Уравнение ракеты Циолковского , классическое уравнение ракеты или уравнение идеальной ракеты - это математическое уравнение, описывающее движение транспортных средств, которые следуют основному принципу ракеты : устройство, которое может применять к себе ускорение с помощью тяги , выбрасывая часть своей массы с высокой скоростью. Таким образом, скорость может перемещаться из-за сохранения количества движения .
где:
- - дельта-v - максимальное изменение скорости транспортного средства (без воздействия внешних сил).
- - начальная общая масса, включая пропеллент , также известная как влажная масса.
- это окончательная общая масса без пропеллента, также известная как сухая масса.
- - эффективная скорость истечения , где:
- это удельный импульс в измерении времени.
- является стандартной гравитации .
- - функция натурального логарифма .
История
Уравнение имени России ученого Константина Циолковского (русский язык : Константин Циолковский ) , которые независимо друг от друга , полученного его и опубликовал его в 1903 году работы. [1] [2]
Уравнение было выведено ранее британским математиком Уильямом Муром в 1810 году [3] и позже опубликовано в отдельной книге в 1813 году. [4] Министр Уильям Лейтч , который был способным ученым, также независимо вывел основы ракетной техники в 1861 г.
Роберт Годдард из Америки независимо разработал уравнение в 1912 году, когда он начал свои исследования по усовершенствованию ракетных двигателей для возможных космических полетов. Герман Оберт в Европе независимо вывел уравнение примерно в 1920 году, изучая возможность космических путешествий.
В то время как вывод уравнения ракеты представляет собой простое вычислительное упражнение, Циолковский удостоен чести быть первым, кто применил его к вопросу о том, могут ли ракеты развивать скорость, необходимую для космических путешествий .
Вывод
Самый популярный вывод
Рассмотрим следующую систему:
В следующем выводе «ракета» означает «ракету и все ее несгоревшее топливо».
Второй закон движения Ньютона связывает внешние силы () к изменению количества движения всей системы (включая ракету и выхлоп) следующим образом:
где импульс ракеты во времени :
а также это импульс ракеты и исчерпанная масса в момент времени :
и где относительно наблюдателя:
скорость ракеты в момент времени скорость ракеты в момент времени скорость массы, добавляемой к выхлопу (и теряемой ракетой) за время это масса ракеты во время это масса ракеты во время
Скорость выхлопа в кадре наблюдателя связана со скоростью истечения в раме ракеты. на (поскольку скорость истечения в отрицательном направлении)
Решение урожайности:
и, используя , так как выброс положительного приводит к снижению массы,
Если нет внешних сил, то ( сохранение количества движения ) и
Предполагая является константой, это можно интегрировать следующим образом:
Тогда это дает
или эквивалентно
- или же
или же
где - начальная полная масса, включая топливо, конечная масса и скорость истечения ракеты относительно ракеты ( удельный импульс или, если измерять во времени, умноженный на ускорение силы тяжести на Земле).
Значение - полная рабочая масса израсходованного топлива.
( дельта v ) представляет собой интегрирование во времени величины ускорения, создаваемого ракетным двигателем (каким было бы фактическое ускорение, если бы внешние силы отсутствовали). В свободном пространстве для случая ускорения в направлении скорости это увеличение скорости. В случае ускорения в обратном направлении (замедления) это уменьшение скорости. Конечно, сила тяжести и сопротивление также ускоряют транспортное средство, и они могут добавлять или уменьшать изменение скорости, испытываемой транспортным средством. Следовательно, delta-v не всегда может быть фактическим изменением скорости или скорости транспортного средства.
