В математике , регулярные 4-многогранник является регулярным четырехмерный многогранник . Они являются четырехмерными аналогами правильных многогранников в трех измерениях и правильных многоугольников в двух измерениях.
Правильные 4-многогранники были впервые описаны швейцарским математиком Людвигом Шлефли в середине 19 века, хотя полный набор был открыт позже.
Всего имеется шесть выпуклых и десять звездных правильных 4-многогранников, что в сумме дает шестнадцать.
История [ править ]
Выпуклые правильные 4-многогранники впервые были описаны швейцарским математиком Людвигом Шлефли в середине 19 века. Он обнаружил, что таких фигур ровно шесть.
Шлефли также обнаружил четыре обычных звездных 4-многогранника: большой 120-элементный , большой звездчатый 120-элементный , большой 600-элементный и большой звездчатый 120-элементный . Он пропустил оставшиеся шесть, потому что он не допускал форм, которые не соответствовали эйлеровой характеристике на клетках или фигурах вершин (для торов с нулевым отверстием: F - E + V = 2). Это исключает ячейки и фигуры вершин как {5,5/2} и {5/2, 5} .
Эдмунд Гесс (1843–1903) опубликовал полный список в своей немецкой книге 1883 года « Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder» .
Строительство [ править ]
Существование регулярного 4-многогранника сдерживается наличием правильных многогранников , которые образуют его клетки и двугранного угла ограничения
чтобы гарантировать, что ячейки встречаются, чтобы сформировать замкнутую 3-поверхность.
Описанные шесть выпуклых и десять звездных многогранников являются единственными решениями этих ограничений.
Есть четыре невыпуклых символа Шлефли {p, q, r}, которые имеют допустимые ячейки {p, q} и фигуры вершин {q, r} и проходят двугранный тест, но не дают конечных фигур: {3,5/2, 3}, {4,3,5/2}, {5/2, 3,4}, {5/2, 3,5/2}.
Правильные выпуклые 4-многогранники [ править ]
Правильные выпуклые 4-многогранники являются четырехмерными аналогами платоновых тел в трех измерениях и выпуклых правильных многоугольников в двух измерениях.
Пять из шести явно являются аналогами пяти соответствующих Платоновых тел. Шестая, 24-элементная , не имеет аналогов в трех измерениях. Однако существует пара неправильных тел, кубооктаэдр и двойственный ему ромбический додекаэдр , которые являются частичными аналогами 24-элементного тела (дополняющими друг друга). Вместе их можно рассматривать как трехмерный аналог 24-элементной системы.
Каждый выпуклый правильный 4-многогранник ограничен набором трехмерных ячеек, которые являются Платоновыми телами одного типа и размера. Они подходят друг к другу по соответствующим лицевым сторонам обычным образом.
Свойства [ править ]
В следующих таблицах перечислены некоторые свойства шести выпуклых правильных 4-многогранников. Все группы симметрии этих 4-многогранников являются группами Кокстера и даны в обозначениях, описанных в этой статье. Число, следующее за названием группы, - это порядковый номер группы.
| Имена | Изображение | Семья | Schläfli Coxeter | V | E | F | C | Верт. инжир. | Двойной | Группа симметрии | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 5-элементный пентахорон пентатоп 4-симплексный | n -симплекс (семействоA n ) | {3,3,3}   | 5 | 10 | 10 {3} | 5 {3,3} | {3,3} | (самодвойственный) | А 4 [3,3,3] | 120 | |
| 16-клеточный гексадекахорон 4-ортоплекс | n -ортоплекс (семействоB n ) | {3,3,4} | 8 | 24 | 32 {3} | 16 {3,3} | {3,4} | 8-элементный | В 4 [4,3,3] | 384 | |
| 8-элементный октахорон тессеракт 4-кубовый | гиперкуб n -куб ( семейство B n ) | {4,3,3} | 16 | 32 | 24 {4} | 8 {4,3} | {3,3} | 16 ячеек | В 4 [4,3,3] | 384 | |
| 24-элементный икозитетрахорон октаплексный полиоктаэдр (pO) | F n семья | {3,4,3} | 24 | 96 | 96 {3} | 24 {3,4} | {4,3} | (самодвойственный) | F 4 [3,4,3] | 1152 | |
| 600-элементный гексакозихорон тетраплекс политетраэдр (pT) | n-пятиугольный многогранник ( семейство H n ) | {3,3,5} | 120 | 720 | 1200 {3} | 600 {3,3} | {3,5} | 120 ячеек | H 4 [5,3,3] | 14400 | |
| 120 клеток hecatonicosachoron dodecacontachoron dodecaplex polydodecahedron (ФД) | n-пятиугольный многогранник ( семейство H n ) | {5,3,3} | 600 | 1200 | 720 {5} | 120 {5,3} | {3,3} | 600 ячеек | H 4 [5,3,3] | 14400 | |
Джон Конвей отстаивал названия симплекс, ортоплекс, тессеракт, октаплекс или полиоктаэдр (pO), тетраплекс или политетраэдр (pT) и додекаплекс или полидодекаэдр (pD). [1]
Норман Джонсон выступал имена н-клетки, или pentachoron, Тессеракт или octachoron, hexadecachoron, icositetrachoron, hecatonicosachoron (или dodecacontachoron) и hexacosichoron, чеканку термина polychoron существа с аналогией 4D в 3D многогранник и 2D многоугольник, выраженном от греческого корни поли («многие») и choros («комната» или «пространство»). [2] [3]
Эйлерова характеристика для всех 4- х многогранников равен нулю, мы имеем 4-мерный аналог многогранного формулы Эйлера:
где N k обозначает количество k- граней в многограннике (вершина - это 0-грань, ребро - 1-грань и т. д.).
