Из Википедии, свободной энциклопедии
  (Перенаправлено с ромбической мозаики )
Перейти к навигации Перейти к поиску
Сюда перенаправляются «блоки падения». Чтобы узнать о других значениях, см . Лестница Иакова (игрушка) .
Ромбильная плитка
1-униформа 7 dual.svg
ТипПлитка Laves
ЛицаРомб 60 ° –120 °
Диаграмма КокстераCDel node.pngCDel 3.pngCDel узел f1.pngCDel 6.pngCDel node.png
CDel узел h1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel узел f1.png
Группа симметрииp6m, [6,3], * 632
p3m1, [3 [3] ], * 333
Группа вращенияp6, [6,3] + , (632)
p3, [3 [3] ] + , (333)
Двойной многогранникТрехгранная черепица
Конфигурация лицаV3.6.3.6
Поверхность плитки 3-6-3-6.svg
Характеристикиреберно-транзитивный гранно-транзитивный

В геометрии , то rhombille плиточное , [1] , также известные как акробатика блоки , [2] обратимые кубики , или кость решетка , является тесселяцией идентичных 60 ° ромбов на евклидовой плоскости . Каждый ромб имеет два угла 60 ° и два 120 ° ; ромбики такой формы иногда еще называют ромбами . Наборы из трех ромбов встречаются под своими углами 120 °, а наборы из шести ромбов встречаются под своими углами 60 °.

Свойства [ править ]

Две шестиугольные плитки с красными и синими краями внутри ромбической плитки
Четыре шестиугольных плитки с красными, зелеными, синими и пурпурными краями внутри ромбической плитки [3]

Ромбированную плитку можно рассматривать как подразделение шестиугольной плитки, где каждый шестиугольник разделен на три ромба, встречающихся в центральной точке шестиугольника. Это подразделение представляет собой обычную составную плитку . Его также можно рассматривать как подразделение четырех шестиугольных мозаик, каждый из которых разделен на 12 ромбов.

Диагонали каждого ромба находятся в соотношении 1: √ 3 . Это двойная Черепица из trihexagonal черепицы или кагома решетки . Как двойственный к равномерному замощению , это один из одиннадцати возможных мозаик Лавеса , а в конфигурации граней для моноэдральных мозаик он обозначается [3.6.3.6]. [4]

Это также одна из 56 возможных равногранных мозаик четырехугольниками [5] и одна из восьми мозаик плоскости, в которых каждое ребро лежит на линии симметрии мозаики. [6]

Ромбовидная плитка, наложенная на ее двойную, трехгексагональную плитку.

Можно встроить мозаику ромбил в подмножество трехмерной целочисленной решетки , состоящей из точек ( x , y , z ) с | х  +  у  +  г | ≤ 1, таким образом, что две вершины смежны тогда и только тогда, когда соответствующие точки решетки находятся на единичном расстоянии друг от друга, и более сильно так, что количество ребер на кратчайшем пути между любыми двумя вершинами мозаики равно то же, что и манхэттенское расстояние между соответствующими точками решетки. Таким образом, ромбиковую мозаику можно рассматривать как пример бесконечного графа единичных расстояний и частичного куба .[7]

Художественные и декоративные приложения [ править ]

Ромбированную плитку можно интерпретировать как изометрическую проекцию набора кубов двумя разными способами, образуя обратимую фигуру, связанную с кубом Неккера . В этом контексте это известно как иллюзия «обратимых кубов». [8]

В М.К.Эшер произведений искусства Метаморфозы I , Метаморфоза II , и Метаморфозы III Escher использует эту интерпретацию кровли как способ морфинга между двух- и трехмерный формами. [9] В другой своей работе, « Цикл» (1938), Эшер играл с напряжением между двухмерностью и трехмерностью этой плитки: в ней он рисует здание, в котором оба больших кубических блока являются архитектурными элементами (нарисованными изометрически. ) и патио наверху, облицованном ромбовидной плиткой. Человеческая фигура спускается из внутреннего дворика мимо кубиков, становясь при этом более стилизованной и двухмерной. [10]Эти работы включают только одну трехмерную интерпретацию мозаики, но в более общих экспериментах Эшера с выпуклыми и вогнутыми фигурами обратимые фигуры включают изображение иллюзии обратимых кубов на флаге внутри сцены. [11]

