В теоретической физике , суперсимметричная квантовая механика представляет собой область исследований , где математические понятия из области физики высоких энергий применяются в области квантовой механики .
Вступление
Понимание последствий суперсимметрии оказалось математически сложной задачей, и также было трудно разработать теории, которые могли бы объяснить нарушение симметрии, то есть отсутствие наблюдаемых частиц-партнеров равной массы. Чтобы добиться прогресса в решении этих проблем, физики разработали суперсимметричную квантовую механику , приложение супералгебры суперсимметрии (SUSY) к квантовой механике, а не к квантовой теории поля . Была надежда, что изучение последствий SUSY в этой более простой обстановке приведет к новому пониманию; примечательно, что эти усилия открыли новые области исследований в самой квантовой механике.
Например, студентов обычно учат «решать» атом водорода с помощью трудоемкого процесса, который начинается с подстановки кулоновского потенциала в уравнение Шредингера . После значительного объема работы с использованием многих дифференциальных уравнений анализ дает рекурсивное соотношение для полиномов Лагерра . Конечным результатом является спектр энергетических состояний атома водорода (помеченный квантовыми числами n и l ). Используя идеи, взятые из SUSY, конечный результат может быть получен с гораздо большей легкостью, почти так же, как операторные методы используются для решения гармонического осциллятора . [1] Аналогичный суперсимметричный подход также может быть использован для более точного нахождения спектра водорода с использованием уравнения Дирака. [2] Как ни странно, этот подход аналогичен тому, как Эрвин Шредингер впервые решил атом водорода. [3] [4] Конечно, он не называл свое решение суперсимметричным, поскольку SUSY находился на тридцать лет вперед.
SUSY-решение атома водорода - лишь один из примеров очень общего класса решений, которые SUSY предоставляет для инвариантных по форме потенциалов , категории, которая включает большинство потенциалов, изучаемых на вводных курсах квантовой механики.
Квантовая механика SUSY включает пары гамильтонианов, которые разделяют определенные математические отношения, которые называются партнерскими гамильтонианами . (Члены потенциальной энергии, которые встречаются в гамильтониане, тогда называются потенциалами-партнерами .) Вводная теорема показывает, что для каждого собственного состояния одного гамильтониана его гамильтониан-партнер имеет соответствующее собственное состояние с той же энергией (за исключением, возможно, собственных состояний с нулевой энергией). Этот факт можно использовать для вывода многих свойств спектра собственных состояний. Это аналогично оригинальному описанию SUSY, которое относилось к бозонам и фермионам. Мы можем представить себе «бозонный гамильтониан», собственными состояниями которого являются различные бозоны нашей теории. SUSY-партнер этого гамильтониана будет "фермионным", а его собственными состояниями будут фермионы теории. У каждого бозона должен быть фермионный партнер с равной энергией, но в релятивистском мире энергия и масса взаимозаменяемы, поэтому мы можем так же легко сказать, что частицы-партнеры имеют одинаковую массу.
Концепции SUSY предоставили полезные расширения приближения ВКБ в форме модифицированной версии условия квантования Бора-Зоммерфельда. Кроме того, SUSY применялся к неквантовой статистической механике через уравнение Фоккера – Планка , показывая, что даже если первоначальное вдохновение в физике частиц высоких энергий окажется тупиком, его исследование принесло много полезных преимуществ.
Пример: гармонический осциллятор
Уравнение Шредингера для гармонического осциллятора принимает вид
где это th собственное состояние энергии с энергией . Мы хотим найти выражение для с точки зрения . Определим операторы
а также
где , который нам нужно выбрать, называется суперпотенциалом . Мы также определяем вышеупомянутые партнерские гамильтонианы а также в виде
Основное состояние с нулевой энергией из удовлетворял бы уравнению
Предполагая, что мы знаем основное состояние гармонического осциллятора , мы можем решить для в виде
Затем мы обнаруживаем, что
Теперь мы видим, что
Это частный случай неизменности формы, обсуждаемый ниже. Принимая без доказательства упомянутую вводную теорему, очевидно, что спектр начнется с и продолжайте движение вверх с шагом Спектры а также будут иметь такой же ровный интервал, но будут сдвинуты на величину вверх а также , соответственно. Отсюда следует, что спектр поэтому знакомый .
Супералгебра SUSY QM
Из фундаментальной квантовой механики мы узнаем, что алгебра операторов определяется коммутационными соотношениями между этими операторами. Например, канонические операторы положения и импульса имеют коммутатор. (Здесь мы используем « естественные единицы », где постоянная Планка установлена равной 1.) Более сложный случай - это алгебра операторов углового момента ; эти величины тесно связаны с вращательной симметрией трехмерного пространства. Чтобы обобщить это понятие, мы определяем антикоммутатор , который связывает операторы так же, как и обычный коммутатор , но с противоположным знаком:
Если операторы связаны не только коммутаторами, но и антикоммутаторами, мы говорим, что они являются частью супералгебры Ли . Допустим, у нас есть квантовая система, описываемая гамильтонианом и набор операторы . Мы будем называть эту систему суперсимметричной, если для всех справедливо следующее антикоммутационное соотношение:
В этом случае мы вызываем наддув системы .