Топология любого данного 4-многогранника определяется его числами Бетти и коэффициентами кручения . [4]
Как конфигурации [ править ]
Правильный 4-многогранник можно полностью описать как конфигурационную матрицу, содержащую количество составляющих его элементов. Строки и столбцы соответствуют вершинам, ребрам, граням и ячейкам. Диагональные числа (вверху слева направо вниз) говорят, сколько элементов каждого элемента встречается во всем 4-многограннике. Недиагональные числа говорят, сколько элементов столбца встречается в элементе строки или рядом с ним. Например, в каждом ребре есть 2 вершины (каждое ребро имеет 2 вершины) и 2 ячейки пересекаются на каждой грани (каждая грань принадлежит 2 ячейкам) в любом правильном 4-многограннике. Обратите внимание, что конфигурацию двойного многогранника можно получить, повернув матрицу на 180 градусов. [5] [6]
| 5-элементный {3,3,3} | 16-элементный {3,3,4} | тессеракт {4,3,3} | 24-элементный {3,4,3} | 600 ячеек {3,3,5} | 120 ячеек {5,3,3} |
|---|---|---|---|---|---|
Визуализация [ править ]
В следующей таблице показаны некоторые двумерные проекции этих 4-многогранников. Различные другие визуализации можно найти по внешним ссылкам ниже. На диаграмме Кокстера-Дынкина графики также приведены ниже символа Шлефл .
| A 4 = [3,3,3] | B 4 = [4,3,3] | F 4 = [3,4,3] | H 4 = [5,3,3] | ||
|---|---|---|---|---|---|
| 5-элементный | 8-элементный | 16 ячеек | 24-элементный | 120 ячеек | 600 ячеек |
| {3,3,3} | {4,3,3} | {3,3,4} | {3,4,3} | {5,3,3} | {3,3,5} |
| | | | | |
| Твердые трехмерные ортогональные проекции | |||||
Тетраэдрическая оболочка (ячейка / вершина по центру) | Кубическая оболочка (по центру ячейки) | кубическая оболочка (по центру ячейки) | Кубооктаэдрическая оболочка (по центру ячейки) | Усеченная огибающая ромбического триаконтаэдра (с центром в ячейке) | pentakis икосододекаэдрическая огибающая (с центром в вершине) |
| Каркасные диаграммы Шлегеля ( перспективная проекция ) | |||||
Центрированный на ячейке | Центрированный на ячейке | Центрированный на ячейке | Центрированный на ячейке | Центрированный на ячейке | Вершинно-центрированный |
| Каркасные стереографические проекции ( 3 сферы ) | |||||
Правильные звездные (Шлефли – Гесса) 4-многогранники [ править ]
В Шлефли-Хесс 4-многогранники являются полным набором из 10 обычной самопересекающейся звезды polychora ( четырехмерный многогранников ). [8] Они названы в честь своих первооткрывателей: Людвига Шлефли и Эдмунда Гесса . Каждый представлен символом Шлефли { p , q , r }, в котором одно из чисел5/2. Таким образом, они аналогичны правильным невыпуклым многогранникам Кеплера – Пуансо , которые, в свою очередь, аналогичны пентаграмме.
