 maint: заархивированная копия как заголовок ( ссылка )
^ Вайсштейн, Эрик В. «Двойная точка». Из MathWorld - веб-ресурса Wolfram. «Архивная копия» . Архивировано 03 марта 2016 года . Проверено 5 февраля 2016 .CS1 maint: заархивированная копия как заголовок ( ссылка )
^ Статья 580 в Флориане Каджори, История математических обозначений (1929), Dover Publications, Inc., Нью-Йорк. ISBN 0-486-67766-4
^ "Образцы математической мысли в более позднем семнадцатом веке", Архив истории точных наук Vol. 1, No. 3 (DT Whiteside, 1961), стр. 361–362 378
^ С.Б. Энгельсман дал более строгие определения в " Семействах кривых и происхождении частичной дифференциации" (2000), стр. 223-226.
^ Обозначение Ньютона для интеграции воспроизведено из:
1–3 интегралы: Quadratura curvarum ( Ньютон , 1704 г.), стр. 7 (стр. 5r в оригинальной MS: «Архивная копия» . Архивировано 28 февраля 2016 года . Проверено 5 февраля 2016 .CS1 maint: заархивированная копия как заголовок ( ссылка ))
1–3 интегралы: Метод колебаний ( Ньютон , 1736), стр. 265-266 (стр. 163 в оригинальном MS: «Архивная копия» . Архивировано 6 апреля 2017 года . Проверено 5 февраля 2016 .CS1 maint: заархивированная копия как заголовок ( ссылка ))
4-й интеграл: Доктрина флюксий (Джеймс Ходжсон, 1736 г.), стр. 54 и 72.
1–2 интегралы: статьи 622 и 365 в «Истории математических обозначений» (Ф. Каджори, 1929).
П - й интегральной записи вычитается из п - й производной. Его можно было использовать в Methodus Incrementorum Directa & Inversa (Brook Taylor, 1715).
^Ту, Лоринг В. (2011). Введение в многообразия (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-1-4419-7400-6. OCLC 682907530 .
Внешние ссылки
Самые ранние случаи использования символов исчисления , поддержанные Джеффом Миллером ( Архивировано 26 июля 2020 г. (несоответствие даты) на Wayback Machine ).