Однородный многогранник k  21

В геометрии , A равномерный к ₂₁ многогранник является многогранником в K  + 4 размеров построен из Е _п группы Кокстера , и имеющие только регулярный многогранник грани. Семейство было названо по их символу Кокстера k ₂₁ по его бифуркационной диаграмме Кокстера – Дынкина с единственным кольцом на конце последовательности k- узлов.

Торольд Госсет открыл это семейство как часть своего перечисления в 1900 году регулярных и полуправильных многогранников , поэтому их иногда называют полуправильными фигурами Госсета . Госсет назвал их по размерности от 5 до 9, например 5-ю полурегулярную фигуру .

Члены семьи [ править ]

Последовательность, определенная Госсетом, заканчивается бесконечной мозаикой (заполняющей пространство сотой) в 8-мерном пространстве, называемой решеткой E8 . (Окончательная форма не была открыта Госсетом и называется решеткой E9 : 6 _21. Это мозаика гиперболического 9-пространства, построенного из ∞ 9- симплексных и ∞ 9- ортоплексных граней со всеми вершинами на бесконечности.)

Однозначно семейство начинается как 6-многогранник . Треугольная призма и выпрямляются 5-клетки , включены в начале для полноты. Demipenteract также существует в demihypercube семье.

Они также иногда называют их группой симметрии, как E6 многогранник , хотя есть много равномерных многогранников в пределах Е ₆ симметрии.

Полное семейство полуправильных многогранников Госсета:

1. треугольная призма : −1 ₂₁ (2 треугольника и 3 квадратные грани)
2. выпрямленный 5-элементный : 0 ₂₁ , тетроктаэдрический (5 тетраэдров и 5 октаэдров )
3. demipenteract : 1 ₂₁ , 5-я полурегулярная фигура (16 5- ячеечных и 10 16-ячеечных фасетов)
4. 2 21 многогранник : 2 ₂₁ , 6-я полурегулярная фигура (72 5- симплексных и 27 5- ортоплексных граней)
5. 3 21 многогранник : 3 ₂₁ , 7-я полурегулярная фигура (576 6- симплексных и 126 6- ортоплексных граней)
6. 4 21 многогранник : 4 ₂₁ , 8-я полурегулярная фигура (17280 7- симплексных и 2160 7- ортоплексных граней)
7. 5 21 соты : 5 ₂₁ , 9-я полурегулярная контрольная мозаика Евклидово 8-мерное пространство (∞ 8- симплексных и ∞ 8- ортоплексных граней)
8. 6 21 соты : 6 ₂₁ , мозаичное гиперболическое 9-пространство (∞ 9- симплекс и ∞ 9- ортоплексные фасеты)

Каждый многогранник построен из ( n  - 1) - симплексных и ( n  - 1) - ортоплексных граней.

Ортоплексные грани построены из группы Кокстера D _{n −1} и имеют символ Шлефли {3 ^{1, n −1,1} }, а не регулярный {3 ^{n −2} , 4}. Эта конструкция является следствием двух «фасетных типов». Половина фасеток вокруг каждого гребня ортоплекса прикреплена к другому ортоплексу, а остальные - к симплексу. Напротив, каждый симплексный гребень прикреплен к ортоплексу.

У каждого есть фигура вершины, как и в предыдущей форме. Например, выпрямленная 5-элементная имеет фигуру вершины в виде треугольной призмы .

Элементы [ править ]

Полурегулярные фигуры Госсета

n -ic	к 21	График	Название Диаграмма Кокстера	Грани		Элементы
				( n  - 1) - симплекс {3 n −2 }	( n  - 1) - ортоплекс {3 n −4,1,1 }	Вершины	Края	Лица	Клетки	4-гранный	5 лиц	6 лиц	7 лиц
3-ic	−1 21		Треугольная призма	2 треугольника	3 квадрата	6	9	5
4-ic	0 21		Выпрямленный 5-элементный	5 тетраэдр	5 октаэдр	10	30	30	10
5-ic	1 21		Demipenteract	16 5-элементный	10 16 ячеек	16	80	160	120	26
6-ic	2 21		2 21 многогранник	72 5-симплексов	27 5-ортоплексов	27	216	720	1080	648	99
7-ic	3 21		3 21 многогранник	576 6-симплексов	126 6-ортоплексов	56	756	4032	10080	12096	6048	702
8-ic	4 21		4 21 многогранник	17280 7-симплексов	2160 7-ортоплексов	240	6720	60480	241920	483840	483840	207360	19440
9-ic	5 21		5 21 соты	∞ 8-симплексов	∞ 8-ортоплексов	∞
10-ic	6 21		6 21 соты	∞ 9-симплексов	∞ 9-ортоплексов	∞

