Площадь

Площадь
Общие символы	А
единица СИ	Квадратный метр [м 2 ]
В основных единицах СИ	1  м 2
Измерение	${\ Displaystyle {\ mathsf {L}} ^ {2}}$

Общая площадь этих трех фигур составляет примерно 15,57 квадрата .

Площадь — это величина , которая выражает протяженность двумерной области , формы или плоской пластинки на плоскости . Площадь поверхности является ее аналогом на двумерной поверхности трехмерного объекта . Площадь можно понимать как количество материала заданной толщины, необходимое для изготовления модели формы, или количество краски , необходимое для покрытия поверхности одним слоем. ^[1] Это двумерный аналог длины кривой ( одномерное понятие) илиобъем твердого тела (трехмерное понятие).

Площадь фигуры можно измерить, сравнив фигуру с квадратами фиксированного размера. ^[2] В Международной системе единиц (СИ) стандартной единицей площади является квадратный метр (обозначается как м ² ), который представляет собой площадь квадрата со стороной в один метр . ^[3] Фигура площадью три квадратных метра будет иметь ту же площадь, что и три таких квадрата. В математике площадь единичного квадрата равна единице, а площадь любой другой формы или поверхности представляет собой безразмерное действительное число .

Этот квадрат и этот диск имеют одинаковую площадь (см. квадратуру круга ).

Существует несколько хорошо известных формул для площадей простых фигур, таких как треугольники , прямоугольники и круги . Используя эти формулы, можно найти площадь любого многоугольника , разделив многоугольник на треугольники . ^[4] Для фигур с криволинейной границей обычно требуется вычисление площади . Действительно, проблема определения площади плоских фигур была основным мотивом исторического развития исчисления . ^[5]

Для твердого тела, такого как сфера , конус или цилиндр, площадь его граничной поверхности называется площадью поверхности . ^{[1] [6] [7]} Формулы для площади поверхности простых форм были вычислены древними греками , но вычисление площади поверхности более сложной формы обычно требует многовариантного исчисления .

Площадь играет важную роль в современной математике. Помимо очевидной важности в геометрии и исчислении, площадь связана с определением определителей в линейной алгебре и является основным свойством поверхностей в дифференциальной геометрии . ^[8] В анализе площадь подмножества плоскости определяется с помощью меры Лебега , ^[9] хотя не каждое подмножество измеримо. ^[10] Вообще площадь в высшей математике рассматривается как частный случай объема для двумерных областей. ^[1]

Площадь можно определить с помощью аксиом, определив ее как функцию набора определенных плоских фигур к набору действительных чисел. Можно доказать, что такая функция существует.

Формальное определение

Подход к определению того, что подразумевается под «площадью», основан на аксиомах . «Площадь» может быть определена как функция от набора M специальных видов плоских фигур (называемых измеримыми множествами) до множества действительных чисел, которая удовлетворяет следующим свойствам: ^[11]

• Для всех S в M a ( S ) ≥ 0.
• Если S и T принадлежат M , то и S ∪ T и S ∩ T , а также a ( S ∪ T ) = a ( S ) + a ( T ) − a ( S ∩ T ).
• Если S и T находятся в M с S ⊆ T , то T − S находится в M и a ( T − S ) = a ( T ) − a ( S ).
• Если множество S находится в M и S конгруэнтно T , то T также находится в M и a ( S ) = a ( T ).
• Каждый прямоугольник R находится в M . Если прямоугольник имеет длину h и ширину k , то a ( R ) = hk .
• Пусть Q — множество, заключенное между двумя ступенчатыми областями S и T . Ступенчатая область образована конечным объединением соседних прямоугольников, опирающихся на общее основание, т.е. S ⊆ Q ⊆ T . Если существует уникальное число c такое, что a ( S ) ≤ c ≤ a ( T ) для всех таких ступенчатых областей S и T , то a ( Q ) = c .

