В логике , отрицание , также называется логическим дополнением , является операция , которая принимает предложение к другому предложению "не ", написано , или же . [1] Это интуитивно интерпретируется как истина, когда ложно, и ложно, когда правда. [2] [3] Таким образом, отрицание является унарной (с одним аргументом) логической связкой . Его можно применять как операцию над понятиями , предложениями , значениями истинности или семантическими значениями в более общем смысле. В классической логике отрицание обычно отождествляется с функцией истинности, которая переводит истину в ложь (и наоборот). В интуиционистской логике , согласно интерпретации Брауэра – Гейтинга – Колмогорова , отрицание предложения - предложение, доказательствами которого являются опровержения .
НЕТ | |
---|---|
Определение | |
Таблица истинности | |
Логический вентиль | |
Нормальные формы | |
Дизъюнктивный | |
Конъюнктивный | |
Полином Жегалкина | |
Решетки столба | |
0-сохраняющий | нет |
1-консервирующий | нет |
Монотонный | нет |
Аффинный | да |
Определение
Не существует согласия относительно возможности определения отрицания, относительно его логического статуса, функции и значения, относительно области его применимости и относительно интерпретации отрицательного суждения (FH Heinemann 1944). [4]
Классическое отрицание - это операция над одним логическим значением , обычно значением предложения , которая производит значение true, когда его операнд ложный, и значение false, когда его операнд истинен. Таким образом, если утверждение P верно, то(произносится как «не П») тогда будет ложным; и наоборот, еслиложно, то P будет истинным.
Таблица истинности для составляет:
Правда Ложь Ложь Правда
Отрицание можно определить в терминах других логических операций. Например, можно определить как (где это логическое следствие иэто абсолютная ложь ). Наоборот, можно определить в виде для любого предложения Q (гдеявляется логической конъюнкция ). Идея здесь в том, что любое противоречие ложно, и хотя эти идеи работают как в классической, так и в интуиционистской логике, они не работают в паранепротиворечивой логике , где противоречия не обязательно ложны. В классической логике мы также получаем следующее тождество: можно определить как , где это логическая дизъюнкция .
Алгебраически классическое отрицание соответствует дополнению в булевой алгебре , а интуиционистское отрицание - псевдодополнению в алгебре Гейтинга . Эти алгебры обеспечивают семантику классической и интуиционистской логики соответственно.
Обозначение
Отрицание предложения p обозначается по-разному, в разных контекстах обсуждения и областях применения. В следующей таблице приведены некоторые из этих вариантов:
Обозначение | Простой текст | Вокализация |
---|---|---|
¬p | Не п | |
~ р | Не п | |
-п | Не п | |
N p | En p | |
п' |
| |
п |
| |
!п |
|
Обозначение N p - это обозначение Лукасевича .
В теории множеств , также используется для обозначения «не входит в набор»: это совокупность всех членов U , которые не являются членами A .
Независимо от того, как это обозначено или символизировано , отрицаниеможет быть прочитано как «это не тот случай, когда P », «не то, что P » или, как правило, проще, как «не P ».
Характеристики
Двойное отрицание
В системе классической логики двойное отрицание, то есть отрицание отрицания предложения, Является логическим эквивалентом для. Выражаясь в символических терминах,. В интуиционистской логике предложение подразумевает двойное отрицание, но не наоборот. Это отмечает одно важное различие между классическим и интуиционистским отрицанием. Алгебраически классическое отрицание называется инволюцией периода два.
Однако в интуиционистской логике эквивалентностьне держит. Более того, в пропозициональном случае предложение является классически доказуемым, если его двойное отрицание доказуемо интуитивно. Этот результат известен как теорема Гливенко .
Распределительность
Законы де Морган обеспечивает способ распределения отрицания над дизъюнкцией и вместе :
- , а также
- .
Линейность
Позволять обозначают логическую операцию xor . В булевой алгебре линейная функция - это такая, что:
Если существует , , для всех .
