Парадоксы Зенона - это набор философских проблем, которые, как считается, были изобретены греческим философом Зеноном Элейским (ок. 490–430 до н. Э.) Для поддержки учения Парменида о том, что, вопреки свидетельствам наших чувств, вера во множественность и перемены ошибочна. , и, в частности, это движение - не что иное, как иллюзия . Обычно предполагается, что, основываясь на « Пармениде» Платона (128a – d), Зенон взял на себя проект создания этих парадоксов.потому что другие философы создали парадоксы против взглядов Парменида. Таким образом, Платон заставил Зенона сказать, что цель парадоксов «состоит в том, чтобы показать, что их гипотеза о множестве существований, если должным образом следовать, приводит к еще более абсурдным результатам, чем гипотеза о том, что они являются одним целым». [1] Платон утверждает, что Сократ утверждает, что Зенон и Парменид, по сути, доказывали одно и то же. [2] Некоторые из девяти сохранившихся парадоксов Зенона (сохранившихся в книге Аристотеля « Физика» [3] [4] и комментарии Симплициуса к ней) по существу эквивалентны друг другу. Аристотель предложил опровержение некоторых из них. [3] Три из самых сильных и самых известных - аргумент Ахилла и черепахи, аргумент дихотомии и аргумент летящей стрелы - подробно представлены ниже.
Аргументы Зенона, возможно, являются первыми примерами метода доказательства, называемого reductio ad absurdum , также известного как доказательство от противоречия . Они также считаются источником диалектического метода, используемого Сократом. [5] Некоторые математики и историки, такие как Карл Бойер , считают, что парадоксы Зенона - это просто математические проблемы, математическое решение которых дает современное исчисление . [6] Некоторые философы , однако, говорят, что парадоксы Зенона и их вариации (см. Лампу Томсона ) остаются актуальными метафизическими проблемами. [7] [8] [9] Истоки парадоксов несколько неясны. Диоген Лаэртиус , четвертый источник информации о Зеноне и его учении, цитируя Фаворина , говорит, что учитель Зенона Парменид был первым, кто представил парадокс Ахилла и черепахи. Но в более позднем отрывке Лаэртиус приписывает происхождение парадокса Зенону, объясняя, что Фаворин не согласен. [10]
Парадоксы движения
Парадокс дихотомии
То, что находится в движении, должно пройти половину пути, прежде чем достигнет цели.
- как рассказывает Аристотель , Physics VI: 9, 239b10.
Предположим, Аталанта хочет пройти до конца пути. Прежде чем она сможет добраться туда, она должна пройти половину пути. Прежде чем она сможет пройти половину пути, она должна пройти четверть пути. Прежде чем проехать квартал, она должна проехать одну восьмую; перед восьмым - одна шестнадцатая; и так далее.
Результирующая последовательность может быть представлена как:
Это описание требует выполнения бесконечного количества задач, что, по мнению Зенона, невозможно. [11]
Эта последовательность также представляет вторую проблему в том, что она не содержит первой дистанции для бега, поскольку любое возможное ( конечное ) первое расстояние может быть разделено пополам и, следовательно, не будет первым в конце концов. Следовательно, путешествие не может даже начаться. Таким образом, парадоксальным выводом будет то, что путешествие на любое конечное расстояние нельзя ни завершить, ни начать, и поэтому любое движение должно быть иллюзией . [12]
Этот аргумент называется « дихотомией », потому что он включает многократное разделение расстояния на две части. Пример с первоначальным смыслом можно найти в асимптоте . Это также известно как парадокс гоночной трассы .
Ахиллес и черепаха
В гонке самый быстрый бегун никогда не может обогнать самого медленного, так как преследователь должен сначала достичь точки, откуда преследуемый начал, так что более медленный всегда должен удерживать лидерство.
- как рассказывает Аристотель , Physics VI: 9, 239b15.
