Вигнер-Зейтец , названный в честь Eugene Вигнера и Зейца , является примитивной клеткой , которая была построена путем применения разложения Вороного в кристаллической решетку . Он используется при изучении кристаллических материалов в физике твердого тела .
Уникальное свойство кристалла состоит в том, что его атомы расположены в виде регулярного трехмерного массива, называемого решеткой . Все свойства, приписываемые кристаллическим материалам, проистекают из этой высокоупорядоченной структуры. Такая структура демонстрирует дискретную трансляционную симметрию . Чтобы смоделировать и изучить такую периодическую систему, нужна математическая «ручка» для описания симметрии и, следовательно, заключения о свойствах материала, вытекающих из этой симметрии. Ячейка Вигнера – Зейтца является средством достижения этого.
Ячейка Вигнера – Зейтца является примером примитивной ячейки , которая представляет собой элементарную ячейку, содержащую ровно одну точку решетки. Для любой данной решетки существует бесконечное количество возможных примитивных ячеек. Однако для любой заданной решетки существует только одна ячейка Вигнера – Зейтца. Это геометрическое место точек в пространстве, которые ближе к этой точке решетки, чем к любой из других точек решетки.
Ячейка Вигнера – Зейтца, как и любая примитивная ячейка, является фундаментальной областью дискретной трансляционной симметрии решетки. Примитивная ячейка обратной решетки в импульсном пространстве называется зоной Бриллюэна .
Обзор
Задний план
Концепция разложения Вороного была исследована Петером Густавом Леженом Дирихле , что привело к названию области Дирихле . Дополнительный вклад внесли Евграф Федоров ( параллелоэдр Федорова ), Георгий Вороной ( многогранник Вороного ), [1] [2] и Пол Ниггли ( Wirkungsbereich ). [3]
Приложение к физике конденсированного состояния было впервые предложено Юджином Вигнером и Фредериком Зейтцем в статье 1933 года, где оно использовалось для решения уравнения Шредингера для свободных электронов в элементарном натрии . [4] Они аппроксимировали форму ячейки Вигнера – Зейтца в натрии, которая представляет собой усеченный октаэдр, как сферу равного объема, и решили уравнение Шредингера точно с использованием периодических граничных условий , которые требуютна поверхности сферы. Аналогичный расчет, который также учитывал несферическую природу ячейки Вигнера – Зейтца, был проведен позже Джоном С. Слейтером . [5]
Есть только пять топологически различных многогранников, которые покрывают трехмерное пространство , ℝ 3 . Они называются параллелоэдрами . Они представляют математический интерес, например, в высших измерениях. [6] Эти пять паралеллоэдров могут быть использованы для классификации трехмерных решеток с использованием концепции проективной плоскости, предложенной Джоном Хортоном Конвеем и Нилом Слоаном . [7] Однако, в то время как топологическая классификация рассматривает любое аффинное преобразование как ведущее к одному и тому же классу, более конкретная классификация приводит к 24 различным классам многогранников Вороного с параллельными ребрами, которые образуют плитку. [3] Например, прямоугольный кубоид , правая квадратная призма и куб принадлежат к одному топологическому классу, но отличаются разным соотношением сторон. Эта классификация 24 типов многогранников Вороного для решеток Браве была впервые предложена Борисом Делоне . [8]
Определение
Ячейка Вигнера – Зейтца вокруг точки решетки определяется как геометрическое место точек в пространстве, которые находятся ближе к этой точке решетки, чем к любой из других точек решетки. [9]
Математически можно показать, что ячейка Вигнера – Зейтца является примитивной ячейкой . Это означает, что ячейка охватывает все прямое пространство, не оставляя зазоров или отверстий, свойство, известное как тесселяция .
Построение ячейки
Общая математическая концепция, воплощенная в ячейке Вигнера – Зейтца, чаще называется ячейкой Вороного , а разбиение плоскости на эти ячейки для данного набора точечных узлов известно как диаграмма Вороного .
Ячейку можно выбрать, сначала выбрав точку решетки . После выбора точки ко всем ближайшим точкам решетки проводятся линии. В средней точке каждой линии проводится другая линия, перпендикулярная каждой из первых линий.
В случае трехмерной решетки перпендикулярная плоскость проводится в средней точке линий между точками решетки. При использовании этого метода наименьшая площадь (или объем) заключена таким образом и называется примитивной ячейкой Вигнера – Зейтца . Вся область (или пространство) внутри решетки будет заполнено примитивной ячейкой этого типа и не будет оставлять зазоров.
Соседние точки решетки постоянно исследуются до тех пор, пока ограниченная площадь или объем не станет правильной площадью или объемом для примитивной ячейки . В качестве альтернативы, если базисные векторы решетки сокращаются с использованием сокращения решетки, необходимо использовать только заданное количество точек решетки. [10] В двух измерениях необходимо использовать только точки решетки, которые составляют 4 элементарные ячейки, имеющие общую вершину с началом координат. В трехмерном пространстве должны использоваться только точки решетки, составляющие 8 элементарных ячеек, имеющих общую вершину с началом координат.