Другой способ выразить это - то, что каждая переменная всегда имеет значение в истинности операции или никогда не имеет значения. Отрицание - это линейный логический оператор.
Самостоятельная двойная
В булевой алгебре самодвойственная функция - это такая функция, что:
для всех . Отрицание - это самодвойственный логический оператор.
Отрицания кванторов
В логике первого порядка есть два квантора, один - универсальный квантор. (означает «для всех»), а второй - квантор существования. (означает «существует»). [1] Отрицание одного квантора - это другой квантор ( а также ). Например, с предикатом P как « x смертен» и доменом x как совокупностью всех людей,означает «человек x во всех людях смертен» или «все люди смертны». Отрицание этого, что означает « во всех людях существует человек x, который не является смертным», или «существует тот, кто живет вечно».
Правила вывода
Есть несколько эквивалентных способов сформулировать правила отрицания. Один из обычных способов сформулировать классическое отрицание в условиях естественного вывода состоит в том, чтобы принять в качестве примитивных правил введение отрицания вывода (из вывода как для а также , сделать вывод ; это правило также называется reductio ad absurdum ), устранение отрицания (от а также сделать вывод ; это правило также называется ex falso quodlibet ), и исключение двойного отрицания (от сделать вывод ). Правила интуиционистского отрицания получаются таким же образом, но исключая исключение двойного отрицания.
Во введении к отрицанию говорится, что если абсурд можно сделать вывод из тогда не должно быть так (т.е. ложно (классически) или опровергается (интуиционистски) и т. д.). Устранение отрицания утверждает, что все следует из абсурда. Иногда устранение отрицания формулируется с помощью знака примитивной абсурдности.. В этом случае правило гласит, что от а также следует за абсурдом. Вместе с исключением двойного отрицания можно вывести наше изначально сформулированное правило, а именно, что все следует из абсурда.
Обычно интуиционистское отрицание из определяется как . Тогда введение и устранение отрицания - это просто частные случаи введения импликации ( условное доказательство ) и исключения ( modus ponens ). В этом случае нужно также добавить в качестве примитивного правила ex falso quodlibet .
Язык программирования и обычный язык
Как и в математике, в информатике отрицание используется для построения логических утверждений.
if ( ! ( r == t )) { /*... выражения, выполняемые, когда r НЕ равно t ... * / }
Восклицательный знак " !
" означает логическое НЕ в B , C , и языки с C-вдохновенный синтаксиса , такие как C ++ , Java , JavaScript , Perl и PHP . " NOT
" - это оператор, используемый в ALGOL 60 , BASIC и языках с синтаксисом, вдохновленным ALGOL или BASIC, таких как Pascal , Ada , Eiffel и Seed7 . Некоторые языки (C ++, Perl и т. Д.) Предоставляют более одного оператора для отрицания. Некоторые языки, такие как PL / I и Ratfor, используют ¬
для отрицания. Некоторые современные компьютеры и операционные системы будут отображаться ¬
как !
файлы, закодированные в ASCII . [ требуется пояснение ] Большинство современных языков позволяют сокращать приведенный выше оператор с if (!(r == t))
до if (r != t)
, что иногда позволяет, когда компилятор / интерпретатор не может его оптимизировать, более быстрые программы.
В информатике также существует поразрядное отрицание . Это принимает заданное значение и переключает все двоичные единицы на 0 и 0 на 1. См. Побитовые операции . Это часто используется для создания дополнения до единиц или " ~
" в C или C ++ и дополнения до двух (просто упрощено до " -
" или знака минус, поскольку это эквивалентно принятию отрицательного арифметического значения числа), поскольку в основном создается противоположное ( эквивалент отрицательного значения) или математическое дополнение значения (когда оба значения складываются вместе, они образуют единое целое).