В парадоксе Ахилла и черепахи Ахиллес соревнуется с черепахой. Ахиллес позволяет черепахе, например, стартовать на 100 метров. Предположим, что каждый гонщик начинает бежать с некоторой постоянной скоростью, один быстрее другого. Через некоторое конечное время Ахиллес пробежит 100 метров, приведя его к исходной точке черепахи. За это время черепаха пробежала гораздо меньшее расстояние, скажем, 2 метра. Тогда Ахиллу потребуется некоторое время, чтобы пробежать это расстояние, и к этому времени черепаха продвинется дальше; а затем еще время, чтобы достичь этой третьей точки, пока черепаха движется вперед. Таким образом, всякий раз, когда Ахиллес прибывает туда, где была черепаха, ему все еще нужно пройти некоторое расстояние, прежде чем он сможет даже добраться до черепахи. Как заметил Аристотель, этот аргумент аналогичен дихотомии. [13] Однако в нем отсутствует очевидный вывод о неподвижности.
Стрелка парадокс
Если все, занимая равное пространство, в этот момент времени находится в состоянии покоя, и если то, что находится в движении, всегда занимает такое пространство в любой момент, летящая стрела, следовательно, неподвижна в этот момент времени и в следующий момент. времени, но если оба момента времени приняты как один и тот же момент или непрерывный момент времени, то он находится в движении. [14]
- как рассказывает Аристотель , Physics VI: 9, 239b5.
В парадоксе со стрелками Зенон утверждает, что для того, чтобы произошло движение, объект должен изменить положение, которое он занимает. Он приводит пример летящей стрелы. Он утверждает, что в любой момент времени (без продолжительности) стрела не движется ни туда, где она есть, ни туда, где ее нет. [15] Он не может переместиться туда, где его нет, потому что не проходит времени, чтобы переместиться туда; он не может переместиться туда, где он есть, потому что он уже там. Другими словами, в каждый момент времени движения не происходит. Если в каждый момент все неподвижно, а время целиком состоит из мгновений, движение невозможно.
В то время как первые два парадокса делят пространство, этот парадокс начинается с разделения времени - и не на сегменты, а на точки. [16]
Три других парадокса в изложении Аристотеля
Парадокс места
От Аристотеля:
Если всему, что существует, есть место, то и место будет, и так до бесконечности . [17]
Парадокс проса
Описание парадокса из Философского словаря Рутледжа :
Аргумент состоит в том, что одно зернышко проса не издает звука при падении, но тысяча крупинок издают звук. Отсюда тысяча пустяков становится чем-то абсурдным. [18]
Опровержение Аристотеля:
Зенон ошибается, говоря, что нет ни одной части проса, которая не издавала бы звука: потому что нет причины, по которой любая такая часть не должна в течение какого-либо периода времени переставать двигаться в воздухе, в котором движется весь бушель при падении. Фактически, он сам по себе не перемещает даже такое количество воздуха, как он двигался бы, если бы эта часть была сама по себе: поскольку никакая часть даже не существует иначе, как потенциально. [19]
Описание от Ника Хаггетта:
Это аргумент Парменида о том, что нельзя доверять своему слуху. Кажется, что ответ Аристотеля состоит в том, что даже неслышимые звуки могут добавить к слышимому звуку. [20]
Движущиеся ряды (или стадион)
От Аристотеля:
... что касается двух рядов тел, каждый ряд состоит из равного числа тел равного размера, проходящих друг через друга по гоночной трассе, поскольку они движутся с одинаковой скоростью в противоположных направлениях, причем один ряд первоначально занимал пространство между цель и средняя точка трассы, а другая - между средней точкой и стартовой стойкой. Это ... предполагает вывод, что половина данного времени равна удвоенному времени. [21]
Для более подробного изложения аргументов Зенона, представленных Аристотелем, см. Комментарий Симплициуса « О физике Аристотеля» . [ требуется полная ссылка ]
Предлагаемые решения
Диоген Циник
Согласно Симплицию , Киник Диоген ничего не сказал, услышав аргументы Зенона, но встал и пошел, чтобы продемонстрировать ложность выводов Зенона (см. Solvitur ambulando ). Однако, чтобы полностью разрешить любой из парадоксов, нужно показать, что не так в аргументе, а не только в выводах. На протяжении всей истории было предложено несколько решений, среди самых ранних записанных были решения Аристотеля и Архимеда.
