Четные и нечетные функции

В математике четные функции и нечетные функции — это функции , которые удовлетворяют определенным отношениям симметрии относительно принятия аддитивных инверсий . Они важны во многих областях математического анализа , особенно в теории степенных рядов и рядов Фурье . Они названы по четности мощностей степенных функций , которые удовлетворяют каждому условию: функция является четной функцией, если n — четное целое число , и нечетной функцией, если n ${\ Displaystyle е (х) = х ^ {п}}$ является нечетным целым числом.

Четность и нечетность обычно рассматриваются для вещественных функций , то есть вещественных функций вещественной переменной. Однако концепции могут быть определены более широко для функций, домен и код домена которых имеют понятие аддитивной обратной . Сюда входят абелевы группы , все кольца , все поля и все векторные пространства . Так, например, действительная функция может быть нечетной или четной (или ни одной из них), как и комплекснозначная функция векторной переменной и т. д.

Пусть f — функция вещественной переменной с действительным знаком. Тогда f четно , если для всех x таких, что x и − x лежат в области определения f , выполняется следующее уравнение : ^[1]^{: p. 11}

Геометрически график четной функции симметричен относительно оси y , а это означает, что ее график остается неизменным после отражения относительно оси y .

Опять же, пусть f будет вещественной функцией действительной переменной. Тогда f нечетно , если для всех x таких, что x и − x лежат в области определения f , выполняется следующее уравнение : ^[1]^{: p.}⁷²

Геометрически график нечетной функции имеет вращательную симметрию относительно начала координат , что означает, что его график остается неизменным после поворота на 180 градусов вокруг начала координат.

Функция синуса и все ее полиномы Тейлора являются нечетными функциями. Это изображение показывает и его приближения Тейлора, полиномы степени 1, 3, 5, 7, 9, 11 и 13.