В геометрии , A одиннадцатиугольник (также undecagon [1] [2] или endecagon [3] ) или 11-угольник является одиннадцать-сторонним многоугольником . (Название hendecagon , от греческого hendeka «одиннадцать» и –gon «угол», часто предпочтительнее гибридного undecagon , первая часть которого образована от латинского undecim «одиннадцать». [4] )
Обычный девятиугольник | |
---|---|
Тип | Правильный многоугольник |
Ребра и вершины | 11 |
Символ Шлефли | {11} |
Диаграмма Кокстера | |
Группа симметрии | Двугранный (D 11 ), порядок 2 × 11 |
Внутренний угол ( градусы ) | ≈147,273 ° |
Двойной многоугольник | Себя |
Характеристики | Выпуклый , циклический , равносторонний , изогональный , изотоксальный |
Обычный девятиугольник
Регулярно одиннадцатиугольник представлен Шлефл символом {11}.
Обычный пятиугольник имеет внутренние углы 147. 27 градусов (= 147градусов). [5] Площадь правильного пятиугольника с длиной стороны a определяется выражением [2]
Так как 11 не является простым числом Ферма , правильный шестигранник не может быть построен с помощью циркуля и линейки . [6] Поскольку 11 не является простым числом Пьерпона , построение правильного пятиугольника все еще невозможно даже с использованием трехсекторального угла .
Можно построить близкие приближения к правильному шестиугольнику. Например, древнегреческие математики оценили длину стороны пятиугольника, вписанного в единичный круг , равной 14/25 единиц. [7]
Двуугольник можно построить точно с помощью конструкции neusis [8], а также с помощью двумерного оригами. [9]
Примерная конструкция
Следующее описание конструкции дано Т. Драммондом с 1800 года: [10]
- « Нарисуйте радиус AB , разделите его пополам в C - с отверстием циркуля, равным половине радиуса, на A и C в качестве центров, описывающих дуги CDI и AD - с расстоянием ID после того, как я описываю дугу DO и нарисуйте линию CO , который будет размером одной стороны шестиугольника, достаточно точным для практики ".
На единичном круге:
- Построенная длина стороны пятиугольника
- Теоретическая длина стороны пятиугольника
- Абсолютная ошибка - если AB составляет 10 м, то эта погрешность составляет примерно 2,3 мм.
Симметрия
Регулярно одиннадцатиугольник имеет DIH 11 симметрии , порядка 22. Так как 11 является простым числом , есть одна подгруппы с двугранной симметрией: DIH 1 , 2 и циклические группы симметрия: Z 11 и Z 1 .
Эти 4 симметрии можно увидеть в 4 различных симметриях на пятиугольнике. Джон Конвей помечает их буквой и групповым порядком. [11] Полная симметрия регулярной формы - r22, и никакая симметрия не помечена как a1 . Двугранные симметрии разделяются в зависимости от того, проходят ли они через вершины ( d для диагонали) или ребра ( p для перпендикуляров), и i, когда линии отражения проходят через ребра и вершины. Циклические симметрии в среднем столбце обозначены буквой g для их центральных порядков вращения.
Симметрия каждой подгруппы допускает одну или несколько степеней свободы для неправильных форм. Только подгруппа g11 не имеет степеней свободы, но ее можно рассматривать как направленные ребра .
Использование в чеканке монет
Канадский доллар монета, то луни , подобна, но не точно, регулярно hendecagonal призмы , [12] , как и индийская 2- рупия монета [13] и несколько других менее распространенных монет других стран. [14] Поперечное сечение луни на самом деле представляет собой пятнадцатигранник Рило . Доллар США Сьюзен Б. Энтони имеет шестиугольный контур по внутренней стороне краев. [15]
Связанные цифры
У четырехугольника один и тот же набор из 11 вершин, что и у четырех правильных диаграмм :
{11/2} | {11/3} | {11/4} | {11/5} |
Смотрите также
- 10-симплекс - можно рассматривать как полный граф в правильной десятиугольной ортогональной проекции
Рекомендации
- ^ Haldeman, Кир Б. (1922), "Строительство регулярного undecagon по секстике кривой", дискуссии, American Mathematical Monthly , 29 (10), DOI : 10,2307 / 2299029 , JSTOR 2299029.
- ^ а б Лумис, Элиас (1859 г.), Элементы плоской и сферической тригонометрии: с их приложениями к измерениям, геодезии и навигации , Харпер, стр. 65.
- ^ Брюэр, Эбенезер Кобхэм (1877), Ошибки речи и правописания , Лондон: W. Tegg and co., P. iv.
- ^ Одиннадцатиугольник - от Wolfram MathWorld
- ^ Макклейн, Кей (1998), Математика Гленко: приложения и связи , Glencoe / McGraw-Hill, стр. 357 , ISBN 9780028330549.
- ^ Какдоказал Гаусс , многоугольник с простым числомсторон p можно построить тогда и только тогда, когда p - 1 является степенью двойки , что неверно для 11. См. Клайн, Моррис (1990), Математическая мысль С древних времен до современности , 2 , Oxford University Press, стр. 753-754, ISBN 9780199840427.
- ^ Хит, сэр Томас Литтл (1921), История греческой математики, Vol. II: От Аристарха до Диофанта , The Clarendon Press, стр. 329.
- ^ Бенджамин, Эллиот; Снайдер К. Математические труды Кембриджского философского общества 156.3 (май 2014 г.): 409-424 .; https://dx.doi.org/10.1017/S0305004113000753
- ^ Лусеро, JC (2018). «Построение правильного четырехугольника из двумерного оригами» . Crux Mathematicorum . 44 : 207–213.
- ^ Т. Драммонд, (1800) ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЙ СОБСТВЕННИК Юных леди и джентльменов, в «Принимая высоты и расстояния ...», Описание конструкции, стр. 15–16 Рис. 40: пролистайте со страницы 69 ... на страницу 76 Часть I. Второе издание , получено 26 марта 2016 г.
- ^ Джон Х. Конвей, Хайди Берджел, Хаим Гудман-Штраус , (2008) Симметрии вещей, ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 20, Обобщенные символы Шафли, Типы симметрии многоугольника, стр. 275-278)
- ^ Моссинхофф, Michael J. (2006), "A $ 1 проблема" (PDF) , American Mathematical Monthly , 113 (5): 385-402, DOI : 10,2307 / 27641947 , JSTOR 27641947
- ^ Cuhaj, George S .; Майкл, Томас (2012), Стандартный каталог мировых монет 2013 г. с 2001 г. по настоящее время , Krause Publications, стр. 402, ISBN 9781440229657.
- ^ Cuhaj, George S .; Майкл, Томас (2011), Unusual World Coins (6-е изд.), Krause Publications, стр. 23, 222, 233, 526, ISBN 9781440217128.
- ↑ Палата представителей США, 1978 , стр. 7.
Внешние ссылки
- Свойства Undecagon (hendecagon) с интерактивной анимацией
- Вайсштейн, Эрик В. «Хендекагон» . MathWorld .
- Обычные хендкагоны
- Правильный пятиугольник, приблизительная конструкция