Аристотель
Аристотель (384 г. до н.э. - 322 г. до н.э.) заметил, что по мере уменьшения расстояния время, необходимое для преодоления этих расстояний, также уменьшается, так что необходимое время также становится все меньше. [22] [ неудавшаяся проверка ] [23] Аристотель также отличал «вещи, бесконечные в отношении делимости» (такие как единица пространства, которую можно мысленно разделить на все меньшие единицы, оставаясь при этом одинаковыми в пространстве) от вещей (или расстояний), которые бесконечны по протяженности («относительно их концов»). [24] Возражение Аристотеля против парадокса стрелы заключалось в том, что «Время состоит из неделимых моментов не больше, чем любая другая величина состоит из неделимых». [25]
Архимед
До 212 г. до н.э. Архимед разработал метод получения конечного ответа для суммы бесконечного числа членов, которые становятся все меньше и меньше. (См .: Геометрический ряд , 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + · · · , Квадратура параболы .) Его аргумент, применяя метод исчерпания, чтобы доказать, что рассматриваемая бесконечная сумма является равняется площади определенного квадрата, в значительной степени геометрический, но довольно строгий. Сегодняшний анализ дает тот же результат с использованием пределов (см. Сходящиеся ряды ). Эти методы позволяют строить решения на основе условий, установленных Зеноном, т.е. количество времени, затрачиваемого на каждый шаг, геометрически уменьшается. [6] [26]
Фома Аквинский
Фома Аквинский , комментируя возражение Аристотеля, писал: «Мгновения не являются частями времени, поскольку время состоит из мгновений не больше, чем величина состоит из точек, как мы уже доказали. Отсюда не следует, что вещь есть. не движется в данный момент времени только потому, что не движется ни в один из моментов этого времени ». [27]
Бертран Рассел
Бертран Рассел предложил то, что известно как «теория движения на аттракционе». Он соглашается с тем, что не может быть движения «в течение» непродолжительного момента, и утверждает, что все, что требуется для движения, - это чтобы стрелка находилась в одной точке в один момент, в другой точке в другой раз и в соответствующих точках между этими двумя точками. за промежуточные времена. С этой точки зрения движение - это просто изменение положения с течением времени. [28] [29]
Герман Вейль
Другое предлагаемое решение - подвергнуть сомнению одно из предположений, которое Зенон использовал в своих парадоксах (в частности, Дихотомии), которое заключается в том, что между любыми двумя разными точками в пространстве (или времени) всегда есть другая точка. Без этого предположения существует только конечное число расстояний между двумя точками, следовательно, не существует бесконечной последовательности движений, и парадокс разрешается. Согласно Герману Вейлю , предположение о том, что пространство состоит из конечных и дискретных единиц, является предметом еще одной проблемы, задаваемой « аргументом плитки » или «проблемой функции расстояния». [30] [31] Согласно этому, длина гипотенузы прямоугольного треугольника в дискретизированном пространстве всегда равна длине одной из двух сторон, что противоречит геометрии. Жан Поль Ван Бендегем утверждал, что аргумент плитки может быть разрешен, и что дискретизация, следовательно, может устранить парадокс. [6] [32]
Анри Бергсон
Альтернативный вывод, предложенный Анри Бергсоном в его книге « Материя и память» 1896 года , состоит в том, что, хотя путь делится, движение - нет. [33] В этом аргументе моменты времени и мгновенные величины физически не существуют. Объект, находящийся в относительном движении, не может иметь мгновенное или определенное относительное положение, и поэтому его движение нельзя разделить на части.
Питер Линдс
В 2003 году Питер Линдс выдвинул очень похожий аргумент: все парадоксы движения Зенона разрешаются выводом о том, что мгновений во времени и мгновенных величин физически не существует. [34] [35] [36] [37] Линдс утверждает, что объект, находящийся в относительном движении, не может иметь мгновенное или определенное относительное положение (поскольку, если бы это было так, он не мог бы двигаться), и поэтому его движение нельзя было бы частично рассечь. как будто это так, как предполагают парадоксы. Подробнее о невозможности узнать скорость и местоположение см. Принцип неопределенности Гейзенберга .
