В математике , то метрика Łukaszyk-Karmowski является функцией определения расстояния между двумя случайными величинами или двух случайных векторов . [1] [2] Эта функция не является метрикой, так как она не удовлетворяет тождественному условию неразличимости метрики, то есть для двух одинаковых аргументов ее значение больше нуля. Концепция названа в честь Шимона Лукашика и Войцеха Кармовского.
Непрерывные случайные величиныМетрика Лукашика – Кармовского D между двумя непрерывными независимыми случайными величинами X и Y определяется как:
где f ( x ) и g ( y ) - функции плотности вероятности X и Y соответственно.
Можно легко показать , что такие показатели выше , не удовлетворяют Идентичность неразличимых необходимым условием быть удовлетворены своей метрикой в метрическом пространстве . Фактически они удовлетворяют этому условию тогда и только тогда, когда оба аргумента X , Y являются определенными событиями, описываемыми функциями распределения вероятностей дельта- плотности Дирака . В таком случае:
метрика Лукашика – Кармовского просто преобразуется в метрику между ожидаемыми значениями , переменных X и Y и очевидно:
Однако для всех остальных реальных случаев:
Метрика Лукашика – Кармовского удовлетворяет оставшимся условиям неотрицательности и симметрии метрики непосредственно из ее определения (симметрия модуля), а также условию субаддитивности / неравенства треугольника :
Таким образом
Показатель L – K между двумя случайными величинами
X и
Y, имеющими
нормальное распределение и одинаковое
стандартное отклонение. (начиная с нижней кривой).
обозначает расстояние между
средствами из
X и
Y .
В случае, когда X и Y зависят друг от друга, имея совместную функцию плотности вероятности f ( x , y ), метрика L – K имеет следующий вид:
Пример: две непрерывные случайные величины с нормальным распределением (NN)
Если обе случайные величины X и Y имеют нормальные распределения с одинаковым стандартным отклонением σ, и, кроме того, X и Y независимы, то D ( X , Y ) задается формулой
где
где erfc ( x ) - дополнительная функция ошибок, а нижние индексы NN указывают тип метрики L – K.
В этом случае минимально возможное значение функции дан кем-то
Пример: две непрерывные случайные величины с равномерным распределением (RR)
Когда обе случайные величины X и Y имеют равномерные распределения ( R ) одного и того же стандартного отклонения σ, D ( X , Y ) определяется выражением
Минимальное значение такой метрики L – K равно
Дискретные случайные величиныВ случае, если случайные величины X и Y характеризуются дискретным распределением вероятностей, метрика Лукашика – Кармовского D определяется как:
Например, для двух дискретных случайных величин X и Y с распределением Пуассона приведенное выше уравнение преобразуется в:
Случайные векторыэквидистантная поверхность для евклидовой метрики
эквидистантная поверхность для евклидовой L – K-метрики
Метрику случайных величин Лукашика – Кармовского легко расширить до метрики D ( X , Y ) случайных векторов X , Y , подставивс любым метрическим оператором d ( x , y ):
Например, замена d ( x , y ) евклидовой метрикой и предположение двумерности случайных векторов X , Y даст:
Эта форма метрики L – K также больше нуля для тех же измеряемых векторов (за исключением двух векторов, имеющих дельта- коэффициенты Дирака ) и удовлетворяет условиям неотрицательности и симметрии метрики. Доказательства аналогичны доказательствам для L – K-метрики случайных величин, о которых говорилось выше.
В случае, если случайные векторы X и Y зависят друг от друга, разделяя общее совместное распределение вероятностей F ( X , Y ), метрика L – K имеет вид:
Случайные векторы - евклидова формаЕсли случайные векторы X и Y не только взаимно независимы, но и все компоненты каждого вектора взаимно независимы , метрика Лукашика – Кармовского для случайных векторов определяется как:
где:
- особая форма L – K-метрики случайных величин, выбранная в зависимости от распределений конкретных коэффициентов а также векторов X , Y .
Такая форма метрики L – K также обладает общими свойствами всех метрик L – K.
