Движение поршня без смещения, соединенного с кривошипом через шатун (как в двигателях внутреннего сгорания ), можно выразить с помощью нескольких математических уравнений . В этой статье показано, как выводятся эти уравнения движения, и показан пример графика.
Геометрия коленчатого вала
Определения
- длина штока (расстояние между поршневым пальцем и кривошипным пальцем )
- радиус кривошипа (расстояние между шатунной шейкой и центром кривошипа, т. е. половина хода )
- угол поворота коленвала (от центральной линии отверстия цилиндра в ВМТ )
- положение поршневого пальца (вверх от центра кривошипа по средней линии отверстия цилиндра)
- скорость поршневого пальца (вверх от центра кривошипа по средней линии отверстия цилиндра)
- ускорение поршневого пальца (вверх от центра кривошипа по средней линии отверстия цилиндра)
- угловая скорость кривошипа
Угловая скорость
Коленчатый вал угловая скорость связана с двигателем оборотов в минуту (RPM):
Отношение треугольника
Как показано на схеме, шатун , центр кривошипа и поршневой палец образуют треугольник NOP.
По закону косинусов видно, что:
Уравнения относительно углового положения (угловая область)
Следующие уравнения описывают возвратно-поступательное движение поршня относительно угла поворота коленчатого вала. Примеры графиков этих уравнений показаны ниже.
Должность
Положение относительно угла поворота коленчатого вала (из отношения треугольника, завершения квадрата , использования тождества Пифагора и перестановки):
Скорость
Скорость относительно угла поворота коленчатого вала (возьмите первую производную , используя цепное правило ):
(если вы желаете манипулировать этим дальше, добавьте сюда подраздел, включая объяснение намерения (например, «изолировать термины греха»)).
Ускорение
Ускорение по отношению к углу поворота коленчатого вала (принять вторую производную , используя правило цепи и правила фактор ):
(если вы желаете манипулировать этим дальше, добавьте сюда подраздел, включая объяснение намерения (например, «изолировать термины греха»)).
Уравнения относительно времени (временная область)
Производные угловой скорости
Если угловая скорость постоянна, то
и применяются следующие отношения:
Преобразование из угловой области во временную
Следующие уравнения описывают возвратно-поступательное движение поршня во времени. Если вместо угловой области требуется временная область , сначала замените A на ω t в уравнениях, а затем масштабируйте угловую скорость следующим образом:
Должность
Положение относительно времени просто:
Скорость
Скорость относительно времени (с использованием цепного правила ):
Ускорение
Ускорение по времени ( с использованием правила цепи и правила продукта , а также угловой скорости производные ):
Масштабирование угловой скорости
Вы можете видеть, что x не масштабируется, x 'масштабируется ω , а x "масштабируется ω ². Чтобы преобразовать x' из скорости в зависимости от угла [м / рад] в скорость в зависимости от времени [м / с], умножьте x 'на ω [рад / с]. Для преобразования х «от ускорения против угла [м / rad²] на ускорение в зависимости от времени [м / с ] умножить х» по со ² [rad² / с²]. Следует отметить , что размерный анализ показывает , что блоки являются последовательный.
Максимумы / минимумы скорости
Переход через ноль ускорения
По определению, максимумы и минимумы скорости возникают в нулях ускорения (пересечения горизонтальной оси) ; они зависят от длины штока (l) и половины хода (r) и не возникают при углах поворота коленчатого вала (A) ± 90 °.
Угол шатуна не прямой
Максимумы и минимумы скорости не обязательно возникают, когда кривошип находится под прямым углом к штоку. Существуют контрпримеры, опровергающие идею о том, что максимумы и минимумы скорости возникают только тогда, когда угол поворота кривошипа является прямым.
Пример
Для длины штанги 6 дюймов и радиуса кривошипа 2 (как показано на приведенном ниже примере графика) численное решение пересечений нуля ускорения обнаруживает, что максимумы / минимумы скорости находятся при углах поворота кривошипа ± 73,17615 °. Затем, используя закон треугольника синусов , можно найти, что угол стержня по вертикали равен 18,60647 °, а угол кривошипа составляет 88,21738 °. Очевидно, что в этом примере угол между кривошипом и стержнем не является прямым. Суммирование углов треугольника 88,21738 ° + 18,60647 ° + 73,17615 ° дает 180,00000 °. Единственного контрпримера достаточно, чтобы опровергнуть утверждение «максимумы / минимумы скорости возникают, когда кривошип делает прямой угол со штоком» .
Пример графика движения поршня
График показывает x, x ', x "относительно угла поворота коленчатого вала для различных половин хода, где L = длина штока (l), а R = половина хода (r) :
Анимация движения поршня при одинаковых значениях длины штока и радиуса кривошипа на графике выше:
Смотрите также
- Двигатель внутреннего сгорания
- Поршневой двигатель
- Ползунок-кривошипно-рычажный механизм
- Скотч-кокетка
Рекомендации
1. http://www.epi-eng.com/piston_engine_technology/piston_motion_basics.htm
дальнейшее чтение
- Джон Бенджамин Хейвуд, Основы двигателя внутреннего сгорания , McGraw Hill, 1989.
- Чарльз Файетт Тейлор, Двигатель внутреннего сгорания в теории и на практике, Vol. 1 и 2 , 2-е издание, MIT Press, 1985.
Внешние ссылки
- epi-eng Движение поршня
- codecogs Скорость и ускорение поршня
- анимированные двигатели Four Stroke Engine
- интерактивная кривошипная анимация desmos
- networcs D&T механизмы - интерактивные инструменты для учителей
- анимация движения поршня mecamedia
- youtube Вращающийся шеви 350 короткий блок.
- youtube 3D-анимация ДВИГАТЕЛЯ V8
- youtube Внутри двигателя V8 на холостом ходу
- Интерактивный ход desmos в зависимости от соотношения штоков, положение поршня и производные