Резонансная ультразвуковая спектроскопия ( RUS ) - это лабораторный метод, используемый в геологии и материаловедении для измерения основных свойств материалов, включая упругость . Этот метод основан на том факте, что твердые объекты имеют собственные частоты, на которых они вибрируют при механическом возбуждении. Собственная частота зависит от упругости, размера и формы объекта - RUS использует это свойство твердых тел для определения тензора упругости материала. Большим преимуществом этого метода является то, что весь тензор упругости получается из монокристаллического образца за одно быстрое измерение. [1]На более низких или более общих частотах этот метод известен как акустическая резонансная спектроскопия .
История
Интерес к упругим свойствам проявился у философов 17 века, но реальная теория упругости, показывающая, что упругие постоянные материала могут быть получены путем измерения скорости звука в этом материале, была обобщена только двести лет спустя. В 1964 г. DB Frasier и RC LeCraw использовали решение, вычисленное в 1880 г. G. Lamè и H. Lamb, для решения прямой задачи, а затем инвертировали его графически, что может быть первым измерением RUS. Тем не менее, нам пришлось ждать участия геофизического сообщества, заинтересованного в определении внутренней структуры Земли , чтобы решить также обратную задачу : в 1970 году три геофизика усовершенствовали предыдущий метод и ввели термин метод резонансных сфер (RST). Взволнованный обнадеживающими результатами, достигнутыми с лунными образцами , один из них поручил одному из своих учеников расширить этот метод для использования с образцами кубической формы. Этот метод, теперь известный как метод резонанса прямоугольного параллелепипеда (RPR), был дополнительно расширен И. Оно в 1976 году. Наконец, в конце 80-х годов А. Мильори и Дж. Мейнард расширили границы этого метода с точки зрения нагрузки. и низкоуровневые электронные измерения, и с W. Visscher довел компьютерные алгоритмы до их текущего состояния, введя последний термин - резонансная ультразвуковая спектроскопия (RUS). [2]
Теория
Сначала решите задачу вычисления собственных частот с точки зрения размеров образца, массы и набора гипотетических упругих постоянных (прямая задача). Затем примените алгоритм нелинейной инверсии, чтобы найти упругие постоянные по измеренным собственным частотам ( обратная задача ).
Минимизация лагранжиана
Все измерения RUS проводятся на образцах, являющихся свободными вибраторами. Поскольку полного аналитического решения для свободных колебаний твердых тел не существует, приходится полагаться на приближения. Методы конечных элементов основаны на уравновешивании сил на дифференциальном элементе объема и вычислении его отклика. С другой стороны, методы минимизации энергии определяют минимальную энергию и, следовательно, равновесную конфигурацию объекта. Среди методов минимизации энергии лагранжиан минимизация является наиболее часто используемым в анализе RUS из-за его преимущества в скорости (на порядок меньше, чем методы конечных элементов).
Процедура начинается с объекта объема V, ограниченного его свободной поверхностью S. Лагранжиан задается формулой
где KE - плотность кинетической энергии
а PE - плотность потенциальной энергии
Здесь, - i-я компонента вектора смещения , ω - угловая частота из гармонической зависимости от времени,- компонента тензора упругости, ρ - плотность . Индексы i, j и т. Д. Относятся к направлениям в декартовых координатах .
Чтобы найти минимум лагранжиана, вычислите дифференциал L как функцию u, произвольное изменение u в V и на S. Это дает:
Так как произвольно в V и на S, оба члена в квадратных скобках должны быть равны нулю. [3] Установка первого члена равным нулю дает уравнение упругой волны . Второй член в квадратных скобках представляет собой выражение граничных условий для свободной поверхности ;является единичным вектором, нормальным к S. Для свободного тела (как мы предполагаем) последний член суммируется с нулем и может быть проигнорирован.