Можно доказать, что такая функция площади действительно существует. ^[12]

Единицы

Каждой единице длины соответствует единица площади, а именно площадь квадрата с данной длиной стороны. Таким образом, площадь может быть измерена в квадратных метрах (м ² ), квадратных сантиметрах (см ² ), квадратных миллиметрах (мм ² ), квадратных километрах (км ² ), квадратных футах (фут ² ), квадратных ярдах (ярд ² ), квадратных милях . (ми ² ) и так далее. ^[13] Алгебраически эти единицы можно рассматривать как квадраты соответствующих единиц длины.

Единицей площади в СИ является квадратный метр, который считается производной единицей СИ . ^[3]

Конверсии

Вычисление площади квадрата, длина и ширина которого равны 1 метру, будет:

1 метр × 1 метр = 1 м ²

и поэтому прямоугольник с разными сторонами (скажем, длиной 3 метра и шириной 2 метра) будет иметь площадь в квадратных единицах, которую можно рассчитать как:

3 метра × 2 метра = 6 м ² . Это эквивалентно 6 миллионам квадратных миллиметров. Другие полезные преобразования:

• 1 квадратный километр = 1 000 000 квадратных метров
• 1 квадратный метр = 10 000 квадратных сантиметров = 1 000 000 квадратных миллиметров
• 1 квадратный сантиметр = 100 квадратных миллиметров.

Неметрические единицы

В неметрических единицах преобразование между двумя квадратными единицами равно квадрату преобразования между соответствующими единицами длины.

1 фут = 12 дюймов ,

соотношение между квадратными футами и квадратными дюймами

1 квадратный фут = 144 квадратных дюйма,

где 144 = 12 ² = 12 × 12. Аналогично:

• 1 квадратный ярд = 9 квадратных футов
• 1 квадратная миля = 3 097 600 квадратных ярдов = 27 878 ​​400 квадратных футов.

Кроме того, коэффициенты преобразования включают в себя:

• 1 квадратный дюйм = 6,4516 квадратных сантиметров
• 1 квадратный фут = 0,092 903 04 квадратных метра
• 1 квадратный ярд = 0,836 127 36 квадратных метров .
• 1 квадратная миля = 2,589 988 110 336 квадратных километров .

Другие единицы, включая исторические

Есть несколько других общих единиц площади. Аре был первоначальной единицей площади в метрической системе с :

• 1 акр = 100 квадратных метров

Хотя площадь вышла из употребления, гектар по-прежнему широко используется для измерения земли: ^[13]

• 1 гектар = 100 акров = 10 000 квадратных метров = 0,01 квадратных километра

Другие необычные метрические единицы площади включают тетраду , гектаду и мириады .

Акр также обычно используется для измерения площади земли, где

• 1 акр = 4840 квадратных ярдов = 43 560 квадратных футов.

Акр составляет примерно 40% гектара.

В атомном масштабе площадь измеряется в амбарах , так что: ^[13]

• 1 сарай = ¹⁰⁻²⁸ квадратных метров.

Сарай обычно используется для описания площади поперечного сечения взаимодействия в ядерной физике . ^[13]

В Индии ,

• 20 дурки = 1 дур
• 20 дур ​​= 1 кхатха
• 20 кхат = 1 бигха
• 32 кхата = 1 акр

История

Площадь круга

В 5 веке до нашей эры Гиппократ Хиосский был первым, кто показал, что площадь диска (область, заключенная в круг) пропорциональна квадрату его диаметра, как часть его квадратуры гиппократовской луны [ ^{14] . ]} , но не определил константу пропорциональности . Евдокс Книдский , также в V веке до нашей эры, также обнаружил, что площадь диска пропорциональна квадрату его радиуса. ^[15]

Впоследствии в первой книге « Элементов» Евклида речь шла о равенстве площадей двухмерных фигур. Математик Архимед использовал инструменты евклидовой геометрии , чтобы показать, что площадь внутри круга равна площади прямоугольного треугольника , длина основания которого равна длине окружности, а высота равна радиусу круга, в своей книге « Измерение круга» . (Длина окружности равна 2 π r , а площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, что дает площадь π r ² для диска.) Архимед аппроксимировал значение π (и, следовательно, площадь круга единичного радиуса ) с участиемего метод удвоения , в котором он вписал правильный треугольник в круг и отметил его площадь, затем удвоил количество сторон, чтобы получить правильный шестиугольник , затем многократно удвоил количество сторон по мере того, как площадь многоугольника становилась все ближе и ближе к площади многоугольника. круг (и сделал то же самое с описанными многоугольниками ).