См. Также [ править ]

• Равномерное семейство многогранников 2 k1
• Семейство однородных многогранников 1 k2

Ссылки [ править ]

• Т. Госсет : О регулярных и полурегулярных фигурах в пространстве n измерений , Вестник математики, Macmillan, 1900
• Алисия Буль Стотт Геометрическое выведение полуправильного числа из регулярных многогранников и заполнений пространства , Верханделинген из академии Koninklijke van Wetenschappen, единица ширины Амстердам, Eerste Sectie 11,1, Амстердам, 1910
  • Стотт, А.Б. "Геометрический вывод полуправильных из регулярных многогранников и заполнения пространств". Verhandelingen der Koninklijke Akad. Wetenschappen Amsterdam 11, 3–24, 1910.
  • Алисия Буль Стотт, "Геометрическая дедукция полуправильных из правильных многогранников и заполнения пространства", Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam, (eerste sectie), Vol. 11, № 1, стр. 1–24 плюс 3 пластины, 1910 г.
  • Стотт А.Б. 1910. "Геометрическое выведение полурегулярных из регулярных многогранников и заполнения пространств". Verhandelingen der Koninklijke Akad. Wetenschappen Amsterdam
• Схоут, PH, Аналитическая обработка многогранников, регулярно получаемых из правильных многогранников, Вер. der Koninklijke Akad. van Wetenschappen te Amsterdam (eerstie sectie), том 11.5, 1913 г.
• HSM Coxeter : Regular and Semi-Regular Polytopes, Part I, Mathematische Zeitschrift, Springer, Berlin, 1940.
• Н. В. Джонсон : Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. Диссертация, Университет Торонто, 1966 г.
• HSM Coxeter: Regular and Semi-Regular Polytopes, Part II, Mathematische Zeitschrift, Springer, Берлин, 1985.
• HSM Coxeter: регулярные и полурегулярные многогранники, часть III, Mathematische Zeitschrift, Springer, Берлин, 1988
• Дж. Блинд и Р. Блинд, "Полурегулярные многогранники", Commentari Mathematici Helvetici 66 (1991) 150–154
• Джон Х. Конвей , Хайди Берджел, Хаим Гудман-Страсс, Симметрии вещей 2008, ISBN  978-1-56881-220-5 (Глава 26. стр. 411–413: Серия Госсет: n ₂₁ )

Внешние ссылки [ править ]

• PolyGloss v0.05: Фигуры Госсета (Gossetoicosatope)
• Регулярные, полурегулярные, правильные и архимедовы многогранники

v т е Фундаментальные выпуклые регулярные и однородные соты размером 2-9
Космос	Семья	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {n-1}}$	${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{n-1}}$	${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {n-1}}$	${\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {n-1}}$	${\ displaystyle {\ tilde {G}} _ {2}}$/ /${\ displaystyle {\ tilde {F}} _ {4}}$${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {n-1}}$
E 2	Равномерная черепица	{3 [3] }	δ 3	hδ 3	qδ 3	Шестиугольный
E 3	Равномерно выпуклые соты	{3 [4] }	δ 4	hδ 4	qδ 4
E 4	Равномерные 4-соты	{3 [5] }	δ 5	hδ 5	qδ 5	24-ячеечные соты
E 5	Равномерные 5-соты	{3 [6] }	δ 6	hδ 6	qδ 6
E 6	Равномерные 6-соты	{3 [7] }	δ 7	hδ 7	qδ 7	2 22
E 7	Равномерные 7-соты	{3 [8] }	δ 8	hδ 8	qδ 8	1 33 • 3 31
E 8	Равномерные 8-соты	{3 [9] }	δ 9	hδ 9	qδ 9	1 52 • 2 51 • 5 21
E 9	Равномерные 9-соты	{3 [10] }	δ 10	hδ 10	qδ 10
E n -1	Uniform ( n -1) - соты	{3 [n] }	δ n	hδ n	qδ n	1 к2 • 2 к1 • к 21