В математике , особенно в теории групп , группа фраз типа Ли обычно относится к конечным группам , которые тесно связаны с группой рациональных точек редуктивной линейной алгебраической группы со значениями в конечном поле . Группа фраз лиева типа не имеет общепринятого точного определения [1] , но важный набор конечных простых групп лиева типа имеет точное определение, и они составляют большинство групп в классификации конечных простых групп. .
Название «группы типа Ли» связано с тесной связью с (бесконечными) группами Ли , поскольку компактную группу Ли можно рассматривать как рациональные точки редуктивной линейной алгебраической группы над полем действительных чисел . Дьёдонне (1971) и Картер (1989) являются стандартными справочниками для групп лиевского типа.
Первым подходом к этому вопросу было определение и подробное изучение так называемых классических групп над конечными и другими полями Джорданом (1870) . Эти группы изучались Л.Э. Диксоном и Жаном Дьёдонне . Эмиль Артин исследовал порядки таких групп с целью классификации случаев совпадения.
Классическая группа — это, грубо говоря, специальная линейная , ортогональная , симплектическая или унитарная группа . Есть несколько незначительных вариаций из них, заданных путем взятия производных подгрупп или центральных факторов , последние дают проективные линейные группы . Их можно построить над конечными полями (или любыми другими полями) почти так же, как они строятся над действительными числами. Им соответствуют ряды An , Bn , Cn , Dn , 2 An , 2 Dn .групп Шевалле и Стейнберга.
Группы Шевалле можно рассматривать как группы Ли над конечными полями. Теория была уточнена теорией алгебраических групп и работой Шевалле ( 1955 ) по алгебрам Ли, посредством которой было выделено понятие группы Шевалле . Шевалле построил базис Шевалле (своего рода интегральную форму, но над конечными полями) для всех сложных простых алгебр Ли (или, скорее, их универсальных обертывающих алгебр ), который можно использовать для определения соответствующих алгебраических групп над целыми числами. В частности, он мог взять их точки со значениями в любом конечном поле. Для алгебр Ли An , Bn , Cn , D n это дало хорошо известные классические группы, но его конструкция также дала группы, ассоциированные с исключительными алгебрами Ли E 6 , E 7 , E 8 , F 4 и G 2 . Группы типа G 2 (иногда называемые группами Диксона ) уже были построены Диксоном (1905 г.) , а группы типа Е 6 Диксоном (1901 г..
Конструкция Шевалле не дала всех известных классических групп: она опустила унитарные группы и нерасщепляемые ортогональные группы . Штейнберг (1959) нашел модификацию конструкции Шевалле, которая дала эти группы и два новых семейства 3 D 4 , 2 E 6 , второе из которых было открыто примерно в то же время с другой точки зрения Титсом (1958) . Эта конструкция обобщает обычную конструкцию унитарной группы по общей линейной группе.