Чтобы получить абсолютное (положительное эквивалентное) значение заданного целого числа, следующее будет работать, поскольку " -
" изменяет его с отрицательного на положительное (оно отрицательное, потому что " x < 0
" дает истину)
беззнаковый int abs ( int x ) { если ( x < 0 ) return - x ; иначе вернуть x ; }
Чтобы продемонстрировать логическое отрицание:
беззнаковый int abs ( int x ) { если ( ! ( x < 0 )) return x ; иначе возврат - х ; }
Инвертирование условия и изменение результатов дает код, который логически эквивалентен исходному коду, то есть будет иметь идентичные результаты для любого ввода (обратите внимание, что в зависимости от используемого компилятора фактические инструкции, выполняемые компьютером, могут отличаться).
Это соглашение иногда встречается в обычной письменной речи как компьютерный сленг для « нет» . Например, фраза !voting
означает «не голосование». Другой пример - фраза, !clue
которая используется как синоним слов «не догадывается» или «невежественен». [5] [6]
Семантика Крипке
В семантике Крипке, где семантические значения формул являются наборами возможных миров , отрицание может пониматься как означающее теоретико-множественное дополнение [ необходима цитата ] (см. Также семантику возможных миров для получения дополнительной информации).
Смотрите также
- Утверждение и отрицание (грамматическая полярность)
- Ampheck
- Апофаз
- Бинарная оппозиция
- Побитовое НЕ
- Противопоставление
- Циклическое отрицание
- Логическое соединение
- Логическая дизъюнкция
- Отрицание как неудача
- НЕ ворота
- Борода Платона
- Площадь оппозиции
- Функция истины
- Таблица истинности
Рекомендации
- ^ a b «Исчерпывающий список логических символов» . Математическое хранилище . 6 апреля 2020 . Дата обращения 2 сентября 2020 .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Отрицание» . mathworld.wolfram.com . Дата обращения 2 сентября 2020 .
- ^ «Логико-математические утверждения - рабочие примеры» . www.math.toronto.edu . Дата обращения 2 сентября 2020 .
- ^ Хорн, Лоуренс Р. (2001). "Глава 1". ЕСТЕСТВЕННАЯ ИСТОРИЯ ОТРИЦАНИЯ . Стэнфордский университет: публикации CLSI. п. 1. ISBN 1-57586-336-7.
- ↑ Раймонд, Эрик и Стил, Гай. Словарь нового хакера , стр. 18 (MIT Press 1996).
- ^ Мунат, Юдифь. Лексическое творчество, тексты и контекст , стр. 148 (Издательство Джона Бенджамина, 2007).
дальнейшее чтение
- Габбай, Дов и Вансинг, Генрих, ред., 1999. Что такое отрицание? , Kluwer .
- Хорн, Л. , 2001. Естественная история отрицания , Издательство Чикагского университета .
- Г. Х. фон Райт , 1953–59, "О логике отрицания", Commentationes Physico-Mathematicae 22 .
- Вансинг, Генрих, 2001, «Отрицание», в Гобле, Лу, изд., Блэквелл: Руководство по философской логике , Блэквелл .
- Теттаманти, Марко; Маненти, Роза; Della Rosa, Pasquale A .; Фалини, Андреа; Перани, Даниэла; Каппа, Стефано Ф .; Моро, Андреа (2008). «Отрицание в мозгу: представление модулирующего действия». NeuroImage . 43 (2): 358–367. DOI : 10.1016 / j.neuroimage.2008.08.004 . PMID 18771737 . S2CID 17658822 .
Внешние ссылки
- Хорн, Лоуренс Р .; Вансинг, Генрих. «Отрицание» . В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии .
- «Отрицание» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
- НЕ , в MathWorld
- Таблицы истинности составных предложений
- «Таблица истинности для предложения NOT, примененного к предложению END» . Архивировано 1 марта 2000 года.
- «Предложение NOT в предложении END» . Архивировано 1 марта 2000 года.
- «Предложение НЕ в предложении ИЛИ» . Архивировано 17 января 2000 года.
- «НЕ условие IF ... THEN период» . Архивировано 1 марта 2000 года.