В квантовой теории поля , А нелинейная σ модель описывает скалярное поле Е , который принимает значения в нелинейном многообразии называется целевым многообразие Т . Нелинейная σ- модель была введена Гелл-Манном и Леви (1960 , раздел 6), которые назвали ее в честь поля, соответствующего бесспиновому мезону, названному в их модели σ . [1] Эта статья посвящена в первую очередь квантованию нелинейной сигма-модели; пожалуйста, обратитесь к базовой статье о сигма-модели для получения общих определений, а также классических (неквантовых) формулировок и результатов.
Описание
Целевое многообразие T снабжено римановой метрикой g . Σ является дифференцируемым отображением из пространства Минковского M (или какое -либо другое пространства) до Т .
Плотность лагранжиана в современной киральной форме [2] определяется выражением
где мы использовали + - - - метрическую подпись и частный производную ∂Σ даются секцией расслоения струй из T × M и V является потенциалом.
В координатной записи с координатами Σ a , a = 1, ..., n, где n - размерность T ,
В более чем двух измерениях нелинейные σ- модели содержат размерную константу связи и, таким образом, не поддаются пертурбативной перенормировке. Тем не менее, они демонстрируют нетривиальную ультрафиолетовую неподвижную точку ренормализационной группы как в решеточной формулировке [3] [4], так и в двойном разложении, первоначально предложенном Кеннетом Уилсоном . [5]
В обоих подходах нетривиальная фиксированная точка ренормгруппы, найденная для O (n) -симметричной модели, как видно, просто описывает в размерах больше двух критическую точку, отделяющую упорядоченную фазу от неупорядоченной. Кроме того, улучшенные предсказания решеточной или квантовой теории поля можно сравнить с лабораторными экспериментами по критическим явлениям , поскольку модель O (n) описывает физические ферромагнетики Гейзенберга и связанные с ними системы. Таким образом, приведенные выше результаты указывают на неспособность наивной теории возмущений правильно описать физическое поведение O (n) -симметричной модели над двумя измерениями и на необходимость более сложных непертурбативных методов, таких как решеточная формулировка.
Это означает, что они могут возникнуть только как эффективные теории поля . Новая физика необходима примерно на шкале расстояний, где корреляционная функция, соединенная двумя точками, имеет тот же порядок, что и кривизна целевого многообразия. Это называется УФ-завершением теории. Существует специальный класс нелинейных σ-моделей с внутренней группой симметрии G *. Если G - группа Ли, а H - подгруппа Ли , то фактор-пространство G / H является многообразием (с некоторыми техническими ограничениями, например, H является замкнутым подмножеством), а также однородным пространством группы G или, другими словами, нелинейная реализация в G . Во многих случаях G / H можно снабдить римановой метрикой, которая является G -инвариантной. Это всегда так, например, если G является компактным . Нелинейная σ-модель с G / H в качестве целевого многообразия с G- инвариантной римановой метрикой и нулевым потенциалом называется нелинейной σ- моделью фактор-пространства (или пространства смежных классов) .
При вычислении интегралов по траекториям , функциональная мера должна быть «взвешенным» на квадратный корень из детерминанта из г ,
Перенормировка
Эта модель оказалась актуальной в теории струн, где двумерное многообразие называется мировым листом . Оценка его обобщенной перенормируемости была дана Дэниелом Фриданом . [6] Он показал, что теория допускает уравнение ренормгруппы в главном порядке теории возмущений в виде
R ab - тензор Риччи целевого многообразия.
Это представляет собой поток Риччи , подчиняющийся уравнениям поля Эйнштейна для целевого многообразия как фиксированной точки. Существование такой фиксированной точки имеет значение, поскольку в этом порядке теории возмущений она обеспечивает, что конформная инвариантность не теряется из-за квантовых поправок, так что квантовая теория поля этой модели является разумной (перенормируемой).