Швейцарский ученый Иоганн Генрих Ламберт в 1761 году доказал, что π , отношение площади круга к его квадрату радиуса, иррационально , то есть не равно частному любых двух целых чисел. ^[16] В 1794 году французский математик Адриан-Мари Лежандр доказал, что число π ² иррационально; это также доказывает, что π иррационально. ^[17] В 1882 году немецкий математик Фердинанд фон Линдеманн доказал, что число π трансцендентно (не является решением любого полиномиального уравнения с рациональными коэффициентами), подтвердив гипотезу Лежандра и Эйлера. ^{[16]: п. 196}

Площадь треугольника

Герон (или Герой) Александрийский нашел то, что известно как формула Герона для площади треугольника с точки зрения его сторон, и доказательство можно найти в его книге « Метрика », написанной около 60 г. н.э. Было высказано предположение, что Архимед знал эту формулу более двух столетий назад, ^[18] и, поскольку Метрика представляет собой собрание математических знаний, доступных в древнем мире, возможно, что формула предшествует ссылке, данной в этой работе. ^[19]

В 499 году Арьябхата , великий математик - астроном классической эпохи индийской математики и индийской астрономии , выразил площадь треугольника как половину основания, умноженного на высоту в Арьябхатия (раздел 2.6).

Формула, эквивалентная формуле Герона, была открыта китайцами независимо от греков. Она была опубликована в 1247 году в Шушу Цзючжан (« Математический трактат в девяти разделах »), написанном Цинь Цзюшао .

Четырехугольник

В 7 веке н.э. Брахмагупта разработал формулу, теперь известную как формула Брахмагупты , для площади вписанного в окружность четырехугольника ( четырехугольника , вписанного в круг) с точки зрения его сторон. В 1842 году немецкие математики Карл Антон Бретшнайдер и Карл Георг Кристиан фон Штаудт независимо друг от друга нашли формулу, известную как формула Бретшнайдера , для площади любого четырехугольника.

Общая площадь полигона

Разработка декартовых координат Рене Декартом в 17 веке позволила разработать геодезическую формулу площади любого многоугольника с известным расположением вершин Гауссом в 19 ​​веке.

Площади, определенные с помощью расчета

Развитие интегрального исчисления в конце 17 века предоставило инструменты, которые впоследствии можно было использовать для вычисления более сложных областей, таких как площадь эллипса и площади поверхности различных искривленных трехмерных объектов.

Формулы площади

Формулы полигонов

Для несамопересекающегося ( простого ) многоугольника, декартовы координаты ( i =0, 1, ..., n -1) n вершин которого известны, площадь определяется по формуле геодезиста : ^[20]${\ Displaystyle (х_ {я}, у_ {я})}$

${\ displaystyle A = {\ frac {1} {2}} {\ Biggl \ vert} \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} (x_ {i} y_ {i + 1} -x_ {i +1}y_{i}){\Biggr\vert}}$

где, когда i = n -1, тогда i +1 выражается как модуль n и, таким образом, относится к 0.

прямоугольники

Наиболее простой формулой площади является формула площади прямоугольника . Для прямоугольника с длиной l и шириной w формула для площади: ^{[2] [21]}

A = lw  (прямоугольник).

То есть площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину. В частном случае, поскольку l = w в случае квадрата, площадь квадрата со стороной s определяется по формуле: ^{[1] [2] [22]}

А = s ²  (квадрат).

Формула площади прямоугольника следует непосредственно из основных свойств площади и иногда принимается за определение или аксиому . С другой стороны, если геометрия была разработана до арифметики , эту формулу можно использовать для определения умножения действительных чисел .

Рассечение, параллелограммы и треугольники

Большинство других простых формул для площади следуют из метода рассечения . Это включает в себя разрезание фигуры на части, площадь которых в сумме должна равняться площади исходной формы.

Например, любой параллелограмм можно разделить на трапецию и прямоугольный треугольник , как показано на рисунке слева. Если треугольник переместить на другую сторону трапеции, то получившаяся фигура будет прямоугольником. Отсюда следует, что площадь параллелограмма равна площади прямоугольника: ^[2]

А = bh  (параллелограмм).

