Безрисковая облигация

Связь безрисковой теоретическая связь , которая погашает интерес и основной с абсолютной уверенностью. Норма прибыли будет безрисковой процентной ставкой . Это первичная гарантия, которая окупается за 1 единицу вне зависимости от того, какое состояние экономики реализовано на данный момент . Таким образом, его отдача одинакова, независимо от того, какое состояние происходит. Таким образом, инвестор не подвергается риску, вкладывая средства в такой актив.${\ displaystyle t + 1}$

На практике государственные облигации финансово стабильных стран рассматриваются как безрисковые облигации, поскольку правительства могут повышать налоги или печатать деньги для погашения своего долга в национальной валюте. ^[1]

Например, Казначейства США и США казначейские облигации часто считаются безрисковые облигации. ^[2] Несмотря на то, инвесторы в США казначейские ценные бумаги делают на самом деле лицо небольшое количество кредитного риска , ^[3] , этот риск часто считается незначительным. Примером такого кредитного риска является Россия, которая объявила дефолт по своему внутреннему долгу во время финансового кризиса 1998 года в России .

Моделирование цены по модели Блэка-Шоулза ^[4] [ править ]

В финансовой литературе нередко выводят формулу Блэка-Шоулза , вводя постоянно ребалансируемый безрисковый портфель, содержащий опцион и базовые акции. В отсутствие арбитража доходность такого портфеля должна соответствовать доходности безрисковых облигаций. Это свойство приводит к уравнению в частных производных Блэка-Шоулза, которому удовлетворяет арбитражная цена опциона. Однако, похоже, что безрисковый портфель не удовлетворяет формальному определению стратегии самофинансирования, и, таким образом, такой способ вывода формулы Блэка-Шоулза является ошибочным.

Мы предполагаем, что торговля происходит непрерывно во времени, и неограниченное заимствование и предоставление средств возможно при той же постоянной процентной ставке. Кроме того, на рынке отсутствуют трения, что означает отсутствие транзакционных издержек или налогов, а также отсутствие дискриминации в отношении коротких продаж. Другими словами, мы рассмотрим случай совершенного рынка .

Предположим, что краткосрочная процентная ставка постоянна (но не обязательно неотрицательна) в течение торгового интервала . Предполагается, что безрисковая ценная бумага постоянно увеличивается в цене ; то есть . Мы принимаем обычное соглашение , чтобы его цена была равной для всех . Имея дело с моделью Блэка-Шоулза , мы также можем заменить сберегательный счет безрисковой облигацией . Единичная бескупонная облигация со сроком погашения - это ценная бумага, выплачивающая своему держателю 1 денежную единицу в заранее установленную дату в будущем, известную как срок погашения облигации . Позволять${\ displaystyle r}$${\ displaystyle [0, T ^ {*}]}$${\ displaystyle r}$${\ Displaystyle дБ_ {т} = rB_ {t} ~ dt}$${\ displaystyle B_ {0} = 1}$${\ displaystyle B_ {t} = e ^ {rt}}$${\ displaystyle t \ in [0, T ^ {*}]}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T}$${\ Displaystyle В (т, Т)}$обозначают цену на момент погашения облигации . Легко видеть, что для воспроизведения выплаты 1 во времени достаточно вкладывать единицы наличных денег на сберегательный счет во время . Это показывает, что при отсутствии возможностей арбитража цена облигации удовлетворяет${\ displaystyle t \ in [0, T]}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle B_ {t} / B_ {T}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle B(t,T)=e^{-r(T-t)}~~~,~~~\forall t\in [0,T]~.}$

Обратите внимание, что для любого фиксированного T цена облигации решает обыкновенное дифференциальное уравнение

${\displaystyle dB(t,T)=rB(t,T)dt~~~,~~~B(0,T)=e^{-rT}~.}$

В данном случае мы рассматриваем безрисковую облигацию, что означает, что ее эмитент не будет выполнять свои обязательства по выплате держателю облигации номинальной стоимости на дату погашения.

