В математике , логике , философии и формальных систем , A примитивным понятием является понятие , которое не определено в терминах ранее определенных понятий. Часто это мотивируется неформально, обычно апелляцией к интуиции и повседневному опыту. В аксиоматической теории отношения между примитивными понятиями ограничиваются аксиомами . [1] Некоторые авторы называют последнее «определяющим» примитивные понятия одной или несколькими аксиомами, но это может вводить в заблуждение. Формальные теории не могут обойтись без примитивных понятий под угрозой бесконечного регресса (из-за проблемы регресса ).
Например, в современной геометрии точка , линия и содержит некоторые примитивные понятия. Вместо того, чтобы пытаться определить их [2], их взаимодействие управляется (в системе аксиом Гильберта ) аксиомами типа «Для каждых двух точек существует линия, которая содержит их обе». [3]
Подробности
Альфред Тарски объяснил роль примитивных понятий следующим образом: [4]
- Когда мы приступаем к построению данной дисциплины, мы выделяем, прежде всего, некоторую небольшую группу выражений этой дисциплины, которые кажутся нам сразу понятными; выражения в этой группе мы называем ОСНОВНЫМИ ТЕРМИНАМИ или НЕОПРЕДЕЛЕННЫМИ ТЕРМИНАМИ и используем их без объяснения их значения. В то же время мы принимаем принцип: не использовать какие-либо другие выражения рассматриваемой дисциплины, если их значение не было сначала определено с помощью примитивных терминов и таких выражений дисциплины, значения которых были объяснены ранее. Предложение, определяющее таким образом значение термина, называется ОПРЕДЕЛЕНИЕМ, ...
Неизбежный возврат к примитивным представлениям в теории познания объяснил Жильбер де Б. Робинсон :
- Для нематематика часто бывает неожиданностью, что невозможно точно определить все используемые термины. Это не поверхностная проблема, но она лежит в основе всех знаний; необходимо с чего-то начать, а для достижения прогресса необходимо четко указать те элементы и отношения, которые не определены, и те свойства, которые принимаются как должное. [5]
Примеры
Необходимость примитивных понятий иллюстрируется несколькими аксиоматическими основами математики:
- Теория множества : понятие множества является примером примитивного понятия. Как пишет Мэри Тайлс : [6] [] «определение» «множества» - это не столько определение, сколько попытка объяснения чего-то, что получает статус примитивного, неопределенного термина. В качестве доказательства она цитирует Феликса Хаусдорфа : «Множество формируется путем объединения отдельных объектов в единое целое. Множество - это множество, рассматриваемое как единое целое».
- Теория наивных множеств : пустое множество - это примитивное понятие. Утверждать, что он существует, было бы неявной аксиомой .
- Арифметика Пеано : функция-последователь и ноль - примитивные понятия. Поскольку арифметика Пеано полезна в отношении свойств чисел, объекты, которые представляют примитивные понятия, могут не иметь строго никакого значения. [7]
- Аксиоматические системы : примитивные понятия будут зависеть от набора аксиом, выбранных для системы. Алессандро Падоа обсуждал этот выбор на Международном философском конгрессе в Париже в 1900 году. [8] Сами понятия не обязательно должны быть сформулированы; Сьюзан Хаак (1978) пишет: «Иногда говорят, что набор аксиом дает неявное определение его примитивных терминов». [9]
- Евклидова геометрия : согласно системе аксиом Гильберта примитивными понятиями являются точка, линия, плоскость, конгруэнтность, промежуточность и инцидентность .
- Евклидова геометрия : согласно системе аксиом Пеано примитивными понятиями являются точка, сегмент и движение .
- Философия математики : Бертран Рассел в своей книге «Принципы математики» (1903) рассмотрел «неопределимые математические факторы», чтобы обосновать логицизм .
Смотрите также
- Аксиоматическая теория множеств
- Основы геометрии
- Основы математики
- Математическая логика
- Понятие (философия)
- Теория объекта
- Естественный семантический метаязык
Рекомендации
- ^ В более общем плане, в формальной системе правила ограничивают использование примитивных понятий. См., Например, головоломку MU для нелогической формальной системы.
- ↑ Евклид (300 г. до н.э.) все еще давал определения в своих « Началах» , например: «Линия без ширины».
- ^ Эта аксиома может быть оформлена в логике предикатов как " ∀ х 1 , х 2 ∈ P . ∃ у ∈ L . С ( у , х 1 ) ∧ C ( Y , х 2 )", где P , L и C обозначает набор точек, линий и отношение "содержит" соответственно.
- ^ Альфред Тарский (1946) Введение в логику и методологию дедуктивных наук , стр. 118, Oxford University Press .
- ^ Гилберт де Б. Робинсон (1959) Основы геометрии , 4-е изд., Стр. 8, Университет Торонто Пресс
- Перейти ↑ Mary Tiles (2004) The Philosophy of Set Theory , p. 99
- ^ Фил Скотт (2008). «Механизация основ геометрии Гильберта в Изабель (см. Ссылку 16, касательно: взятие Гильберта)» .
- ^ Алессандро Падуа (1900) «Логическое введение в любой дедуктивной теории» в Жан Хейенорта (1967) A Сборника в математической логике, 1879-1931 , Harvard University Press 118-23
- ^ Хаак, Сьюзан (1978), Философия логики , Cambridge University Press , стр. 245, ISBN 9780521293297