Ник Хаггетт
Ник Хаггетт утверждает, что Зенон делает вывод, когда говорит, что объекты, занимающие то же пространство, что и в состоянии покоя, должны находиться в состоянии покоя. [16]
Парадоксы современности
Теоретически бесконечные процессы оставались в математике проблематичными до конца XIX века. Используя эпсилон-дельта- определение предела , Вейерштрасс и Коши разработали строгую формулировку используемой логики и исчисления. Эти работы разрешили математику, включающую бесконечные процессы. [38] [39]
Хотя математика может вычислить, где и когда движущийся Ахиллес обгонит Черепаху из парадокса Зенона, такие философы, как Кевин Браун [7] и Муркрофт [8], утверждают, что математика не обращается к центральному пункту аргументации Зенона и что решает математические проблемы не решает всех возникающих парадоксов.
Популярная литература часто искажает аргументы Зенона. Например, Зенон часто утверждал, что сумма бесконечного числа членов должна быть бесконечной, в результате чего не только время, но и расстояние, которое нужно пройти, становятся бесконечными. [40] Том Стоппард предлагает юмористический подход в его пьесе «Прыгуны» (1972), в которой главный герой, профессор философии Джордж Мур, предполагает, что, согласно парадоксу Зенона, святой Себастьян , христианский святой 3-го века, замученный мученической смертью. со стрелами, умер от испуга. Однако ни в одном из первоначальных древних источников Зенон не обсуждает сумму каких-либо бесконечных рядов. У Симплициуса Зенон сказал: «Невозможно пройти бесконечное количество вещей за конечное время». Это представляет проблему Зенона не с нахождением суммы , а с завершением задачи с бесконечным количеством шагов: как можно когда-либо перейти от A к B, если можно идентифицировать бесконечное количество (не мгновенных) событий, которые необходимо предшествуют приходу в B, и нельзя дойти даже до начала «последнего события»? [7] [8] [9] [41]
Продолжаются дебаты по вопросу о том, разрешены ли парадоксы Зенона. В «Истории математики: введение» (2010) Бертон пишет: «Хотя аргумент Зенона сбил с толку его современников, удовлетворительное объяснение включает в себя уже знакомую идею - понятие« сходящегося бесконечного ряда »». [42]
Бертран Рассел предложил «решение» к парадоксам , основанных на работе Георга Кантора , [43] , но Браун делает вывод «Учитывая историю„окончательных резолюций“, от Аристотеля и далее, это, вероятно , безрассудно думать , что мы достигли конца. Возможно, аргументы Зенона о движении из-за их простоты и универсальности всегда будут служить своего рода «образом Роршаха», на который люди могут проецировать свои самые фундаментальные феноменологические проблемы (если они у них есть) ». [7]
Аналогичное древнекитайское философское соображение
Древние китайские философы из моистской школы имен во время периода Сражающихся царств Китая (479–221 гг. До н.э.) разработали эквиваленты некоторых парадоксов Зенона. [44] Ученый и историк сэр Джозеф Нидхэм в своей книге « Наука и цивилизация в Китае» описывает древний китайский парадокс из сохранившейся книги логики Моистской школы имен, в которой архаичным древнекитайским письмом говорится, что «палка на одну ногу» , каждый день забирайте половину, через бесчисленное множество веков она не иссякнет ». Известно несколько других парадоксов этой философской школы (точнее движения), но их современная интерпретация более умозрительна.
Квантовый эффект Зенона
В 1977 г. [45] физики Джордж Сударшан и Б. Мисра обнаружили, что динамическая эволюция (движение) квантовой системы может быть затруднена (или даже подавлена) посредством наблюдения за системой. [46] Этот эффект обычно называют «квантовым эффектом Зенона», поскольку он сильно напоминает парадокс стрелы Зенона. Впервые этот эффект был теоретизирован в 1958 г. [47]
Зенон поведение
В области проверки и проектирования синхронизированных и гибридных систем поведение системы называется Зеноном, если оно включает бесконечное количество дискретных шагов за конечный промежуток времени. [48] Некоторые формальные методы проверки исключают такое поведение из анализа, если оно не эквивалентно поведению, не относящемуся к Зенону. [49] [50] При проектировании систем такое поведение также часто исключается из системных моделей, поскольку они не могут быть реализованы с помощью цифрового контроллера. [51]
Льюис Кэрролл и Дуглас Хофштадтер
Парадокс Кэрролла , [52] написана в 1895 году Льюис Кэрролл , была предпринята попытка выявить аналогичный парадокс в области чистой логики. Если аргумент Кэрролла верен, то подразумевается, что парадоксы движения Зенона, по сути, не являются проблемами пространства и времени, но затрагивают самую суть самого рассуждения. Дуглас Хофштадтер сделал статью Кэрролла центральным элементом своей книги « Гедель, Эшер, Бах: вечная золотая коса» , написав еще много диалогов между Ахиллом и Черепахой, чтобы прояснить свои аргументы. Хофштадтер связывает парадоксы Зенона с теоремой Гёделя о неполноте в попытке продемонстрировать, что проблемы, поднятые Зеноном, распространены и проявляются в формальной теории систем, вычислениях и философии разума.