Ромбовидная мозаика на полу в Делосе
Ромбовидный узор на полу Сиенского собора

Ромбовидная плитка также используется в качестве рисунка для паркета [12] и для облицовки пола или стен, иногда с вариациями формы ромбов. [13] Он появляется в древнегреческих мозаиках полов с Делоса [14] и итальянских плитках на полу XI века, [15] хотя плитки с таким рисунком в соборе Сиены относятся к более позднему винтажу. [16] В квилтинге он известен с 1850-х годов как образец «падающих блоков», имея в виду визуальный диссонанс, вызванный его двойной трехмерной интерпретацией. [2] [15] [17]Как узор для квилтинга, он также имеет много других названий, включая кубическую кладку, небесную лестницу и ящик Пандоры. [17] Было высказано предположение, что образец стеганого одеяла использовался в качестве сигнала в Подземной железной дороге : когда рабы видели, что он висит на заборе, они должны были запаковать свои вещи и сбежать. См. Одеяла подземной железной дороги . [18] В этих декоративных приложениях ромбы могут отображаться в нескольких цветах, но обычно им дается три уровня затенения, самый яркий для ромбов с длинными горизонтальными диагоналями и более темный для ромбов с двумя другими ориентациями, чтобы улучшить их внешний вид из трех -мерность. Есть единственный известный пример неявного ромбика итригексагональная черепица в английской геральдике - в гербе Geal / e. [19]

Другие приложения [ править ]

Ромбиллическую мозаику можно рассматривать как результат наложения двух различных шестиугольных мозаик, перемещенных так, что некоторые из вершин одного мозаичного покрытия оказываются в центрах шестиугольников другого мозаичного покрытия. Таким образом, его можно использовать для определения блочных клеточных автоматов, в которых клетки автомата представляют собой ромбы ромбильной мозаики, а блоки в чередующихся шагах автомата представляют собой шестиугольники двух наложенных друг на друга шестиугольных мозаик. В этом контексте он называется «кварталом Q * bert», в честь видеоигры Q * bert, в которой в качестве игрового поля использовался изометрический вид пирамиды из кубов. Окрестность Q * bert может использоваться для поддержки универсальных вычислений посредством моделирования компьютеров с бильярдным шаром . [20]

В физике конденсированных сред , то rhombille плиточные известен как кости решетки , нарезанные решетки или двойной решеткой кагоме . Это один из нескольких повторяющихся структур , используемых для исследования Изинга моделей и связанные с ними системы спиновых взаимодействий в двухатомных кристаллах , [21] , и она также была изучена в теории перколяции . [22]

Связанные многогранники и мозаики [ править ]

Комбинаторно эквивалентные мозаики параллелограммами

Ромбильная плитка является двойником трехгексагональной плитки . Это один из многих способов разбить плоскость конгруэнтными ромбами. Другие включают диагонально сплющенный вариант квадратной мозаики (с трансляционной симметрией на всех четырех сторонах ромбов), мозаику, используемую шаблоном складывания Миура-ори (чередование поступательной и отражательной симметрии), и мозаику Пенроуза, которая использует два вида ромбов с острыми углами 36 ° и 72 ° апериодически . Когда разрешено более одного типа ромбов, возможны дополнительные мозаики, в том числе те, которые топологически эквивалентны мозаике ромбов, но с более низкой симметрией.

Замощения, комбинаторно эквивалентные разбиению ромбиков, также могут быть реализованы с помощью параллелограммов и интерпретироваться как аксонометрические проекции трехмерных кубических ступеней.

Есть только восемь тесселяций краев, мозаики плоскости со свойством, что отражение любой плитки через любой из ее краев создает другую плитку; одна из них - ромбовидная плитка. [23]

См. Также [ править ]

  • Тайлинг правильными многоугольниками

Ссылки [ править ]

