Векторное поле
В векторном исчислении и физике векторное поле — это присвоение вектора каждой точке подмножества пространства . [1] Например, векторное поле на плоскости можно представить как набор стрелок с заданной величиной и направлением, каждая из которых прикреплена к точке на плоскости. Векторные поля часто используются для моделирования, например, скорости и направления движения жидкости в пространстве или силы и направления некоторой силы , такой как магнитная или гравитационная , при ее изменении от одной точки к другой.
Элементы дифференциального и интегрального исчисления естественным образом распространяются на векторные поля. Когда векторное поле представляет силу , линейный интеграл векторного поля представляет собой работу , совершаемую силой, движущейся вдоль пути, и при этой интерпретации сохранение энергии проявляется как частный случай основной теоремы исчисления . Векторные поля можно с пользой рассматривать как представляющие скорость движущегося потока в пространстве, и эта физическая интуиция приводит к таким понятиям, как дивергенция (которая представляет скорость изменения объема потока) и вихрь .(что представляет собой вращение потока).
В координатах векторное поле на области в n -мерном евклидовом пространстве может быть представлено как векторнозначная функция , которая ставит в соответствие n -кортеж действительных чисел каждой точке области. Это представление векторного поля зависит от системы координат, и существует четко определенный закон преобразования при переходе от одной системы координат к другой. Векторные поля часто обсуждаются в открытых подмножествах евклидова пространства, но также имеют смысл и в других подмножествах, таких как поверхности , где они связывают стрелку, касающуюся поверхности в каждой точке ( касательный вектор ).
В более общем случае векторные поля определяются на дифференцируемых многообразиях , которые представляют собой пространства, которые выглядят как евклидово пространство в малых масштабах, но могут иметь более сложную структуру в больших масштабах. В этой постановке векторное поле дает касательный вектор в каждой точке многообразия (то есть сечение касательного расслоения к многообразию). Векторные поля являются одним из видов тензорных полей .
Учитывая подмножество S в R n , векторное поле представлено вектор-функцией V : S → R n в стандартных декартовых координатах ( x 1 , …, x n ) . Если каждая компонента V непрерывна, то V является непрерывным векторным полем и, в более общем смысле , V является векторным полем C k , если каждая компонента V непрерывно дифференцируема k раз .
Векторное поле можно визуализировать как назначение вектора отдельным точкам в n -мерном пространстве. [1]
