В математике , то поле трассировка является особой функция определяется по отношению к конечному расширению поля L / K , который представляет собой К -линейной картой из L на K .
Определение
Пусть К поле и L конечное расширение (и , следовательно, алгебраическое расширение ) из K . L можно рассматривать как векторное пространство над K . Умножение на α , элемент L ,
- ,
является K - линейное преобразование этого векторного пространства в себя. Следа , Тр л / К ( α ), определяются как (линейная алгебра) след этого линейного преобразования. [1]
Для получения альфа в L , пусть σ 1 ( & alpha ; ), ..., σ п ( α ) будет корни (с учетом кратности) из минимального полинома из & alpha ; над K (в некоторой области расширения K ), а затем
- .
Если L / K отделимы, то каждый корень появляется только один раз [2] (однако это не означает, что указанный выше коэффициент равен единице; например, если α является единичным элементом 1 для K, то след равен [ L : K ] умноженному на 1) .
Более конкретно, если L / K является расширение Галуа и α находится в L , то след альфа является суммой всех Галуа конъюгатов из & alpha ; , [1] т.е.
где Gal ( L / K ) обозначает группу Галуа из L / K .
Пример
Позволять - квадратичное расширение . Тогда основа Если тогда матрица является:
- ,
и другие, . [1] Минимальный многочлен для α равен X 2 - 2 a X + a 2 - d b 2 .
Свойства следа
Некоторые свойства функции следа сохраняются для любого конечного расширения. [3]
Следа Тг L / K : L → K является K - линейное отображение (а К -линейному функционалу), то есть
- .
Если α ∈ K, то
Кроме того, трассировка хорошо ведет себя в башнях полей : если M является конечным расширением L , то трасса от M до K является просто композицией трассы от M до L со следом от L до K , т. Е.
- .
Конечные поля
Пусть L = GF ( q n ) - конечное расширение конечного поля K = GF ( q ). Так как L / K является расширением Галуа , если α находится в L , то след альфа является суммой всех конъюгатов Галуа из & alpha ; , то есть [4]
- .
В этой настройке у нас есть дополнительные свойства: [5]
- .
- Для любой , есть ровно элементы с участием .
Теорема . [6] Для b ∈ L пусть F b отображениеТогда F b ≠ F c, если b ≠ c . Кроме того, K -линейного преобразования от L до К в точности карты вида F б а б изменяется над полем L .
Когда K является простым подполем L , след называется абсолютным следом, в противном случае это относительный след . [4]
Заявление
Квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 с a ≠ 0 и коэффициентами в конечном полеимеет 0, 1 или 2 корня в GF ( q ) (и два корня с учетом кратности в квадратичном расширении GF ( q 2 )). Если характерная для GF ( д ) нечетное, то дискриминант , Δ = Ь 2 - 4 переменного тока указывает количество корней в GF ( Q ) и классическая квадратичная формула дает корни. Однако, когда GF ( q ) имеет четную характеристику (т. Е. Q = 2 h для некоторого положительного целого числа h ), эти формулы больше не применимы.
Рассмотрим квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 с коэффициентами в конечном поле GF (2 h ). [7] Если b = 0, то это уравнение имеет единственное решениев GF ( q ). Если b ≠ 0, то замена y = ax / b преобразует квадратное уравнение к виду:
- .
Это уравнение имеет два решения в GF ( q ) тогда и только тогда, когда абсолютный следВ этом случае, если y = s - одно из решений, то y = s + 1 - другое. Пусть k - любой элемент из GF ( q ) с Тогда решение уравнения дается следующим образом:
- .
Когда h = 2 m + 1, решение дается более простым выражением:
- .
Форма следа
Когда L / K сепарабелен, след обеспечивает теорию двойственности через форму следа : карту из L × L до K отправки ( х , у ) к Tr L / K ( х ) является невырожденной , , симметрично , билинейная форма называется форма следа. Если L / K является расширением Галуа, форма следа инвариантна относительно группы Галуа.
Форма следа используется в теории алгебраических чисел в теории различных идеалов .
Форма следа для конечной степени поля расширения L / K имеет неотрицательную подпись для любого поля заказа на K . [8] Обратное, что каждый Витт эквивалентность класс с неотрицательной подписью содержит форму следа, верно для полех алгебраических чисел К . [8]
Если L / K - неотделимое расширение , то форма следа тождественно 0. [9]
Смотрите также
Заметки
- ^ a b c Ротман 2002 , стр. 940
- ^ Ротман 2002 , стр. 941
- ↑ Роман, 1995 , с. 151 (1-е изд.)
- ^ a b Lidl & Niederreiter 1997 , стр.54
- ^ Mullen & Panario 2013 , стр. 21 год
- ^ Lidl & Нидеррейтер 1997 , с.56
- Перейти ↑ Hirschfeld 1979 , pp. 3-4
- ^ a b Лоренц (2008) стр.38
- Перейти ↑ Isaacs 1994 , p. 369, как указано в сноске Rotman 2002 , p. 943
Рекомендации
- Хиршфельд, JWP (1979), Проективные геометрии над конечными полями , Оксфордские математические монографии, Oxford University Press, ISBN 0-19-853526-0
- Айзекс, И.М. (1994), Алгебра, выпускной курс , Brooks / Cole Publishing
- Лидл, Рудольф; Нидеррейтер, Харальд (1997) [1983], Конечные поля , Энциклопедия математики и ее приложений, 20 (второе изд.), Cambridge University Press , ISBN 0-521-39231-4, Zbl 0866,11069
- Лоренц, Фалько (2008). Алгебра. Том II: Поля со структурой, алгебры и сложные темы . Springer. ISBN 978-0-387-72487-4. Zbl 1130.12001 .
- Mullen, Gary L .; Панарио, Даниэль (2013), Справочник по конечным полям , CRC Press, ISBN 978-1-4398-7378-6
- Роман, Стивен (2006), Теория поля , Тексты для выпускников по математике, 158 (Второе изд.), Springer, Глава 8, ISBN 978-0-387-27677-9, Zbl 1172,12001
- Ротман, Джозеф Дж. (2002), Advanced Modern Algebra , Prentice Hall, ISBN 978-0-13-087868-7
дальнейшее чтение
- Коннер, ЧП; Перлис, Р. (1984). Обзор форм следов полей алгебраических чисел . Серия по чистой математике. 2 . World Scientific. ISBN 9971-966-05-0. Zbl 0551.10017 .
- Раздел VI.5 Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , 211 (пересмотренное третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556 , Zbl 0984.00001