Прочие производные
Импульсный
Уравнение также может быть получено из основного интеграла ускорения в форме силы (тяги) по массе. Представив уравнение дельта-v следующим образом:
где Т - тяга, - начальная (мокрая) масса и - начальная масса минус конечная (сухая) масса,
и понимая, что интеграл результирующей силы с течением времени является полным импульсом, предполагая, что сила тяги является единственной задействованной силой,
Интеграл оказывается:
Понимая, что импульс изменения массы эквивалентен силе, действующей на массовый расход топлива (p), что само по себе эквивалентно скорости истечения,
интеграл можно приравнять к
На основе ускорения
Представьте себе ракету, покоящуюся в космосе без приложения сил ( Первый закон движения Ньютона ). С момента запуска двигателя (часы установлены на 0) ракета выбрасывает массу газа с постоянным массовым расходом R (кг / с) и скоростью истечения относительно ракеты v e (м / с). Это создает постоянную силу F, приводящую в движение ракету, равную R × v e . Ракета подвержена действию постоянной силы, но ее общая масса неуклонно уменьшается, поскольку она выбрасывает газ. Согласно второму закону движения Ньютона , его ускорение в любой момент времени t равно его движущей силе F, деленной на его текущую массу m :
Теперь масса топлива, изначально имеющегося на борту ракеты, равна m 0 - m f . Следовательно, для постоянного массового расхода R потребуется время T = (m 0 - m f ) / R, чтобы сжечь все это топливо. Интегрируя обе части уравнения по времени от 0 до T (и отмечая, что R = dm / dt допускает замену справа), получаем
Предел выталкивания «гранул» конечной массы
Уравнение ракеты также может быть получено как предельный случай изменения скорости ракеты, которая выбрасывает свое топливо в виде пеллеты последовательно, как , с эффективной скоростью выхлопа так что механическая энергия, получаемая на единицу массы топлива, определяется выражением .
Позволять - начальная массовая доля топлива на борту и начальная заправленная масса ракеты. Разделите общую массу топлива в дискретные гранулы каждой массы . Из сохранения импульса при выбросепеллеты, общее изменение скорости можно представить как сумму [5]
Обратите внимание, что для больших последний член в знаменателе и им можно пренебречь, чтобы дать
- где а также .
В виде эта сумма Римана становится определенным интегралом
- , так как оставшаяся масса ракеты равна .
Специальная теория относительности
Если специальная теория относительности принимается во внимание, следующее уравнение может быть получено для релятивистской ракеты , [6] с снова обозначает конечную скорость ракеты (после выброса всей ее реакционной массы и уменьшения до массы покоя ) в инерциальной системе отсчета, где ракета стартовала в состоянии покоя (с массой покоя, включая топливо, изначально), и обозначает скорость света в вакууме:
Письмо в виде позволяет переформулировать это уравнение как
Затем, используя тождество (здесь «exp» обозначает экспоненциальную функцию ; см. также Натуральный логарифм, а также «степенное» тождество в логарифмических тождествах ) и тождество( см. Гиперболическая функция ), это эквивалентно
Условия уравнения
Дельта- v
Треугольник v ( в буквальном смысле « изменение в скорости »), а символ Д V и выраженная дельта-Вейте , как он используется в динамике полета космического аппарата , является мера импульса , которая необходимо , чтобы выполнить маневр , такие как запуск из, или посадок на планета или луна, или орбитальный маневр в космосе . Это скаляр с единицами скорости . В данном контексте это не то же самое, что физическое изменение скорости транспортного средства.
Дельта- v создается реактивными двигателями, такими как ракетные двигатели, и пропорциональна тяге на единицу массы и времени горения и используется для определения массы топлива, необходимого для данного маневра, с помощью уравнения ракеты.
Для нескольких маневров дельта- v суммируется линейно.
Для межпланетных дельта- v часто нанесены на Porkchop сюжет , который отображает требуемое задание дельта- V в зависимости от даты запуска.
Массовая доля
В аэрокосмической технике массовая доля топлива - это часть массы транспортного средства, которая не достигает места назначения, обычно используемая как мера характеристик транспортного средства. Другими словами, массовая доля пороха - это соотношение между массой пороха и начальной массой транспортного средства. В космическом корабле местом назначения обычно является орбита, а для самолетов - это место приземления. Более высокая массовая доля означает меньший вес конструкции. Другой связанный показатель - это доля полезной нагрузки , которая представляет собой долю полезной нагрузки от начального веса.
Эффективная скорость выхлопа
Эффективная скорость выхлопа часто определяется как удельный импульс, и они связаны друг с другом следующими факторами:
где
- удельный импульс в секундах,
- - удельный импульс, измеренный в м / с , который совпадает с эффективной скоростью выхлопа, измеренной в м / с (или фут / с, если g выражается в фут / с 2 ),
- - стандартная сила тяжести , 9,80665 м / с 2 (в британских единицах измерения 32,174 фут / с 2 ).