Имена [ править ]
Их имена, приведенные здесь, были даны Джоном Конвеем , расширяя имена Кэли для многогранников Кеплера – Пуансо : наряду со звездчатыми и большими , он добавляет большой модификатор. Конвей предложил следующие рабочие определения:
- звёздчатая - заменяет края более длинными в тех же строках. (Пример: пятиугольник превращается в пентаграмму )
- greatening - заменяет грани на большие в тех же плоскостях. (Пример: икосаэдр превращается в большой икосаэдр )
- увеличение - заменяет ячейки большими в тех же 3-х пространствах. (Пример: 600- ячеечная трансформируется в 600-ячеечную )
Джон Конвей называет 10 форм из 3 правильных 4-клеточных многогранников: pT = политетраэдр {3,3,5} (четырехгранный 600-элементный ), pI = поликошедр {3,5,5/2} ( 120-элементный икосаэдр ) и pD = полидодекаэдр {5,3,3} ( 120-элементный додекаэдр ) с модификаторами префикса: g , a и s для большого, (ag) grand и звездчатого. Последняя звездчатая форма , большой звездчатый полидодекаэдр, содержит их все в виде вздоха .
Симметрия [ править ]
Все десять полихор обладают гексакосихорической симметрией [3,3,5] ( H 4 ) . Они генерируются из 6 связанных групп симметрии рационального порядка тетраэдров Гурса : [3,5,5 / 2], [5,5 / 2,5], [5,3,5 / 2], [5 / 2,5]. , 5/2], [5,5 / 2,3] и [3,3,5 / 2].
В каждой группе есть 2 правильные звездчатые полихоры, за исключением двух самодвойственных групп, имеющих только одну. Таким образом, среди десяти правильных звездных полихор есть 4 двойные пары и 2 самодвойственные формы.
Свойства [ править ]
Примечание:
- Имеется 2 уникальных расположения вершин , совпадающих с 120-ячеечным и 600-ячеечным .
- Существует 4 уникальных расположения краев , которые отображаются в виде ортогональных проекций каркасов .
- Существует 7 уникальных расположений граней , представленных в виде сплошных (окрашенных в цвет лица) ортографических проекций.
Клетки (многогранники), их грани (многоугольники), многоугольные фигуры ребер и многогранные фигуры вершин обозначаются символами Шлефли .
| Имя Конвей (аббревиатура) | Ортогональная проекция | Schläfli Coxeter | C {p, q} | F {p} | E {r} | V {q, r} | Dens. | χ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Икосаэдрический 120-элементный поликосаэдр (pI) | {3,5,5 / 2}  | 120 {3,5} | 1200 {3} | 720 {5/2 } | 120 {5,5 / 2} | 4 | 480 | |
| Малый звездчатый 120-элементный звездчатый полидодекаэдр (spD) | {5 / 2,5,3} | 120 {5 / 2,5} | 720 {5/2 {5/2} | 1200 {3} | 120 {5,3} | 4 | −480 | |
| Большой 120-элементный большой полидодекаэдр (gpD) | {5,5 / 2,5} | 120 {5,5 / 2} | 720 {5} | 720 {5} | 120 {5 / 2,5} | 6 | 0 | |
| Большой 120-элементный большой полидодекаэдр (apD) | {5,3,5 / 2} | 120 {5,3} | 720 {5} | 720 {5/2} | 120 {3,5 / 2} | 20 | 0 | |
| Большой звездчатый 120-элементный большой звездчатый полидодекаэдр (gspD) | {5 / 2,3,5} | 120 {5 / 2,3} | 720 {5/2} | 720 {5} | 120 {3,5} | 20 | 0 | |
| Большой звездчатый 120-элементный звездчатый полидодекаэдр (aspD) | {5 / 2,5,5 / 2} | 120 {5 / 2,5} | 720 {5/2} | 720 {5/2} | 120 {5,5 / 2} | 66 | 0 | |
| Большой 120-элементный большой полидодекаэдр (gapD) | {5,5 / 2,3} | 120 {5,5 / 2} | 720 {5} | 1200 {3} | 120 {5 / 2,3} | 76 | −480 | |
| Большой 120-элементный икосаэдр большой поликосаэдр (gpI) | {3,5 / 2,5} | 120 {3,5 / 2} | 1200 {3} | 720 {5} | 120 {5 / 2,5} | 76 | 480 | |
| Большой 600-элементный грандиозный политетраэдр (apT) | {3,3,5 / 2} | 600 {3,3} | 1200 {3} | 720 {5/2} | 120 {3,5 / 2} | 191 | 0 | |
| Большой звездчатый 120-элементный большой звездчатый полидодекаэдр (gaspD) | {5 / 2,3,3} | 120 {5 / 2,3} | 720 {5/2} | 1200 {3} | 600 {3,3} | 191 | 0 |
См. Также [ править ]
- Правильный многогранник
- Список правильных многогранников
- Бесконечные правильные 4-многогранники:
- Одна обычная евклидова сота: {4,3,4}
- Четыре компактные правильные гиперболические соты: {3,5,3}, {4,3,5}, {5,3,4}, {5,3,5}
- Одиннадцать паракомпактных обычных гиперболических сот: {3,3,6}, {6,3,3}, {3,4,4}, {4,4,3}, {3,6,3}, {4,3 , 6}, {6,3,4}, {4,4,4}, {5,3,6}, {6,3,5} и {6,3,6}.