Таким образом, набор которые удовлетворяют ранее упомянутым условиям, - это те смещения, которые соответствуют частоте нормальной моды системы. Это говорит о том, что нормальные колебания объекта (рис.1) могут быть рассчитаны с помощью вариационного метода (в нашем случае вариационного метода Рэлея-Ритца , поясняемого в следующем абзаце) для определения как частот нормальных мод, так и описания физические колебания. [4] По словам Вишера, получение обоих уравнений из базового лагранжиана - это «математическая случайность, которая могла произойти при упущении бдительности Мерфи ». [5]
Вариационный метод Рэлея-Ритца
Активация этого подхода требует расширения в наборе базисных функций, соответствующих геометрии тела, подставив это выражение в уравнение. (1) и свел проблему к задаче диагонализации матрицы размера N × N ( проблема собственных значений ). В стационарных точках лагранжиана найдены путем решения проблемы собственных значений в результате уравнения. (4), то есть
где a - приближения к движению, раскрытые в полном базисе, E - из члена кинетической энергии , а Γ - из члена упругой энергии . Порядок матриц ~ 10 ^ 3 для хороших приближений.
Уравнение (5) определяет резонансные частоты из модулей упругости . [3]
Обратная задача
Обратная задача выведения упругих констант из измеренного спектра от механических резонансов не имеет аналитическое решения , поэтому она должна быть решена с помощью вычислительных методов. Для непрямого метода начальный резонансный частотный спектр,(n = 1,2, ...) рассчитывается с использованием оценочных значений упругих постоянных и известных размеров и плотности образца. Разница между рассчитанным и измеренным спектром резонансных частот,(n = 1,2, ...) количественно оценивается функцией показателя качества ,
где (n = 1,2, ...) - весовые коэффициенты, отражающие достоверность отдельных измерений резонанса. Затем ищется минимизация функции F путем регрессии значений всех упругих постоянных с использованием компьютерного программного обеспечения, разработанного для этого процесса. [6]
Измерения
Наиболее распространенный метод обнаружения механического резонансного спектра проиллюстрирован на рис. 2, где небольшой образец в форме параллелепипеда легко удерживается между двумя пьезоэлектрическими преобразователями . Один преобразователь используется для генерации упругой волны постоянной амплитуды и переменной частоты , а другой используется для обнаружения резонанса образца. По мере изменения частотного диапазона регистрируется последовательность резонансных пиков. Положение этих пиков происходит на собственных частотах (из которого упругих констант определяются) и коэффициент качества Q (мера того , как узкий резонанс) предоставляет информацию о диссипации из упругой энергии . Наличие нескольких преобразователей необходимо для минимизации нагрузки на образец, чтобы иметь наилучшее возможное совпадение между резонансными частотами и естественными частотами. Это приводит к точности измерения порядка 10%, тогда как точность измерения частоты всегда составляет порядка нескольких частей на миллион.
В отличие от обычного ультразвукового измерения, в методе, который резонирует с образцом, сильная связь между преобразователем и образцом не требуется, поскольку образец ведет себя как естественный усилитель . [2] Скорее, сохраняя как минимум пару между ними, вы получаете хорошее приближение к граничным условиям свободной поверхности и, как правило, сохраняете Q. Для измерений при переменной температуре образец удерживается между концами двух буферных стержней, которые соединяют образец с преобразователями (рис. 3), поскольку преобразователи должны храниться при комнатной температуре . Что касается давления , напротив, существует предел всего в несколько бар, потому что приложение более высоких давлений приводит к гашению резонансов образца. [1]
Образцы
RUS может применяться к образцам большого диапазона размеров, минимум порядка нескольких сотен микрометров , но для измерения минеральной эластичности он используется для образцов размером обычно от 1 мм до 1 см.
Образец, либо полностью плотный поликристаллический агрегат, либо монокристалл , обрабатывается до правильной формы. [1] Теоретически можно использовать образец любой формы, но вы получаете существенную экономию времени вычислений, используя резонаторы прямоугольного параллелепипеда (RPR), сферические или цилиндрические (меньшая экономия времени с цилиндрами).
Поскольку точность измерения строго зависит от точности подготовки образца, необходимо принять несколько мер предосторожности: RPR готовятся с краями, параллельными кристаллографическим направлениям; для цилиндров только ось может быть согласована с симметрией образца . RUS редко используется для образцов с более низкой симметрией, а для изотропных образцов выравнивание не имеет значения. Для более высоких симметрий удобно иметь края разной длины, чтобы предотвратить избыточный резонанс.