Применимость
Уравнение ракеты отражает основы физики полета ракеты в одном коротком уравнении. Это также верно для реактивных реактивных ракет, когда эффективная скорость выхлопа постоянна, и может быть суммировано или интегрировано, когда эффективная скорость выхлопа меняется. Уравнение ракеты учитывает только силу реакции ракетного двигателя; он не включает другие силы, которые могут действовать на ракету, такие как аэродинамические или гравитационные силы. Таким образом, при использовании его для расчета потребности в топливе для запуска с (или механического спуска на) планеты с атмосферой, влияние этих сил должно быть включено в требование дельта-V (см. Примеры ниже). В том, что было названо «тиранией ракетного уравнения», существует ограничение на количество полезной нагрузки, которую может нести ракета, поскольку более высокие количества топлива увеличивают общий вес и, таким образом, также увеличивают расход топлива. [7] Уравнение не применяется к неракетным системам, таким как аэродинамическое торможение , запуски пушек , космические лифты , пусковые петли , тросовые двигательные установки или легкие паруса .
Уравнение ракеты может применяться к орбитальным маневрам , чтобы определить, сколько топлива необходимо для перехода на конкретную новую орбиту или для поиска новой орбиты в результате определенного сгорания топлива. При применении к орбитальным маневрам предполагается импульсный маневр , при котором метательное взрывчатое вещество выпускается, а дельта-v применяется мгновенно. Это предположение является относительно точным для кратковременных ожогов, таких как корректировки на середине курса и маневры по орбитальной установке. По мере увеличения продолжительности горения результат становится менее точным из-за воздействия силы тяжести на транспортное средство во время маневра. Для малой тяги и длительной тяги, такой как электрическая тяга, для прогнозирования орбитального движения используется более сложный анализ, основанный на распространении вектора состояния космического корабля и интегрировании тяги.
Примеры
Предположим, что скорость выхлопа составляет 4500 метров в секунду (15000 футов / с) и 9700 метров в секунду (32000 футов / с) (от Земли до НОО , включая для преодоления силы тяжести и аэродинамического сопротивления).
- Одноступенчатая орбитальная ракета:= 0,884, следовательно, 88,4% начальной общей массы должно быть пропеллентом. Остальные 11,6% приходятся на двигатели, бак и полезную нагрузку.
- Две ступени на орбиту : предположим, что первая ступень должна обеспечивать 5000 метров в секунду (16000 футов / с); = 0,671, следовательно, 67,1% начальной общей массы должно быть пропеллентом для первой ступени. Остальная масса 32,9%. После утилизации первой ступени масса остается равной 32,9% за вычетом массы танка и двигателей первой ступени. Предположим, что это 8% от начальной общей массы, тогда остается 24,9%. Второй этап должен обеспечить 4700 метров в секунду (15000 футов / с); = 0,648, следовательно, 64,8% оставшейся массы должно быть ракетным, что составляет 16,2% от исходной общей массы, а 8,7% остается для танка и двигателей второй ступени, полезной нагрузки и в случае космического челнока. , также орбитальный аппарат. Таким образом, вместе 16,7% исходной стартовой массы доступно для всех двигателей, баков и полезной нагрузки.
Этапы
В случае последовательного выталкивания ступеней ракеты уравнение применяется для каждой ступени, где для каждой ступени начальная масса в уравнении - это полная масса ракеты после отбрасывания предыдущей ступени, а конечная масса в уравнении - это общая масса ракеты непосредственно перед тем, как выбросить соответствующую ступень. Для каждого этапа удельный импульс может быть разным.
Например, если 80% массы ракеты - это топливо первой ступени, 10% - это сухая масса первой ступени, а 10% - оставшаяся ракета, то
С тремя одинаковыми, а затем и меньшими ступенями с одинаковым для каждого этапа у нас есть
а полезная нагрузка составляет 10% × 10% × 10% = 0,1% от начальной массы.
Сопоставимая ракета SSTO , также с полезной нагрузкой 0,1%, могла бы иметь массу 11,1% для топливных баков и двигателей и 88,8% для топлива. Это дало бы
Если двигатель новой ступени зажигается до того, как предыдущая ступень была выброшена, и одновременно работающие двигатели имеют другой удельный импульс (как это часто бывает с твердотопливными ракетными ускорителями и ступенью на жидком топливе), ситуация усложняется.