Топологический класс (аффинный эквивалентный параллелоэдр ) | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|
Усеченный октаэдр | Удлиненный додекаэдр | Ромбический додекаэдр | Шестиугольная призма | Куб | ||
Решетка Браве | Примитивная кубическая | Любой | ||||
Гранецентрированная кубическая | Любой | |||||
Телоцентрированный кубический | Любой | |||||
Примитивный шестиугольник | Любой | |||||
Первобытный ромбоэдр | ||||||
Первобытный четырехугольник | Любой | |||||
Телоцентрированный тетрагональный | ||||||
Примитивный ромбический | Любой | |||||
Орторомбическая с центром в основании | Любой | |||||
Орторомбическая гранецентрированная | Любой | |||||
Телоцентрированный ромбический | ||||||
Примитивная моноклиника | Любой | |||||
Базоцентрированная моноклиника | , | , | ||||
, | ||||||
Примитивная триклиника | где | один раз | где |
Композитные решетки
Для составных решеток (кристаллов, которые имеют более одного вектора в своей основе ) каждая отдельная точка решетки представляет собой несколько атомов. Мы можем разбить каждую ячейку Вигнера – Зейтца на подъячейки путем дальнейшего разложения Вороного по ближайшему атому, а не по ближайшей точке решетки. [12] Например, кристаллическая структура алмаза содержит двухатомную основу. В алмазе атомы углерода имеют tetraheral зр 3 склеивание , но так как тетраэдры не плитка пространство , разложение Вороного алмаза кристаллической структуры на самом деле тройнозубые акулы усеченная четырехгранная сот . [13] Другой пример - применение разложения Вороного к атомам в фазах A15 , которое образует полиэдрическое приближение структуры Вира – Фелана .
Симметрия
Ячейка Вигнера – Зейтца всегда имеет ту же точечную симметрию, что и основная решетка Браве . [9] Например, куб , усеченный октаэдр и ромбический додекаэдр имеют точечную симметрию O h , поскольку соответствующие решетки Браве, используемые для их создания, все принадлежат системе кубических решеток , которая имеет точечную симметрию O h .
Зона Бриллюэна
На практике сама ячейка Вигнера – Зейтца на самом деле редко используется для описания прямого пространства , вместо этого обычно используются обычные элементарные ячейки . Однако такое же разложение чрезвычайно важно применительно к обратному пространству . Ячейка Вигнера – Зейтца в обратном пространстве называется зоной Бриллюэна , которая содержит информацию о том, будет ли материал проводником , полупроводником или изолятором .
Смотрите также
- Триангуляция Делоне
- Координационная геометрия
- Теория кристаллического поля
Рекомендации
- ^ Вороной, Жорж (1908-07-01). «Новые приложения непрерывных параметров в теории квадратичных форм. Deuxième mémoire. Recherches sur les parallélloèdres primitifs». Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal) (на французском языке). Walter de Gruyter GmbH. 1908 (134): 198–287. DOI : 10,1515 / crll.1908.134.198 . ISSN 0075-4102 .
- ^ Вороной, Жорж (1909-07-01). «Новые приложения непрерывных параметров в теории квадратичных форм. Deuxième Mémoire. Recherches sur les paralléloèdres primitifs». Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal) (на французском языке). Walter de Gruyter GmbH. 1909 (136): 67–182. DOI : 10,1515 / crll.1909.136.67 . ISSN 0075-4102 .
- ^ а б в Bohm, J .; Heimann, RB; Бом, М. (1996). "Многогранники Вороного: полезный инструмент для определения симметрии и класса Браве кристаллических решеток". Crystal Research and Technology . Вайли. 31 (8): 1069–1075. DOI : 10.1002 / crat.2170310816 . ISSN 0232-1300 .
- ^ Э. Вигнер ; Ф. Зейтц (15 мая 1933 г.). «О строении металлического натрия». Физический обзор . 43 (10): 804. DOI : 10.1103 / PhysRev.43.804 . CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
- ^ Слейтер, JC (1934-06-01). «Электронные энергетические зоны в металлах». Физический обзор . Американское физическое общество (APS). 45 (11): 794–801. DOI : 10.1103 / Physrev.45.794 . ISSN 0031-899X .
- ^ Гарбер, AI (2012). «Поясное расстояние между гранями пространственно-заполняющих зонотопов». Математические заметки . Плеядес Паблишинг Лтд. 92 (3–4): 345–355. arXiv : 1010,1698 . DOI : 10.1134 / s0001434612090064 . ISSN 0001-4346 .
- ^ Остин, Дэйв (2011). "Пять параллелоэдров Федорова" . Американское математическое общество. Архивировано из оригинала на 2019-01-03.
- ^ Делоне, BN ; Галиулин Р.В.; Штогрин М.И. (1975). «О решетках типа Браве». Журнал советской математики . ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 4 (1): 79–156. DOI : 10.1007 / bf01084661 . ISSN 0090-4104 .
- ^ а б в г Нил У. Эшкрофт ; Н. Дэвид Мермин (1976). Физика твердого тела . п. 73–75 . ISBN 978-0030839931. CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
- ^ Харт, Гас LW; Йоргенсен, Джереми Дж; Морган, Wiley S; Форкэйд, Родни В. (26.06.2019). «Надежный алгоритм для генерации k-точечной сетки и уменьшения симметрии» . Журнал физических коммуникаций . 3 (6): 065009. DOI : 10,1088 / 2399-6528 / ab2937 . ISSN 2399-6528 .
- ^ Лулек, Т; Флорек, Вт; Валцерц, S (1995). «Классы Браве, клетки Воноро, символы Делоне». Симметрия и структурные свойства конденсированных сред (PDF) . World Scientific. С. 279–316. DOI : 10,1142 / 9789814533508 . ISBN 978-981-02-2059-4.
- ^ Джузеппе Гроссо; Джузеппе Пастори Парравичини (20 марта 2000 г.). Физика твердого тела . п. 54. ISBN 978-0123044600.
- ^ Конвей, Джон Х .; Берджел, Хайди; Гудман-Штраус, Хаим (2008). Симметрии вещей . п. 332. ISBN. 978-1568812205.