Однако тот же параллелограмм можно также разрезать по диагонали на два конгруэнтных треугольника, как показано на рисунке справа. Отсюда следует, что площадь каждого треугольника равна половине площади параллелограмма: ^[2]

${\ displaystyle A = {\ frac {1} {2}} bh}$  (треугольник).

Аналогичные рассуждения можно использовать для нахождения формул площади трапеции ^[23] , а также более сложных многоугольников . ^[24]

Площадь изогнутых форм

Круги

Формула площади круга (более правильно называемая площадью окружности или площадью диска ) основана на аналогичном методе. Имея окружность радиуса r , можно разделить окружность на сектора , как показано на рисунке справа. Каждый сектор имеет примерно треугольную форму, и сектора можно переставлять так, чтобы получился примерный параллелограмм. Высота этого параллелограмма равна r , а ширина равна половине окружности круга, или π r . Таким образом, общая площадь круга равна π r ² : ^[2]

A = π r ²  (круг).

Хотя разрез, используемый в этой формуле, является приблизительным, ошибка становится все меньше и меньше по мере того, как круг разбивается на все больше и больше секторов. Предел площадей приблизительных параллелограммов точно равен π r 2 ^, что является площадью круга. ^[25]

Этот аргумент на самом деле представляет собой простое применение идей исчисления . В древние времена метод исчерпания аналогичным образом использовался для нахождения площади круга, и теперь этот метод признан предшественником интегрального исчисления . Используя современные методы, площадь круга можно вычислить с помощью определенного интеграла :

${\ displaystyle A \; = \; 2 \ int _ {-r} ^ {r} {\ sqrt {r ^ {2} -x ^ {2}}} \, dx \; = \; \ pi r ^ {2}.}$

Эллипсы

Формула площади, заключенной в эллипс , связана с формулой круга; для эллипса с большой и малой полуосями x и y формула такова: ^[2]

${\ Displaystyle А = \ пи ху.}$

Площадь поверхности

Большинство основных формул для площади поверхности можно получить, разрезая поверхности и сглаживая их. Например, если боковую поверхность цилиндра (или любой призмы ) разрезать вдоль, поверхность можно расплющить в прямоугольник. Точно так же, если сделать разрез вдоль стороны конуса , боковую поверхность можно разгладить в сектор круга и вычислить полученную площадь.

Формулу площади поверхности сферы вывести сложнее: поскольку сфера имеет ненулевую гауссову кривизну , ее нельзя расплющить. Формула площади поверхности сферы была впервые получена Архимедом в его работе «О сфере и цилиндре » . Формула: ^[6]

А = 4 πr ²  (сфера),

где r — радиус сферы. Как и в случае с формулой площади круга, любой вывод этой формулы по своей сути использует методы, подобные исчислению .

Общие формулы

Площади двумерных фигур

Площадь треугольника ${\ displaystyle A = {\ tfrac {b \ cdot h} {2}}}$

• Треугольник : (где B — любая сторона, а h — расстояние от линии, на которой лежит B , до другой вершины треугольника) . Эту формулу можно использовать, если известна высота h . Если длины трех сторон известны, то можно использовать формулу Герона : где a , b , c — стороны треугольника, а — половина его периметра. ^[2] Если заданы угол и две его стороны, площадь равна где C — заданный угол, а a и b${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}Bh}$${\displaystyle {\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}$${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ab\sin(C)}$являются его включенными сторонами. ^[2] Если треугольник изображен на координатной плоскости, можно использовать матрицу, упрощенную до абсолютного значения . Эта формула также известна как формула шнурка и представляет собой простой способ найти площадь координатного треугольника путем подстановки 3 точек (x ₁ , y ₁ ) , (x ₂ , y ₂ ) и (x ₃ , y ₃ ) . Формула шнурка также может быть использована для нахождения площадей других многоугольников, когда известны их вершины. Другой подход к координатному треугольнику состоит в том, чтобы использовать исчисление для нахождения площади.${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-x_{1}y_{3})}$
• Простой многоугольник , построенный на сетке равноудаленных точек (т. е. точек с целочисленными координатами), такой, что все вершины многоугольника являются точками сетки: , где i — количество точек сетки внутри многоугольника, а b — количество граничных точек . Этот результат известен как теорема Пика . ^[26]${\displaystyle i+{\frac {b}{2}}-1}$