Смотрите также
- Несоизмеримые величины
- Бесконечный регресс
- Философия пространства и времени
- Перенормировка
- Парадокс Росса – Литтлвуда
- Школа Имен
- Сверхзадача
- « Что Черепаха сказала Ахиллу », аллегорический диалог об основах логики Льюиса Кэрролла (1895).
- Зенон машина
- Список парадоксов
Заметки
- ^ Парменид 128d
- ^ Парменид 128a – b
- ^ a b Физика Аристотеля «Физика» Аристотеля в переводе Р.П. Харди и Р.К. Гэй
- ^ «Греческий текст« Физики »Аристотеля (см. §4 в верхней части видимой области экрана)» . Архивировано из оригинала на 2008-05-16.
- ^ ([фрагмент 65], Диоген Лаэртиус. IX Архивировано 12 декабря 2010 г.в Wayback Machine 25ff и VIII 57).
- ^ а б в Бойер, Карл (1959). История математического анализа и его концептуальное развитие . Dover Publications. п. 295 . ISBN 978-0-486-60509-8. Проверено 26 февраля 2010 .
Если парадоксы выражаются таким образом в точной математической терминологии непрерывных переменных (...), кажущиеся противоречия разрешаются сами собой.
- ^ а б в г Браун, Кевин. «Зенон и парадокс движения» . Размышления об относительности . Архивировано из оригинала на 2012-12-05 . Проверено 6 июня 2010 .
- ^ а б в Муркрофт, Фрэнсис. «Парадокс Зенона» . Архивировано из оригинала на 2010-04-18.
- ^ а б Папа-Гримальди, Альба (1996). «Почему математические решения парадоксов Зенона упускают из виду суть: взаимосвязь« Один и многие »и запрет Парменида» (PDF) . Обзор метафизики . 50 : 299–314.
- ^ Диоген Лаэртиус, Жития , 9.23 и 9.29.
- ^ Линдберг, Дэвид (2007). Начало западной науки (2-е изд.). Издательство Чикагского университета. п. 33. ISBN 978-0-226-48205-7.
- ^ Хаггетт, Ник (2010). «Парадоксы Зенона: 3.1 Дихотомия» . Стэнфордская энциклопедия философии . Проверено 7 марта 2011 .
- ^ Хаггетт, Ник (2010). «Парадоксы Зенона: 3.2 Ахилл и черепаха» . Стэнфордская энциклопедия философии . Проверено 7 марта 2011 .
- ^ Аристотель. «Физика» . Архив интернет-классики .
Однако рассуждения Зенона ошибочны, когда он говорит, что если все, занимая равное пространство, находится в состоянии покоя и если то, что находится в движении, всегда занимает такое пространство в любой момент, летящая стрела, следовательно, неподвижна. Это неверно, поскольку время состоит из неделимых моментов не больше, чем любая другая величина состоит из неделимых.
- ^ Лаэртий, Диоген (ок. 230). «Пиррон» . Жизни и мнения выдающихся философов . IX . отрывок 72. ISBN 1-116-71900-2.
- ^ а б Хаггетт, Ник (2010). «Парадоксы Зенона: 3.3 Стрела» . Стэнфордская энциклопедия философии . Проверено 7 марта 2011 .