Пример
Давайте посмотрим на пример одномерной нерелятивистской частицы с двумерной ( то есть с двумя состояниями) внутренней степенью свободы, называемой «спином» (на самом деле это не спин, потому что «реальный» спин является свойством трехмерных частиц). Позволять- оператор, преобразующий частицу со спином вверх в частицу со спином вниз. Прилегающийзатем преобразует частицу со спином вниз в частицу со спином вверх; операторы нормированы так, что антикоммутатор. И конечно же,. Позволять - импульс частицы и быть его положением с . Позволять(« суперпотенциал ») - произвольная комплексная аналитическая функция от и определим суперсимметричные операторы
Обратите внимание, что а также самосопряжены. Пусть гамильтониан
где W» является производной от W . Также обратите внимание, что { Q 1 , Q 2 } = 0. Это не что иное, как N = 2 суперсимметрия. Обратите внимание, чтодействует как электромагнитный векторный потенциал .
Давайте также назовем состояние со спином вниз «бозонным», а состояние со спином вверх «фермионным». Это только аналогия с квантовой теорией поля и не должно восприниматься буквально. Затем Q 1 и Q 2 переводят «бозонные» состояния в «фермионные» состояния и наоборот.
Давайте немного переформулируем это:
Определять
и, конечно же,
а также
Оператор является «бозонным», если он отображает «бозонные» состояния в «бозонные» состояния и «фермионные» состояния в «фермионные» состояния. Оператор является «фермионным», если он отображает «бозонные» состояния в «фермионные» состояния и наоборот. Любой оператор можно однозначно выразить как сумму бозонного оператора и фермионного оператора. Определите суперкоммутатор [,} следующим образом: между двумя бозонными операторами или бозонным и фермионным операторами это не что иное, как коммутатор, но между двумя фермионными операторами он является антикоммутатором .
Тогда x и p - бозонные операторы и b, , Q и являются фермионными операторами.
Давайте работать с изображением Гейзенберга, где x, b и являются функциями времени.
Потом,
В общем случае это нелинейно: т.е. x (t), b (t) и не образуют линейного SUSY-представления, потому что не обязательно линейно по x. Чтобы избежать этой проблемы, определите самосопряженный оператор. Потом,
и мы видим, что у нас есть линейное SUSY-представление.
Теперь давайте введем две «формальные» величины, ; а также причем последний является соединением с первым, так что
и оба они коммутируют с бозонными операторами, но антикоммутируют с фермионными.
Затем мы определяем конструкцию, называемую суперполем :
f , конечно, самосопряжен. Потом,
Между прочим, существует также симметрия U (1) R , где p, x и W имеют нулевые R-заряды и с зарядом R, равным 1, и b, имеющим заряд R, равным -1.
Инвариантность формы
Предполагать реально для всего настоящего . Тогда мы можем упростить выражение для гамильтониана до
Существуют определенные классы суперпотенциалов, в которых бозонный и фермионный гамильтонианы имеют одинаковый вид. Конкретно
где это параметры. Например, потенциал атома водорода с угловым моментом можно записать так.
Это соответствует для суперпотенциала
Это потенциал для угловой момент сдвинут на постоянную величину. После решения В основном состоянии суперсимметричные операторы могут быть использованы для построения остальной части спектра связанных состояний.
В общем, поскольку а также являются партнерскими потенциалами, они имеют один и тот же энергетический спектр, за исключением одной дополнительной основной энергии. Мы можем продолжить этот процесс поиска партнерских потенциалов с условием инвариантности формы, дав следующую формулу для уровней энергии в терминах параметров потенциала
где являются параметрами для множественных партнерских потенциалов.
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Вэлэнс, А .; Морган, Т.Дж.; Бержерон, Х. (1990), "Собственное решение кулоновского гамильтониана через суперсимметрию" , Американский журнал физики , AAPT, 58 (5): 487–491, Bibcode : 1990AmJPh..58..487V , doi : 10.1119 / 1.16452 , архивировано из оригинала на 24.02.2013
- ^ Таллер, Б. (1992). Уравнение Дирака. Тексты и монографии по физике. Springer.
- ^ Шредингер, Эрвин (1940), "Метод определения квантово-механических собственных значений и собственных функций ", Труды Королевской ирландской академии , Королевская ирландская академия, 46 : 9–16
- ^ Шредингер, Эрвин (1941), «Дальнейшие исследования по решению проблем собственных значений путем факторизации», Труды Королевской ирландской академии , Королевская ирландская академия, 46 : 183–206
Источники
- Ф. Купер, А. Харе и У. Сухатме, "Суперсимметрия и квантовая механика", Phys.Rept.251: 267-385, 1995.
- DS Kulshreshtha, JQ Liang и HJW Muller-Kirsten, "Флуктуационные уравнения о классических конфигурациях поля и суперсимметричной квантовой механике", Annals Phys. 225: 191-211, 1993.
- Дж. Юнкер, "Суперсимметричные методы в квантовой и статистической физике", Springer-Verlag, Берлин, 1996 г.
- Б. Мельник и О. Росас-Ортис, "Факторизация: маленький или отличный алгоритм?", J. Phys. A: Математика. Быт.37: 10007-10035, 2004
Внешние ссылки
- Ссылки из INSPIRE-HEP