В геометрии , A равномерный к 21 многогранник является многогранником в K + 4 размеров построен из Е п группы Кокстера , и имеющие только регулярный многогранник грани. Семейство было названо по их символу Кокстера k 21 по его бифуркационной диаграмме Кокстера – Дынкина с единственным кольцом на конце последовательности k- узлов.
Торольд Госсет открыл это семейство как часть своего перечисления в 1900 году регулярных и полуправильных многогранников , поэтому их иногда называют полуправильными фигурами Госсета . Госсет назвал их по размерности от 5 до 9, например 5-ю полурегулярную фигуру .
Члены семьи [ править ]
Последовательность, определенная Госсетом, заканчивается бесконечной мозаикой (заполняющей пространство сотой) в 8-мерном пространстве, называемой решеткой E8 . (Окончательная форма не была открыта Госсетом и называется решеткой E9 : 6 21. Это мозаика гиперболического 9-пространства, построенного из ∞ 9- симплексных и ∞ 9- ортоплексных граней со всеми вершинами на бесконечности.)
Однозначно семейство начинается как 6-многогранник . Треугольная призма и выпрямляются 5-клетки , включены в начале для полноты. Demipenteract также существует в demihypercube семье.
Они также иногда называют их группой симметрии, как E6 многогранник , хотя есть много равномерных многогранников в пределах Е 6 симметрии.
Полное семейство полуправильных многогранников Госсета:
- треугольная призма : −1 21 (2 треугольника и 3 квадратные грани)
- выпрямленный 5-элементный : 0 21 , тетроктаэдрический (5 тетраэдров и 5 октаэдров )
- demipenteract : 1 21 , 5-я полурегулярная фигура (16 5- ячеечных и 10 16-ячеечных фасетов)
- 2 21 многогранник : 2 21 , 6-я полурегулярная фигура (72 5- симплексных и 27 5- ортоплексных граней)
- 3 21 многогранник : 3 21 , 7-я полурегулярная фигура (576 6- симплексных и 126 6- ортоплексных граней)
- 4 21 многогранник : 4 21 , 8-я полурегулярная фигура (17280 7- симплексных и 2160 7- ортоплексных граней)
- 5 21 соты : 5 21 , 9-я полурегулярная контрольная мозаика Евклидово 8-мерное пространство (∞ 8- симплексных и ∞ 8- ортоплексных граней)
- 6 21 соты : 6 21 , мозаичное гиперболическое 9-пространство (∞ 9- симплекс и ∞ 9- ортоплексные фасеты)
Каждый многогранник построен из ( n - 1) - симплексных и ( n - 1) - ортоплексных граней.
Ортоплексные грани построены из группы Кокстера D n −1 и имеют символ Шлефли {3 1, n −1,1 }, а не регулярный {3 n −2 , 4}. Эта конструкция является следствием двух «фасетных типов». Половина фасеток вокруг каждого гребня ортоплекса прикреплена к другому ортоплексу, а остальные - к симплексу. Напротив, каждый симплексный гребень прикреплен к ортоплексу.
У каждого есть фигура вершины, как и в предыдущей форме. Например, выпрямленная 5-элементная имеет фигуру вершины в виде треугольной призмы .
Элементы [ править ]
n -ic | к 21 | График | Название Диаграмма Кокстера | Грани | Элементы | ||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
( n - 1) - симплекс {3 n −2 } | ( n - 1) - ортоплекс {3 n −4,1,1 } | Вершины | Края | Лица | Клетки | 4-гранный | 5 лиц | 6 лиц | 7 лиц | ||||
3-ic | −1 21 | Треугольная призма | 2 треугольника | 3 квадрата | 6 | 9 | 5 | ||||||
4-ic | 0 21 | Выпрямленный 5-элементный | 5 тетраэдр | 5 октаэдр | 10 | 30 | 30 | 10 | |||||
5-ic | 1 21 | Demipenteract | 16 5-элементный | 10 16 ячеек | 16 | 80 | 160 | 120 | 26 год | ||||
6-ic | 2 21 | 2 21 многогранник | 72 5-симплексов | 27 5-ортоплексов | 27 | 216 | 720 | 1080 | 648 | 99 | |||
7-ic | 3 21 | 3 21 многогранник | 576 6-симплексов | 126 6-ортоплексов | 56 | 756 | 4032 | 10080 | 12096 | 6048 | 702 | ||
8-ic | 4 21 | 4 21 многогранник | 17280 7-симплексов | 2160 7-ортоплексов | 240 | 6720 | 60480 | 241920 | 483840 | 483840 | 207360 | 19440 | |
9-ic | 5 21 | 5 21 соты | ∞ 8-симплексов | ∞ 8-ортоплексов | ∞ | ||||||||
10-ic | 6 21 | 6 21 соты | ∞ 9-симплексов | ∞ 9-ортоплексов | ∞ |
См. Также [ править ]
- Равномерное семейство многогранников 2 k1
- Семейство однородных многогранников 1 k2
Ссылки [ править ]
- Т. Госсет : О регулярных и полурегулярных фигурах в пространстве n измерений , Вестник математики, Macmillan, 1900
- Алисия Буль Стотт Геометрическое выведение полуправильного числа из регулярных многогранников и заполнений пространства , Верханделинген из академии Koninklijke van Wetenschappen, единица ширины Амстердам, Eerste Sectie 11,1, Амстердам, 1910
- Стотт, А.Б. "Геометрический вывод полурегулярных из регулярных многогранников и заполнения пространств". Verhandelingen der Koninklijke Akad. Wetenschappen Amsterdam 11, 3–24, 1910.