- ^ Аристотель Физика IV: 1, 209a25
- ^ Майкл Праудфут, AR Lace. Философский словарь Рутледжа. Рутледж 2009, стр. 445
- ^ Аристотель Физика VII: 5, 250a20
- ^ Хаггетт, Ник, «Парадоксы Зенона», Стэнфордская энциклопедия философии (издание зима 2010 г.), Эдвард Н. Залта (редактор), http://plato.stanford.edu/entries/paradox-zeno/#GraMil
- ^ Аристотель Физика VI: 9, 239b33
- ^ Аристотель. Физика 6.9
- ^ Наблюдение Аристотеля о том, что дробные времена также становятся короче, не всегда гарантирует, что задача может быть выполнена. Один случай, когда это не выполняется, - это тот, в котором дробные времена уменьшаются в гармоническом ряду , в то время как расстояния уменьшаются геометрически, например: 1/2 с для усиления 1/2 м, 1/3 с для следующих 1/4 м, 1/4 с для следующего усиления 1/8 м, 1/5 с для следующего усиления 1/16 м, 1/6 с для следующего усиления 1/32 м и т. д. В этом случае расстояния образуют сходящуюся серии, но времена образуют расходящийся ряд , сумма которого не имеет предела. [ оригинальное исследование? ] Архимед разработал более явный математический подход, чем Аристотель.
- ^ Аристотель. Физика 6.9; 6.2, 233a21-31
- ^ Аристотель. Физика . VI . Часть 9 стих: 239b5. ISBN 0-585-09205-2.
- ^ Джордж Б. Томас, Исчисление и аналитическая геометрия , Эддисон Уэсли, 1951
- ↑ Аквинский. Комментарий к физике Аристотеля, книга 6.861
- ^ Хаггетт, Ник (1999). Космос от Зенона до Эйнштейна . ISBN 0-262-08271-3.
- ^ Лосось, Уэсли К. (1998). Причинно-следственная связь и объяснение . п. 198. ISBN 978-0-19-510864-4.
- ^ Ван Бендегем, Жан Поль (17 марта, 2010 г.). «Конечность в геометрии» . Стэнфордская энциклопедия философии . Проверено 3 января 2012 .
- ^ Коэн, Марк (11 декабря 2000 г.). «АТОМИЗМ» . История античной философии, Вашингтонский университет . Архивировано из оригинала 12 июля 2010 года . Проверено 3 января 2012 .
- ^ ван Бендегем, Жан Поль (1987). «Обсуждение: парадоксы Зенона и аргумент плитки». Философия науки . Бельгия. 54 (2): 295–302. DOI : 10.1086 / 289379 . JSTOR 187807 .
- ^ Бергсон, Анри (1896). Matière et Mémoire [ Материя и память ] (PDF) . Перевод 1911 года Нэнси Маргарет Пол и В. Скотт Палмер. Джордж Аллен и Анвин. С. 77–78 PDF-файла.
- ^ «Парадоксы Зенона: своевременное решение» . Январь 2003 г.
- ^ Линдс, Питер. Время и классическая и квантовая механика: неопределенность против прерывности. Основы физики Письмо s (том 16, выпуск 4, 2003 г.). DOI: 10.1023 / A: 1025361725408
- ↑ Time's Up, Эйнштейн , Джош МакХью, Wired Magazine , июнь 2005 г.
- ^ С.Э. Роббинс (2004) О времени, памяти и динамической форме . Сознание и познание 13 (4), 762-788: «Линдс, его рецензенты и консультанты (например, JJC Smart), очевидно, не знают о его абсолютном превосходстве над Бергсоном»
- ^ Ли, Гарольд (1965). «Парадоксы Зенона основаны на ошибке?». Разум . Издательство Оксфордского университета. 74 (296): 563–570. DOI : 10,1093 / ум / LXXIV.296.563 . JSTOR 2251675 .
- ^ Б. Рассел (1956) Математика и метафизики в "Мире математики" (редактор Дж . Р. Ньюман ), стр 1576-1590.
- ^ Бенсон, Дональд С. (1999). Момент доказательства: математические прозрения . Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. п. 14 . ISBN 978-0195117219.
- ^ Хаггетт, Ник (2010). «Парадоксы Зенона: 5. Влияние Зенона на философию» . Стэнфордская энциклопедия философии . Проверено 7 марта 2011 .
- Перейти ↑ Burton, David, A History of Mathematics: An Introduction , McGraw Hill, 2010, ISBN 978-0-07-338315-6
- ^ Рассел, Бертран (2002) [Впервые опубликовано в 1914 году издательством Open Court Publishing Company]. «Лекция 6. Проблема бесконечности в историческом аспекте». Наши знания о внешнем мире: как область научного метода в философии . Рутледж. п. 169. ISBN. 0-415-09605-7.