Безрисковая облигация против ценных бумаг Эрроу-Дебре ^[5] [ править ]

Безрисковая облигация может быть воспроизведена портфелем из двух ценных бумаг Эрроу-Дебре . Этот портфель точно соответствует выплате безрисковой облигации, так как портфель также платит 1 единицу независимо от того, какое состояние происходит. Это связано с тем, что если бы его цена отличалась от цены безрисковой облигации, у нас была бы возможность арбитража.присутствует в хозяйстве. Когда присутствует возможность арбитража, это означает, что безрисковая прибыль может быть получена с помощью какой-либо торговой стратегии. В этом конкретном случае, если портфель ценных бумаг Эрроу-Дебре отличается по цене от цены безрисковой облигации, то арбитражная стратегия будет заключаться в покупке более низкой цены и короткой продаже более дорогой. Поскольку у каждого из них точно такой же профиль выплат, эта сделка оставит нас с нулевым чистым риском (риск одного отменяет риск другого, потому что мы покупали и продавали в равных количествах один и тот же профиль выплат). Однако мы получили бы прибыль, потому что мы покупаем по низкой цене и продаем по высокой. Поскольку в экономике не может существовать условий арбитража, цена безрисковой облигации равна цене портфеля.

Расчет цены ^[5] [ править ]

Расчет относится к ценной бумаге Эрроу-Дебре. Давайте назовем цену безрисковой облигации на время как . Это относится к тому факту, что срок погашения облигации наступает . Как упоминалось ранее, безрисковая облигация может быть воспроизведена портфелем из двух ценных бумаг Эрроу-Дебре, одной акции и одной акции .${\displaystyle t}$${\displaystyle P(t,t+1)}$${\displaystyle t+1}$${\displaystyle t+1}$${\displaystyle A(1)}$${\displaystyle A(2)}$

Использование формулы цены ценной бумаги Эрроу-Дебре${\displaystyle n}$

${\displaystyle A(k)=p_{k}{\frac {u^{\prime }(C_{t+1}(k))}{u^{\prime }(C_{t})}},~~~~~k=1,\dots ,n}$

который является продуктом отношения межвременной предельной нормы замещения (отношение предельных полезностей во времени, его также называют плотностью государственных цен и ядром ценообразования ) и вероятности наступления состояния, в котором ценные бумаги Эрроу-Дебре рассчитывается 1 шт. Цена портфеля просто

${\displaystyle P(t,t+1)=A(1)+A(2)=p_{1}{\frac {u^{\prime }(C_{t+1}(1))}{u^{\prime }(C_{t})}}+p_{2}{\frac {u^{\prime }(C_{t+1}(2))}{u^{\prime }(C_{t})}}}$

${\displaystyle P(t,t+1)=\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {P} }{\Bigg [}{\frac {u^{\prime }(C_{t+1}(k))}{u^{\prime }(C_{t})}}{\Bigg ]}}$

Следовательно, цена безрисковой облигации - это просто ожидаемое значение межвременной предельной нормы замещения , взятое с учетом вероятностной меры . Процентная ставка теперь определяется с использованием обратной цены облигации.${\displaystyle \mathbb {P} =\{p_{1},p_{2}\}}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle 1+r_{t}={\frac {1}{P(t,t+1)}}}$

Следовательно, мы имеем фундаментальное соотношение

${\displaystyle {\frac {1}{1+r}}=\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {P} }{\Bigg [}{\frac {u^{\prime }(C_{t+1}(k))}{u^{\prime }(C_{t})}}{\Bigg ]}}$

который определяет процентную ставку в любой экономике.

Пример [ править ]

Предположим, что вероятность возникновения состояния 1 равна 1/4, а вероятность возникновения состояния 2 равна 3/4. Также предположим, что ядро ценообразования равно 0,95 для состояния 1 и 0,92 для состояния 2. ^[5]

Пусть ядро ​​ценообразования обозначается как . Тогда у нас есть две ценные бумаги Эрроу-Дебре с параметрами${\displaystyle U_{k}}$${\displaystyle A(1),~A(2)}$

${\displaystyle p_{1}=1/4~~,~~U_{1}=0.95~,}$

${\displaystyle p_{2}=3/4~~,~~U_{2}=0.92~.}$

Затем, используя предыдущие формулы, мы можем рассчитать цену облигации

${\displaystyle P(t,t+1)=A(1)+A(2)=p_{1}U_{1}+p_{2}U_{2}=1/4\cdot 0.95+3/4\cdot 0.92=0.9275~.}$

Тогда процентная ставка определяется как

${\displaystyle r={\frac {1}{P(t,t+1)}}-1={\frac {1}{0.9275}}-1=7.82\%~.}$

Таким образом, мы видим, что ценообразование облигации и определение процентной ставки очень просто сделать, если известен набор цен Эрроу-Дебре, цен ценных бумаг Эрроу-Дебре.

См. Также [ править ]

• Безрисковая процентная ставка
• Список тем по экономике
• Модель Блэка-Шоулза
• Безопасность Эрроу-Дебре

Ссылки [ править ]