Измерения на монокристаллах требуют ориентации кристаллографических осей образца с краями RPR, чтобы пренебречь расчетом ориентации и иметь дело только с модулями упругости . [4]
В идеале поликристаллические образцы должны быть полностью плотными, без трещин и без преимущественной ориентации зерен. Монокристаллические образцы не должны иметь внутренних дефектов, например двойниковых стенок . Поверхности всех образцов должны быть плоско отполированы, а противоположные грани должны быть параллельны. После приготовления необходимо точно измерить плотность, поскольку она масштабирует весь набор модулей упругости. [1]
Преобразователи
В отличие от всех других ультразвуковых методов, ультразвуковые преобразователи RUS предназначены для обеспечения сухого точечного контакта с образцом. Это связано с требованием граничных условий свободной поверхности для вычисления модулей упругости по частотам. Для RPR это требует очень легкого касания между углами образца и преобразователями. Углы используются, потому что они обеспечивают упруго слабое сцепление, уменьшая нагрузку, и потому, что они никогда не являются колебательными узловыми точками. Достаточно слабый контакт гарантирует, что преобразованная коррекция не требуется. [4]
Приложения
Как универсальный инструмент для характеристики упругих свойств твердых материалов, RUS нашел применение в различных областях. В науках о Земле одно из наиболее важных приложений связано с определением сейсмических скоростей в недрах Земли . Например, в недавней работе [7] упругие постоянные водного форстерита были измерены до 14,1 ГПа при температуре окружающей среды. Это исследование показало, что совокупный объемный модуль и модули сдвига водного форстерита увеличиваются с давлением с большей скоростью, чем модули соответствующей безводной фазы. Это означает, что в условиях окружающей среды VP и VS водного форстерита медленнее, чем безводного; наоборот, с увеличением давления и, следовательно, глубины V P и V S водного форстерита превышают V P и V S безводного. Кроме того, гидратация снижает соотношение V P / V S форстерита, максимальную азимутальную анизотропию продольной волны и максимальное расщепление поперечной волны . Эти данные помогают нам ограничить состав мантии Земли и отличить области обогащения водородом от областей высокой температуры или частичного плавления.
Рекомендации
- ^ a b c d Ангел, RJ; Джексон, JM; Райхманн, HJ; Специя, С. (2009). «Измерения упругости минералов: обзор». Европейский журнал минералогии . 21 (3): 525. CiteSeerX 10.1.1.500.3003 . DOI : 10.1127 / 0935-1221 / 2009 / 0021-1925 .
- ^ а б Мейнард, Дж. (1996). «Резонансная ультразвуковая спектроскопия». Физика сегодня . 49 : 26–31. DOI : 10.1063 / 1.881483 .
- ^ а б Migliori, A .; Мейнард, JD (2005). «Внедрение современной системы резонансной ультразвуковой спектроскопии для измерения модулей упругости малых твердых образцов» . Обзор научных инструментов . 76 (12): 121301. DOI : 10,1063 / 1,2140494 .
- ^ а б в Леви, Мойстес; Басс, Генри Э .; Стерн, Ричард. Селотта, Роберт; Лукаторто, Томас (ред.). Современные акустические методы измерения механических свойств . Экспериментальные методы в физических науках. Сан-Диего: Academic Press. ISBN 978-0-12-475986-2.
- ^ Visscher, WM; Migliori, A .; Белл, ТМ; Райнерт, Р.А. (1991). «О нормальных режимах свободных колебаний неоднородных и анизотропных упругих объектов». Журнал акустического общества Америки . 90 (4): 2154. DOI : 10,1121 / 1,401643 .
- ^ Шварц, РБ; Вуоринен, Дж. Ф. (2000). «Резонансная ультразвуковая спектроскопия: применение, текущее состояние и ограничения». Журнал сплавов и соединений . 310 (1-2): 243-250. DOI : 10.1016 / S0925-8388 (00) 00925-7 .
- ^ Mao, Z .; Якобсен, SD; Цзян, Ф .; Смит, младший; Холл, СМ; Мороз, диджей; Даффи, Т.С. (2010). «Переход скоростей между водным и безводным форстеритом при высоких давлениях». Письма о Земле и планетологии . 293 (3-4): 250. DOI : 10.1016 / j.epsl.2010.02.025 .