- Алисия Буль Стотт, "Геометрическая дедукция полуправильных из правильных многогранников и заполнения пространства", Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam, (eerste sectie), Vol. 11, № 1, стр. 1–24 плюс 3 пластины, 1910 г.
- Стотт, А.Б. 1910. "Геометрический вывод полурегулярных из регулярных многогранников и заполнения пространств". Verhandelingen der Koninklijke Akad. Wetenschappen Amsterdam
- Схоут, PH, Аналитическая обработка многогранников, регулярно получаемых из правильных многогранников, Вер. der Koninklijke Akad. van Wetenschappen te Amsterdam (eerstie sectie), том 11.5, 1913 г.
- HSM Coxeter : регулярные и полурегулярные многогранники, часть I, Mathematische Zeitschrift, Springer, Берлин, 1940
- Н. В. Джонсон : Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. Диссертация, Университет Торонто, 1966 г.
- HSM Coxeter: Regular and Semi-Regular Polytopes, Part II, Mathematische Zeitschrift, Springer, Берлин, 1985.
- HSM Coxeter: Regular and Semi-Regular Polytopes, Part III, Mathematische Zeitschrift, Springer, Берлин, 1988.
- Дж. Блинд и Р. Блинд, "Полурегулярные многогранники", Commentari Mathematici Helvetici 66 (1991) 150–154
- Джон Х. Конвей , Хайди Берджел, Хаим Гудман-Страсс, Симметрии вещей 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 26. стр. 411–413: Серия Госсет: n 21 )
Внешние ссылки [ править ]
- PolyGloss v0.05: Фигуры Госсета (Gossetoicosatope)
- Регулярные, полурегулярные, правильные и архимедовы многогранники
Семья | А п | B n | I 2 (p) / D n | E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2 | H n | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Правильный многоугольник | Треугольник | Квадратный | п-угольник | Шестиугольник | Пентагон | |||||||
Равномерный многогранник | Тетраэдр | Октаэдр • Куб | Демикуб | Додекаэдр • Икосаэдр | ||||||||
Равномерный 4-многогранник | 5-элементный | 16 ячеек • Тессеракт | Demitesseract | 24-элементный | 120 ячеек • 600 ячеек | |||||||
Равномерный 5-многогранник | 5-симплекс | 5-ортоплекс • 5-куб. | 5-полукуб | |||||||||
Равномерный 6-многогранник | 6-симплекс | 6-ортоплекс • 6-куб. | 6-полукуб | 1 22 • 2 21 | ||||||||
Равномерный 7-многогранник | 7-симплекс | 7-ортоплекс • 7-куб | 7-полукруглый | 1 32 • 2 31 • 3 21 | ||||||||
Равномерный 8-многогранник | 8-симплекс | 8-ортоплекс • 8-куб | 8-полукруглый | 1 42 • 2 41 • 4 21 | ||||||||
Равномерный 9-многогранник | 9-симплекс | 9-ортоплекс • 9-куб | 9-полукруглый | |||||||||
Равномерный 10-многогранник | 10-симплекс | 10-ортоплекс • 10-куб | 10-полукуб | |||||||||
Равномерное n - многогранник | n - симплекс | n - ортоплекс • n - куб | n - demicube | 1 к2 • 2 к1 • к 21 | n - пятиугольный многогранник | |||||||
Темы: Семейства многогранников • Регулярный многогранник • Список правильных многогранников и соединений |
Космос | Семья | / / | ||||
---|---|---|---|---|---|---|
E 2 | Равномерная черепица | {3 [3] } | δ 3 | hδ 3 | qδ 3 | Шестиугольный |
E 3 | Равномерно выпуклые соты | {3 [4] } | δ 4 | hδ 4 | qδ 4 | |
E 4 | Равномерные 4-соты | {3 [5] } | δ 5 | hδ 5 | qδ 5 | 24-ячеечные соты |
E 5 | Равномерные 5-соты | {3 [6] } | δ 6 | hδ 6 | qδ 6 | |
E 6 | Равномерные 6-соты | {3 [7] } | δ 7 | hδ 7 | qδ 7 | 2 22 |
E 7 | Равномерные 7-соты | {3 [8] } | δ 8 | hδ 8 | qδ 8 | 1 33 • 3 31 |
E 8 | Равномерные 8-соты | {3 [9] } | δ 9 | hδ 9 | qδ 9 | 1 52 • 2 51 • 5 21 |
E 9 | Равномерные 9-соты | {3 [10] } | δ 10 | hδ 10 | qδ 10 | |
E n -1 | Uniform ( n -1) - соты | {3 [n] } | δ n | hδ n | qδ n | 1 к2 • 2 к1 • к 21 |