Vorlesungen über Zahlentheorie (немецкий язык для лекций по теории чисел ) - это название нескольких различных учебников теории чисел . Самый известный из них был написан Питером Густавом Леженом Дирихле и Ричардом Дедекиндом и опубликован в 1863 году. Другие были написаны Леопольдом Кронекером , Эдмундом Ландау и Гельмутом Хассе . Все они охватывают элементарную теорию чисел, теорему Дирихле, квадратичные поля и формы, а иногда и более сложные темы.
Книга Дирихле и Дедекинда
Основанные на курсе теории чисел Дирихле в Геттингенском университете , Vorlesungen были отредактированы Дедекиндом и опубликованы после смерти Лежена Дирихле. Дедекинд добавил несколько приложений к Vorlesungen , в которых он собрал дальнейшие результаты Лежена Дирихле, а также развил свои собственные оригинальные математические идеи.
Сфера
Vorlesungen охватывают темы в элементарной теории чисел, теории алгебраических чисел и аналитической теории чисел , включая модульную арифметику , квадратичные сравнения, квадратичную взаимность и бинарные квадратичные формы .
СОДЕРЖАНИЕ
Содержание перевода Vorlesungen, сделанного профессором Джоном Стиллвеллом в 1999 г. , выглядит следующим образом.
- Глава 1. О делимости чисел.
- Глава 2. О конгруэнтности чисел.
- Глава 3. О квадратичных вычетах.
- Глава 4. О квадратичных формах.
- Глава 5. Определение числа классов двоичных квадратичных форм.
- Приложение I. Некоторые теоремы из теории деления окружности Гаусса.
- Дополнение II. О предельном значении бесконечного ряда
- Дополнение III. Геометрическая теорема
- Дополнение IV. Роды квадратичных форм
- Приложение V. Остаточная мощность для композитных модулей
- Дополнение VI. Простые числа в арифметических прогрессиях
- Дополнение VII. Некоторые теоремы из теории деления окружности
- Дополнение VIII. Об уравнении Пелла
- Дополнение IX. Сходимость и непрерывность некоторого бесконечного ряда
Этот перевод не включает Приложения X и XI Дедекинда, в которых он начинает развивать теорию идеалов .
Немецкие названия приложений X и XI:
- Приложение X: Über die Composition der binären quadratische Formen (О композиции бинарных квадратичных форм)
- Приложение XI: Über die Theorie der ganzen algebraischen Zahlen (К теории целых алгебраических чисел)
Главы с 1 по 4 охватывают ту же тему, что и « Disquisitiones Arithmeticae» Гаусса , а Дедекинд добавил сноски, в которых делается конкретная перекрестная ссылка на соответствующие разделы « Disquisitiones» . Эти главы можно рассматривать как краткое изложение существующих знаний, хотя Дирихле упрощает изложение Гаусса и в некоторых местах вводит свои собственные доказательства.
В главе 5 содержится вывод Дирихле формулы числа классов для действительных и мнимых квадратичных полей . Хотя другие математики предположили аналогичные формулы, Дирихле дал первое строгое доказательство.
Приложение VI содержит доказательство Дирихле, что арифметическая прогрессия вида a + nd, где a и d взаимно просты, содержит бесконечное число простых чисел.
Важность
Vorlesungen можно рассматривать как водораздел между классической теории чисел Ферма , Якоби и Гаусса и современной теории чисел дедекиндовым, Римана и Гильберта . Дирихле не признает явно концепцию группы, которая является центральной для современной алгебры , но многие из его доказательств демонстрируют неявное понимание теории групп.
Vorlesungen содержит два ключевых результатов в теории чисел , которые были впервые доказаны Дирихлем. Первая из них - это формулы числа классов для двоичных квадратичных форм. Второй - это доказательство того, что арифметические прогрессии содержат бесконечное число простых чисел (известное как теорема Дирихле ); это доказательство вводит L-ряд Дирихле . Эти результаты являются важными вехами в развитии аналитической теории чисел.
Книга Кронекера
Книга Леопольда Кронекера была впервые опубликована в 1901 году в двух частях и переиздана Спрингером в 1978 году. Она охватывает элементарную и алгебраическую теорию чисел, включая теорему Дирихле.
Книга Ландау
Книга Эдмунда Ландау « Vorlesungen über Zahlentheorie» была впервые опубликована в виде трехтомного набора в 1927 году. Первая половина тома 1 была опубликована как « Vorlesungen über Zahlentheorie». Aus der elementare Zahlentheorie в 1950 году с английским переводом в 1958 году под заголовком « Элементарная теория чисел» . В 1969 году «Челси» переиздал вторую половину тома 1 вместе с томами 2 и 3 как единый том.
Том 1 по элементарной и аддитивной теории чисел включает такие темы, как теорема Дирихле, решето Бруна, бинарные квадратичные формы, гипотеза Гольдбаха, проблема Варинга и работы Харди – Литтлвуда по сингулярным рядам. Том 2 охватывает темы аналитической теории чисел, такие как оценки ошибки в теореме о простых числах, и темы геометрической теории чисел, такие как оценка числа точек решетки. Том 3 охватывает алгебраическую теорию чисел, включая теорию идеалов, поля квадратичных чисел и приложения к последней теореме Ферма. Многие из результатов, описанных Ландау, в то время были современными, но с тех пор их заменили более сильные результаты.
Книга Хассе
Книга Гельмута Хассе « Vorlesungen über Zahlentheorie» была опубликована в 1950 году и отличается от его книги « Zahlentheorie» и является более элементарной . Он охватывает элементарную теорию чисел, теорему Дирихле и квадратичные поля.
Рекомендации
- П.Г. Лежен Дирихле, Р. Дедекинд тр. Джон Стиллвелл: Лекции по теории чисел , Американское математическое общество, 1999 ISBN 0-8218-2017-6 В Göttinger Digitalisierungszentrum есть отсканированная копия текста 2-го издания (на немецком языке), опубликованного в 1871 г., содержащего приложения I – X. Приложение XI можно найти в третьем томе полного собрания сочинений Дедекинда также в Göttinger Digitalisierungszentrum . 4-е издание 1894 года, которое содержит все приложения, включая XI Дедекинда, доступно в Интернет-архиве .
- Хассе, Гельмут (1950), Vorlesungen über Zahlentheorie , Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, LIX , Берлин-Геттинген-Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN 978-3-642-88679-9, Руководство по ремонту 0051844
- Кронекер, Леопольд (1978) [1901], Vorlesungen über Zahlentheorie , Берлин-Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 3-540-08277-8, Руководство по ремонту 0529431
- Ландау, Эдмунд (1958) [1927], Элементарная теория чисел. , Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Chelsea Publishing Co., MR 0092794
- Ландау, Эдмунд (1969) [1927], Vorlesungen über Zahlentheorie. Эрстер Бэнд, цвайтер Тейл; zweiter Band; Дриттер Band. , Нью-Йорк: Chelsea Publishing Co., MR 0250844.