Площадь в исчислении

• Площадь между положительной кривой и горизонтальной осью, измеренная между двумя значениями a и b (b определяется как большее из двух значений) на горизонтальной оси, определяется интегралом от a до b функции, которая представляет собой кривую: ^[1]

${\displaystyle A=\int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$

• Площадь между графиками двух функций равна интегралу одной функции f ( x ) минус интеграл другой функции g ( x ) :

${\displaystyle A=\int _{a}^{b}(f(x)-g(x))\,dx,}$где кривая с большим значением y.${\displaystyle f(x)}$

• Площадь, ограниченная функцией, выраженной в полярных координатах : ^[1]${\displaystyle r=r(\theta )}$

${\displaystyle A={1 \over 2}\int r^{2}\,d\theta .}$

• Площадь, ограниченная параметрической кривой с конечными точками , определяется линейными интегралами :${\displaystyle {\vec {u}}(t)=(x(t),y(t))}$${\displaystyle {\vec {u}}(t_{0})={\vec {u}}(t_{1})}$

${\displaystyle \oint _{t_{0}}^{t_{1}}x{\dot {y}}\,dt=-\oint _{t_{0}}^{t_{1}}y{\dot {x}}\,dt={1 \over 2}\oint _{t_{0}}^{t_{1}}(x{\dot {y}}-y{\dot {x}})\,dt}$

или z -компонента

${\displaystyle {1 \over 2}\oint _{t_{0}}^{t_{1}}{\vec {u}}\times {\dot {\vec {u}}}\,dt.}$

(Подробности см . в Теореме Грина § Расчет площади .) Это принцип механического устройства планиметра .

Ограниченная область между двумя квадратичными функциями

Чтобы найти ограниченную площадь между двумя квадратичными функциями , мы вычитаем одну из другой, чтобы записать разницу как

${\displaystyle f(x)-g(x)=ax^{2}+bx+c=a(x-\alpha )(x-\beta )}$

где f ( x ) — квадратичная верхняя граница, а g ( x ) — квадратичная нижняя граница. Определим дискриминант f ( x ) -g ( x ) как

${\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac.}$

Упрощая интегральную формулу между графиками двух функций (как указано в разделе выше) и используя формулу Виета , мы можем получить ^{[27] [28]}

${\displaystyle A={\frac {\Delta {\sqrt {\Delta }}}{6a^{2}}}={\frac {a}{6}}(\beta -\alpha )^{3},\qquad a\neq 0.}$

Вышеизложенное остается в силе, если одна из ограничивающих функций является линейной, а не квадратичной.

Площадь поверхности трехмерных фигур

• Конус : ^[29] , где r — радиус круглого основания, а h — высота. Это также можно переписать как ^[29] или где r — радиус, а l — наклонная высота конуса. - площадь основания, а - площадь боковой поверхности конуса. ^[29]${\displaystyle \pi r\left(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}\right)}$${\displaystyle \pi r^{2}+\pi rl}$${\displaystyle \pi r(r+l)\,\!}$${\displaystyle \pi r^{2}}$${\displaystyle \pi rl}$
• куб : , где s — длина ребра. ^[6]${\displaystyle 6s^{2}}$
• цилиндр : , где r — радиус основания, а h — высота. 2r можно также переписать как d , где d — диаметр.${\displaystyle 2\pi r(r+h)}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \pi }$
• призма : 2B + Ph, где B — площадь основания, P — периметр основания, h — высота призмы.
• пирамида : , где B — площадь основания, P — периметр основания, а L — длина наклона.${\displaystyle B+{\frac {PL}{2}}}$
• прямоугольная призма : , где – длина, w – ширина, h – высота.${\displaystyle 2(\ell w+\ell h+wh)}$${\displaystyle \ell }$