Дальнейшее добавление нелинейных взаимодействий , представляющих аромат хиральных аномалий результатов в модели Весс-Зумин-Виттен , [7] , который увеличивает геометрию потока , чтобы включать в себя кручение , сохраняя перенормируемость и приводят к инфракрасной области фиксированной точке , а также, за счет телепараллелизма ( «геометростаз»). [8]
O (3) нелинейная сигма-модель
Знаменитым примером, представляющим особый интерес благодаря своим топологическим свойствам, является O (3) нелинейная σ -модель в 1 + 1 измерениях с плотностью лагранжиана
где n̂ = ( n 1 , n 2 , n 3 ) с ограничением n̂ ⋅ n̂ = 1 и μ = 1,2.
Эта модель допускает топологические решения с конечным действием, поскольку в бесконечном пространстве-времени плотность лагранжиана должна обращаться в нуль, что означает n̂ = константа на бесконечности. Следовательно, в классе решений с конечным действием можно идентифицировать бесконечно удаленные точки как одну точку, то есть это пространство-время можно отождествить со сферой Римана .
Поскольку п -полем жизни на сфере, а также отображение S 2 → S 2 в качестве доказательства, решения , которые классифицируются по второй гомотопической группы из 2-сферы: Эти решения называются O (3) Инстантоны .
Эту модель также можно рассматривать в измерениях 1 + 2, где топология теперь исходит только из пространственных срезов. Они моделируются как R ^ 2 с бесконечно удаленной точкой и, следовательно, имеют ту же топологию, что и инстантоны O (3) в 1 + 1 измерениях. Их называют шишками сигма-модели.
Смотрите также
- Сигма модель
- Хиральная модель
- Маленький Хиггс
- Скирмион , солитон в нелинейных сигма-моделях
- Модель WZW
- Метрика Фубини – Штуди , метрика, часто используемая с нелинейными сигма-моделями.
- Риччи поток
- Масштабная инвариантность
Рекомендации
- ^ Гелл-Манн, М .; Леви М. (1960), «Осевой векторный ток в бета-распаде», Il Nuovo Cimento , Итальянское физическое общество, 16 (4): 705–726, Bibcode : 1960NCim ... 16..705G , doi : 10.1007 / BF02859738 , ISSN 1827-6121 , S2CID 122945049
- ^ Гюрси, Ф. (1960). «О симметриях сильного и слабого взаимодействий». Il Nuovo Cimento . 16 (2): 230–240. Bibcode : 1960NCim ... 16..230G . DOI : 10.1007 / BF02860276 . S2CID 122270607 .
- ^ Зинн-Джастин, Жан (2002). Квантовая теория поля и критические явления . Издательство Оксфордского университета.
- ^ Карди, Джон Л. (1997). Масштабирование и ренормализационная группа в статистической физике . Издательство Кембриджского университета.
- ^ Брезин, Эдуард; Зинн-Джастин, Жан (1976). «Перенормировка нелинейной сигма-модели в размерности 2 + эпсилон». Письма с физическим обзором . 36 (13): 691–693. Bibcode : 1976PhRvL..36..691B . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.36.691 .
- ^ Фридан, Д. (1980). «Нелинейные модели в 2 + ε измерениях» . Письма с физическим обзором . 45 (13): 1057–1060. Bibcode : 1980PhRvL..45.1057F . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.45.1057 .
- ^ Виттен, Э. (1984). «Неабелева бозонизация в двух измерениях». Сообщения по математической физике . 92 (4): 455–472. Bibcode : 1984CMaPh..92..455W . DOI : 10.1007 / BF01215276 . S2CID 122018499 .
- ^ Braaten, E .; Кертрайт, TL; Захос, СК (1985). «Кручение и геометростаз в нелинейных сигма-моделях». Ядерная физика Б . 260 (3-4): 630. Bibcode : 1985NuPhB.260..630B . DOI : 10.1016 / 0550-3213 (85) 90053-7 .
Внешние ссылки
- Кетов, Сергей (2009). «Нелинейная сигма-модель» . Scholarpedia . 4 (1): 8508. Bibcode : 2009SchpJ ... 4.8508K . DOI : 10,4249 / scholarpedia.8508 .
- Kulshreshtha, U .; Кульшрешта, DS (2002). "Формулировки гамильтониана передней формы, интеграла по траекториям и БРСТ нелинейной сигма-модели". Международный журнал теоретической физики . 41 (10): 1941–1956. DOI : 10,1023 / A: 1021009008129 . S2CID 115710780 .