- ^ "Школа имен> Разные парадоксы (Стэнфордская энциклопедия философии)" . plato.stanford.edu . Проверено 30 января 2020 .
- ^ Сударшан, ЭКГ ; Мисра, Б. (1977). «Парадокс Зенона в квантовой теории» (PDF) . Журнал математической физики . 18 (4): 756–763. Bibcode : 1977JMP .... 18..756M . DOI : 10.1063 / 1.523304 .
- ^ WMItano; DJ Heinsen; Джей Джей Боккингер; DJ Wineland (1990). «Квантовый эффект Зенона» (PDF) . Physical Review . 41 (5): 2295–2300. Bibcode : 1990PhRvA..41.2295I . DOI : 10.1103 / PhysRevA.41.2295 . PMID 9903355 . Архивировано из оригинального (PDF) 20 июля 2004 года . Проверено 23 июля 2004 .
- ^ Халфин, Л.А. (1958). "Вклад в теорию распада квазистационарного состояния". Советская физ. ЖЭТФ . 6 : 1053. Bibcode : 1958JETP .... 6.1053K .
- ^ Пол А. Фишвик, изд. (1 июня 2007 г.). «15.6« Классы патологического поведения »в главе 15« Гибридные динамические системы: моделирование и выполнение »Питера Дж. Мостермана, The Mathworks, Inc.» . Справочник по моделированию динамических систем . Chapman & Hall / CRC Computer and Information Science (ред. В твердом переплете). Бока-Ратон, Флорида, США: CRC Press. С. 15–22–15–23. ISBN 978-1-58488-565-8. Проверено 5 марта 2010 .
- ^ Лэмпорт, Лесли (2002). Определение систем (PDF) . Microsoft Research . Эддисон-Уэсли. п. 128. ISBN 0-321-14306-X. Проверено 6 марта 2010 .
- ^ Чжан, Цзюнь; Йоханссон, Карл; Лигерос, Джон; Састри, Шанкар (2001). «Гибридные системы Zeno» (PDF) . Международный журнал робастного и нелинейного управления . 11 (5): 435. DOI : 10.1002 / rnc.592 . Архивировано из оригинального (PDF) 11 августа 2011 года . Проверено 28 февраля 2010 .
- ^ Франк, Кассез; Хенцингер, Томас; Раскин, Жан-Франсуа (2002). «Сравнение задач управления синхронизированными и гибридными системами» . Архивировано из оригинального 28 мая 2008 года . Проверено 2 марта 2010 . Цитировать журнал требует
|journal=
( помощь ) - ^ Кэрролл, Льюис (1895-04-01). «Что Черепаха сказала Ахиллу» . Разум . IV (14): 278–280. DOI : 10,1093 / ум / IV.14.278 . ISSN 0026-4423 .
Рекомендации
- Кирк, Г.С. , Дж. Э. Рэйвен , М. Шофилд (1984) Досократические философы: критическая история с подборкой текстов, 2-е изд. Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-27455-9 .
- Хаггетт, Ник (2010). «Парадоксы Зенона» . Стэнфордская энциклопедия философии . Проверено 7 марта 2011 .
- Платон (1926) Платон: Кратил. Парменид. Великий Гиппий. Малая Гиппий , HN Фаулер (переводчик), Классическая библиотека Леба . ISBN 0-674-99185-0 .
- Sainsbury, RM (2003) Paradoxes , 2-е изд. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-48347-6 .
Внешние ссылки
- Дауден, Брэдли. « Парадоксы Зенона» . Запись в Интернет-энциклопедии философии .
- "Антиномия" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
- Введение в математическую философию , Ludwig-Maximilians-Universität München
- Силагадзе, ЗК « Зенон встречается с современной наукой ».
- Парадокс Зенона: Ахилл и Черепаха , Джон Маклоун, Вольфрам Демонстрационный проект .
- Кевин Браун о Зеноне и парадоксе движения
- Палмер, Джон (2008). «Зенон Элейский» . Стэнфордская энциклопедия философии .
- Эта статья включает материал из парадокса Зенона о PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .
- Грайм, Джеймс. «Парадокс Зенона» . Numberphile . Брэди Харан . Архивировано из оригинала на 2018-10-03 . Проверено 13 апреля 2013 .