Общая формула площади поверхности

Общая формула площади поверхности графика непрерывно дифференцируемой функции, где и - область в плоскости xy с гладкой границей:${\displaystyle z=f(x,y),}$${\displaystyle (x,y)\in D\subset \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle D}$

${\displaystyle A=\iint _{D}{\sqrt {\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)^{2}+1}}\,dx\,dy.}$

Еще более общая формула для площади графика параметрической поверхности в векторной форме где - непрерывно дифференцируемая вектор-функция : ^[8]${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (u,v),}$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle (u,v)\in D\subset \mathbb {R} ^{2}}$

${\displaystyle A=\iint _{D}\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}\right|\,du\,dv.}$

Список формул

Дополнительные общие формулы для площади:

Форма	Формула	Переменные
Прямоугольник	${\displaystyle A=ab}$
Треугольник	${\displaystyle A={\frac {1}{2}}bh\,\!}$
Треугольник	${\displaystyle A={\frac {1}{2}}ab\sin(\gamma )\,\!}$
Треугольник ( формула Герона )	${\displaystyle A={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}\,\!}$	${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$
Равнобедренный треугольник	${\displaystyle A={\frac {b}{4}}{\sqrt {4a^{2}-c^{2}}}}$
Правильный треугольник ( равносторонний треугольник )	${\displaystyle A={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}\,\!}$
Ромб / Воздушный змей	${\displaystyle A={\frac {1}{2}}de}$
Параллелограмм	${\displaystyle A=ah_{a}\,\!}$
Трапеция	${\displaystyle A={\frac {(a+c)h}{2}}\,\!}$
Правильный шестиугольник	${\displaystyle A={\frac {3}{2}}{\sqrt {3}}a^{2}\,\!}$
Правильный восьмиугольник	${\displaystyle A=2(1+{\sqrt {2}})a^{2}\,\!}$
Правильный многоугольник ( стороны)${\displaystyle n}$	${\displaystyle A=n{\frac {ar}{2}}={\frac {pr}{2}}}$ ${\displaystyle \quad ={\tfrac {1}{4}}na^{2}\cot({\tfrac {\pi }{n}})}$ ${\displaystyle \quad =nr^{2}\tan({\tfrac {\pi }{n}})}$ ${\displaystyle \quad ={\tfrac {1}{4n}}p^{2}\cot({\tfrac {\pi }{n}})}$ ${\displaystyle \quad ={\tfrac {1}{2}}nR^{2}\sin({\tfrac {2\pi }{n}})\,\!}$	${\displaystyle p=na\ }$( периметр ) радиус описанной окружности радиус описанной окружности ${\displaystyle r={\tfrac {a}{2}}\cot({\tfrac {\pi }{n}}),}$ ${\displaystyle {\tfrac {a}{2}}=r\tan({\tfrac {\pi }{n}})=R\sin({\tfrac {\pi }{n}})}$ ${\displaystyle r:}$ ${\displaystyle R:}$
Круг	${\displaystyle A=\pi r^{2}={\frac {\pi d^{2}}{4}}}$ ( диаметр )${\displaystyle d=2r:}$
Круговой сектор	${\displaystyle A={\frac {\theta }{2}}r^{2}={\frac {L\cdot r}{2}}\,\!}$
Эллипс	${\displaystyle A=\pi ab\,\!}$
интеграл	${\displaystyle A=\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x,\ f(x)\geq 0}$
	Площадь поверхности
Сфера	${\displaystyle A=4\pi r^{2}=\pi d^{2}}$
Кубовидный	${\displaystyle A=2(ab+ac+bc)}$
цилиндр (включая низ и верх)	${\displaystyle A=2\pi r(r+h)}$
Конус (включая дно)	${\displaystyle A=\pi r(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}})}$
Тор	${\displaystyle A=4\pi ^{2}\cdot R\cdot r}$
Поверхность вращения	${\displaystyle A=2\pi \int _{a}^{b}\!f(x){\sqrt {1+\left[f'(x)\right]^{2}}}\mathrm {d} x}$ (вращение вокруг оси x)

Приведенные выше расчеты показывают, как найти площади многих распространенных фигур .