Распространенные заблуждения
Если рассматривать ракету как систему с переменной массой , ее нельзя напрямую проанализировать с помощью второго закона движения Ньютона, поскольку этот закон действителен только для систем с постоянной массой. [8] [9] [10] Может вызвать недоумение то, что уравнение ракеты Циолковского похоже на уравнение релятивистской силы. . Используя эту формулу споскольку изменяющаяся масса ракеты, кажется, выводит уравнение ракеты Циолковского, но этот вывод неверен. Обратите внимание, что эффективная скорость выхлопа даже не фигурирует в этой формуле.
Смотрите также
- Бюджет Delta-v
- Соотношение масс
- Эффект Оберта, применяя дельта-v в гравитационной скважине, увеличивает конечную скорость
- Релятивистская ракета
- Обратимость орбит
- Движение космического корабля
- Системы с переменной массой
- Рабочая масса
- Роберт Годдард добавил термины для гравитации и сопротивления в вертикальном полете
Рекомендации
- ^ К. Ціолковскій, Изслѣдованій мировыхъ пространствъ реактивные приборы, 1903 (доступно онлайн здесь Архивированы 2011-08-15 в Wayback Machine в запакованном PDF)
- ^ Циолковский, К. "Реактивные летательные аппараты" (PDF) .
- ^ Мур, Уильям ; в Военной академии в Вулвиче (1810 г.). Журнал естественной философии, химии и искусств Vol. XXVII, декабрь 1810 г., Статья IV: Теория движения ракет . Лондон: В. Никельсон.
- ^ Мур, Уильям ; в Военной академии в Вулвиче (1813). Трактат о движении ракет. К которому добавлен «Очерк военно-морской артиллерии» . Лондон: Дж. И С. Робинсон.
- ^ Бланко, Филипп (ноябрь 2019 г.). «Дискретный, энергичный подход к ракетному двигателю». Физическое образование . 54 (6): 065001. Bibcode : 2019PhyEd..54f5001B . DOI : 10,1088 / 1361-6552 / ab315b .
- ^ Вперед, Роберт Л. «Прозрачный вывод уравнения релятивистской ракеты» (см. Правую часть уравнения 15 на последней странице, где R - отношение начальной массы к конечной, а w - скорость истечения, соответствующая v e в обозначениях этой статьи)
- ^ «Тирания ракетного уравнения» . NASA.gov . Проверено 18 апреля 2016 .
- ^ Пластино, Ангел Р .; Муццио, Хуан К. (1992). «Об использовании и злоупотреблении вторым законом Ньютона для задач переменной массы». Небесная механика и динамическая астрономия . Нидерланды: Kluwer Academic Publishers. 53 (3): 227–232. Bibcode : 1992CeMDA..53..227P . DOI : 10.1007 / BF00052611 . ISSN 0923-2958 . S2CID 122212239 . «Мы можем сделать вывод, подчеркнув, что второй закон Ньютона действителен только для постоянной массы. Когда масса изменяется из-за аккреции или абляции, следует использовать [альтернативное уравнение, явно учитывающее изменение массы]».
- ^ Холлидей; Резник. Физика . 1 . п. 199. ISBN 0-471-03710-9.
Важно отметить, что мы не можем получить общее выражение для второго закона Ньютона для систем с переменной массой, рассматривая массу в F = d P / dt = d ( M v ) как переменную . [...] Мы можем использовать F = d P / dt для анализа систем с переменной массой, только если мы применим его ко всей системе постоянной массы, состоящей из частей, между которыми происходит обмен масс.
[Курсив как в оригинале] - ^ Клеппнер, Даниэль; Роберт Коленков (1973). Введение в механику . Макгроу-Хилл. С. 133–134 . ISBN 0-07-035048-5.
Напомним, что F = d P / dt было установлено для системы, состоящей из определенного набора частиц [. ... I] t важно иметь дело с одним и тем же набором частиц на протяжении временного интервала [. ...] Следовательно, масса системы не может измениться за интересующее время.
Внешние ссылки
- Как вывести уравнение ракеты
- Калькулятор относительности - Изучите уравнения ракеты Циолковского
- График и калькулятор уравнений ракеты Циолковского в WolframAlpha