  1. ^ Конвей, Джон ; Берджел, Хайди; Гудман-Штрасс, Хаим (2008), «Глава 21: Именование архимедовых и каталонских многогранников и мозаик», Симметрии вещей , А.К. Петерс, с. 288, ISBN 978-1-56881-220-5.
  2. ^ a b Смит, Барбара (2002), Кувыркающиеся блоки: Новые лоскутные одеяла от старого фаворита , Коллекционные книги, ISBN 9781574327892.
  3. ^ Ричард К. Гай и Роберт Э. Вудроу, Светлая сторона математики: Труды мемориальной конференции Эжена Стренса по развлекательной математике и ее истории , 1996 г., стр.79, рис.
  4. ^ Грюнбаум, Бранко ; Шепард, GC (1987), Tilings and Patterns , New York: WH Freeman, ISBN 0-7167-1193-1. Раздел 2.7, Замощения с правильными вершинами, стр. 95–98.
  5. ^ Грюнбаум & Шеппард (1987) , рис 9.1.2, Плиточные Р 4 -42, стр. 477.
  6. ^ Кирби, Мэтью; Умбле, Рональд (2011), «Тесселяция краев и головоломки со складыванием штампов», Mathematics Magazine , 84 (4): 283–289, arXiv : 0908.3257 , doi : 10.4169 / math.mag.84.4.283 , MR 2843659 .
  7. ^ Деза, Мишель ; Гришухин, Вячеслав; Штогрин, Михаил (2004), Масштабно-изометрические многогранники в гиперкубах и кубических решетках: Многогранники в гиперкубах и , Лондон: Imperial College Press, стр. 150, DOI : 10,1142 / 9781860945489 , ISBN Z п {\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {п}}  1-86094-421-3, Руководство по ремонту  2051396.
  8. ^ Уоррен, Говард Кросби (1919), Психология человека , Houghton Mifflin, стр. 262.
  9. ↑ Каплан, Крейг С. (2008), «Метаморфозы в искусстве Эшера», Bridges 2008: Математические связи в искусстве, музыке и науке (PDF) , стр. 39–46 .
  10. ^ Эшер, Maurits Cornelis (2001), MC Escher, графические работы , Taschen , стр. 29-30, ISBN 9783822858646.
  11. ↑ De May, Jos (2003), «Картина по мотивам MC Эшера», в Schattschneider, D .; Эммер, М. (ред.), «Наследие М.К. Эшера: празднование столетия» , Springer, стр. 130–141..
  12. ^ Шлейнинг, Лон; О'Рурк, Рэнди (2003), «Обманывая глаза падающими блоками», Сундуки с сокровищами: Наследие необычных ящиков , Taunton Press, стр. 58, ISBN 9781561586516.
  13. ^ Tessellation Tango , Математическая Tourist, Drexel University, извлекаться 2012-05-23.
  14. ^ Dunbabin, Katherine MD (1999), Мозаики греческой и римской World , Cambridge University Press, стр. 32, ISBN 9780521002301.
  15. ^ a b Татем, Мэри (2010), «Кувыркающиеся блоки», Лоскутное одеяло радости: Истории надежды из пэчворковой жизни , Ревелл, стр. 115, ISBN 9780800733643.
  16. ^ Уоллис, Генри (1902), итальянское керамическое искусство , Бернард Куорич, стр. XXV.
  17. ^ a b Фаулер, Эрлин (2008), Кувыркающиеся блоки , Тайны Бенни Харпера, Пингвин, ISBN 9780425221235. Это детективный роман, но он также включает в себя краткое описание выкройки лоскутного одеяла в начале.
  18. ^ Тобин, Жаклин Л .; Добард, Раймонд Г. (2000), Скрытые на простом виде: Секретная история лоскутных одеял и подземной железной дороги , Random House Digital, Inc., стр. 81 , ISBN 9780385497671.
  19. ↑ Aux armes: symbolism , Symbolism in arms, Pleiade, извлечено 17 апреля 2013 г.
  20. ↑ Район Q * Bert , Тим Тайлер, доступ осуществлен 23 мая 2012 г.
  21. ^ Фишер, Майкл Э. (1959), «Преобразования моделей Изинга», Physical Review , 113 (4): 969–981, Bibcode : 1959PhRv..113..969F , doi : 10.1103 / PhysRev.113.969.
  22. ^ Йонезав, Фумико; Сакамото, Шоичи; Хори, Мотоо (1989), "Просачивание в двумерных решетках. I. Методика оценки пороговых значений", Phys. Rev. B , 40 (1): 636-649, Bibcode : 1989PhRvB..40..636Y , DOI : 10,1103 / PhysRevB.40.636.
  23. ^ Кирби, Мэтью; Умбле, Рональд (2011), «Тесселяция краев и головоломки со складыванием штампов», Mathematics Magazine , 84 (4): 283–289, arXiv : 0908.3257 , doi : 10.4169 / math.mag.84.4.283 , MR 2843659 .

Дальнейшее чтение [ править ]

  • Кейт Кричлоу, Порядок в космосе: справочник по дизайну , 1970, стр.77–76, образец 1