Площади неправильных (и, следовательно, произвольных) многоугольников можно рассчитать с помощью « формулы геодезиста » (формулы шнурка). ^[25]

Отношение площади к периметру

Изопериметрическое неравенство утверждает, что для замкнутой кривой длины L (так что область, которую она охватывает, имеет периметр L ) и для площади A области, которую она охватывает,

${\displaystyle 4\pi A\leq L^{2},}$

и равенство имеет место тогда и только тогда, когда кривая является окружностью . Таким образом, круг имеет наибольшую площадь среди всех замкнутых фигур с заданным периметром.

С другой стороны, фигура с заданным периметром L может иметь сколь угодно малую площадь, как показано на ромбе , который «перевернут» сколь угодно далеко, так что два его угла сколь угодно близки к 0°, а два других сколь угодно близки до 180°.

Для круга отношение площади к длине окружности (периметр круга) равно половине радиуса r . Это видно из формулы площади πr ² и формулы длины окружности 2 πr .

Площадь правильного многоугольника равна половине его периметра, умноженному на апофему (где апофема — это расстояние от центра до ближайшей точки на любой стороне).

фракталы

Удвоение длин ребер многоугольника умножает его площадь на четыре, что равно двум (отношение длины новой стороны к старой), возведенным в степень двойки (размерность пространства, в котором находится многоугольник). Но если все одномерные длины фрактала , нарисованного в двух измерениях, удвоены, пространственное содержание фрактала масштабируется в степени двойки, что не обязательно является целым числом. Эта мощность называется фрактальной размерностью фрактала.^[30]

Биссектрисы площади

Существует бесконечное количество линий, которые делят площадь треугольника пополам. Три из них являются медианами треугольника (соединяющими середины сторон с противоположными вершинами), и они совпадают в центре треугольника ; действительно, они - единственные биссектрисы площади, которые проходят через центроид. Любая линия, проходящая через треугольник, которая делит площадь треугольника и его периметр пополам, проходит через центр треугольника (центр вписанной окружности ). Для любого заданного треугольника их может быть один, два или три.

Любая прямая, проходящая через середину параллелограмма, делит площадь пополам.

Все биссектрисы площади круга или другого эллипса проходят через центр, а любые хорды , проходящие через центр, делят площадь пополам. В случае круга это диаметры круга.

Оптимизация

Для заданного контура провода поверхность наименьшей площади, охватывающая («заполняющая») его, является минимальной поверхностью . Знакомые примеры включают мыльные пузыри .

Вопрос о заполнении римановой окружности остается открытым. ^[31]

Круг имеет наибольшую площадь среди всех двумерных объектов с таким же периметром.

Вписанный в окружность многоугольник имеет наибольшую площадь среди всех многоугольников с заданным числом сторон одинаковой длины.

Версия изопериметрического неравенства для треугольников утверждает, что треугольник наибольшей площади среди всех треугольников с данным периметром является равносторонним . ^[32]

Треугольник наибольшей площади из всех вписанных в данный круг равносторонний; и треугольник наименьшей площади из всех описанных вокруг данной окружности равносторонний. ^[33]

Отношение площади вписанной окружности к площади равностороннего треугольника больше, чем у любого неравностороннего треугольника. ^[34]${\displaystyle {\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}}$

Отношение площади к квадрату периметра равностороннего треугольника больше, чем у любого другого треугольника. ^[32]${\displaystyle {\frac {1}{12{\sqrt {3}}}},}$

Смотрите также

• Четырехугольник Брахмагупты , вписанный четырехугольник с целыми сторонами, целыми диагоналями и целой площадью.
• Эквиареал карта
• Геронов треугольник , треугольник с целыми сторонами и целой площадью.
• Список неравенств треугольника
• Треугольник одной седьмой площади , внутренний треугольник с площадью одной седьмой опорного треугольника.

• Теорема Рауса , обобщение треугольника площади одной седьмой.

• Порядки величины — список областей по размеру.
• Вывод формулы пятиугольника
• Планиметр , инструмент для измерения небольших площадей, например, на картах.
• Площадь выпуклого четырехугольника
• Пятиугольник Роббинса , вписанный в окружность пятиугольник, длины сторон и площади которого являются рациональными числами.

использованная литература

внешняя ссылка