- Абстрактные правильные 4-многогранники:
- 11-секционный {3,5,3}
- 57-элементный {5,3,5}
- Равномерные 4-многогранники Семейства равномерных 4-многогранников, построенные из этих 6 правильных форм.
- Платоново твердое тело
- Многогранники Кеплера-Пуансо - правильный звездный многогранник
- Звездный многоугольник - правильные звездчатые многоугольники
Ссылки [ править ]
Цитаты [ править ]
- ↑ Conway, Burgiel & Goodman-Strass 2008 , гл. 26. Еще выше
- ^ "Выпуклые и абстрактные многогранники", Программа и тезисы, MIT, 2005
- ^ Джонсон, Норман В. (2018). «§ 11.5 Сферические группы Кокстера» . Геометрии и преобразования . Издательство Кембриджского университета. С. 246–. ISBN 978-1-107-10340-5.
- ^ Ричсон, Дэвид С. (2012). «23. Анри Пуанкаре и господство топологии» . Драгоценный камень Эйлера: формула многогранника и рождение топологии . Издательство Принстонского университета. С. 256–. ISBN 978-0-691-15457-2.
- ↑ Coxeter 1973 , § 1.8 Конфигурации
- ^ Кокстер, Комплексные правильные многогранники, стр.117
- ↑ Conway, Burgiel & Goodman-Strass 2008 , стр. 406, Рис 26.2
- ^ Кокстер, Звездные многогранники и функция Шлефли f {α, β, γ) p. 122 2. Многогранники Шлефли-Гесса.
Библиография [ править ]
- Кокстер, HSM (1969). Введение в геометрию (2-е изд.). Вайли. ISBN 0-471-50458-0.
- Кокстер, HSM (1973). Правильные многогранники (3-е изд.). Дувр. ISBN 0-486-61480-8.
- DMY Sommerville (2020) [1930]. «X. Правильные многогранники» . Введение в геометрию n измерений . Курьер Дувр. С. 159–192. ISBN 978-0-486-84248-6.
- Конвей, Джон Х .; Берджел, Хайди; Гудман-Штрасс, Хаим (2008). «26. Правильные Звездные многогранники». Симметрии вещей . С. 404–8. ISBN 978-1-56881-220-5.
- Гесс, Эдмунд (1883). "Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder" .
- Гесс, Эдмунд (1885). «Убер умирает, регулируемый политопом höherer Art». Sitzungsber Gesells Beförderung Gesammten Naturwiss Marburg : 31–57.
- Шерк, Ф. Артур; Макмаллен, Питер; Томпсон, Энтони С .; Вайс, Азия Ивич, ред. (1995). Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Coxeter . Вайли. ISBN 978-0-471-01003-6.
- (Документ 10) Кокстер, HSM (1989). «Звездные многогранники и функция Шлафли f (α, β, γ)» . Elemente der Mathematik . 44 (2): 25–36.
- Кокстер, HSM (1991). Регулярные сложные многогранники (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-39490-1.
- Макмаллен, Питер; Шульте, Эгон (2002). "Абстрактные правильные многогранники" (PDF) .
Внешние ссылки [ править ]
- Вайсштейн, Эрик В. «Регулярный полихорон» . MathWorld .
- Джонатан Бауэрс, 16 правильных 4-многогранников
- Развертывание регулярных 4D-многогранников
- Каталог изображений многогранников Коллекция стереографических проекций 4-многогранников.
- Каталог однородных многогранников
- Размеры 2-х часовой фильм о четвертом измерении (содержит стереографические проекции всех правильных 4-многогранников)
- Ольшевский, Георгий. «Гекатоникосахорон» . Глоссарий по гиперпространству . Архивировано из оригинала 4 февраля 2007 года.
- Ольшевский, Георгий. «Гексакосихорон» . Глоссарий по гиперпространству . Архивировано из оригинала 4 февраля 2007 года.
- Ольшевский, Георгий. «Звездчатость» . Глоссарий по гиперпространству . Архивировано из оригинала 4 февраля 2007 года.
- Ольшевский, Георгий. «Возрождение» . Глоссарий по гиперпространству . Архивировано из оригинала 4 февраля 2007 года.
- Ольшевский, Георгий. «Возвышение» . Глоссарий по гиперпространству . Архивировано из оригинала 4 февраля 2007 года.
- Reguläre Polytope
- Обычная звездная полихора
- Гиперсолиды