- Это не удовлетворяет тождественному условию неразличимости:
- поскольку:
- но из свойств метрики L – K для случайных величин следует, что:
- Он неотрицательный и симметричный, поскольку конкретные коэффициенты также неотрицательны и симметричны:
- Он удовлетворяет неравенству треугольника:
- поскольку (см. неравенство Минковского ):
Физическая интерпретацияМетрику Лукашика – Кармовского можно рассматривать как расстояние между частицами квантовой механики, описываемое волновыми функциями ψ , где вероятность dP того, что данная частица присутствует в данном объеме пространства dV, составляет:
Квантовая частица в коробке
L – K-метрика между квантовой частицей в одномерном ящике длины
L и заданной точкой
ξ ящика.
.
Например, волновая функция квантовой частицы ( X ) в ящике длиной L имеет вид:
В этом случае метрика L – K между этой частицей и любой точкой Количество коробок:
Из свойств метрики L – K следует, что сумма расстояний между краем ящика ( ξ = 0 или ξ = L ) и любой заданной точкой и метрикой L – K между этой точкой и частицей X больше чем метрика L – K между краем ящика и частицей. Например, для квантовой частицы X на уровне энергии m = 2 и точке ξ = 0,2:
Очевидно, что метрика L – K между частицей и краем ящика (D (0, X) или D ( L , X)) составляет 0,5 л и не зависит от уровня энергии частицы.
Две квантовые частицы в коробке
Расстояние между двумя частицами, подпрыгивающими в одномерном ящике длиной L, имеющем не зависящие от времени волновые функции :
может быть определен в терминах метрики Лукашика – Кармовского независимых случайных величин как:
Расстояние между частицами X и Y минимально при m = 1 i n = 1, то есть для минимальных уровней энергии этих частиц и составляет:
Согласно свойствам этой функции минимальное расстояние отличное от нуля. Для более высоких уровней энергии m , n приближается к L / 3.
Популярное объяснениеНормальные распределения двух случайных величин
X и
Y с одинаковой дисперсией для трех положений их средних
µ x ,
µ yПредположим, нам нужно измерить расстояние между точкой µ x и точкой µ y , которые коллинеарны некоторой точке 0 . Предположим далее, что мы поручили эту задачу двум независимым и большим группам геодезистов, оснащенных рулетками , причем каждый геодезист первой группы будет измерять расстояние между 0 и µ x, а каждый геодезист второй группы будет измерять расстояние между 0 и µ y. .
При следующих предположениях мы можем рассматривать два набора полученных наблюдений x i , y j как случайные величины X и Y, имеющие нормальное распределение с одинаковой дисперсией σ 2 и распределенные по «фактическим местоположениям» точек µ x , µ y .
Расчет среднего арифметического для всех пар | х я - у j | тогда мы должны получить значение L – K-метрики D NN ( X , Y ). Его характерная криволинейность возникает из-за симметрии модуля и перекрытия распределений f ( x ), g ( y ), когда их средние приближаются друг к другу.
Интересный эксперимент, результаты которого совпадают со свойствами метрики L – K, был проведен в 1967 году Робертом Мойером и Томасом Ландауэром, которые измерили точное время, которое потребовалось взрослому, чтобы решить, какая из двух арабских цифр наибольшая. Когда две цифры были разнесены численно, например, 2 и 9. испытуемые отвечали быстро и точно. Но их время отклика замедлялось более чем на 100 миллисекунд, когда они были ближе, например, 5 и 6, и испытуемые затем ошибались так часто, как один раз в каждых десяти испытаниях. Эффект расстояния присутствовал как среди очень умных людей, так и среди тех, кто был обучен избегать его. [3]
Практическое применениеМетрика Łukaszyk-Karmowski может быть использована вместо метрического оператора (обычно является евклидово расстояния ) в различных численных методах, в частности , в приближенный алгоритмов , такие нас радиальная базисная функция сеть , [4] обратное расстояние весовой или Кохонен самоорганизующиеся карты .
Этот подход является физически обоснованным, что позволяет учитывать реальную неопределенность местоположения точек отбора проб. [5] [6]
Метрика Лукашика – Кармовского - единственная метрика, которая может использоваться в контексте измерений, зависящих от наблюдателя. [7] [8] [9] Он равен нулю только для двух измерений, имеющих одинаковые пространственно-временные координаты для данного наблюдателя.
Смотрите также- Вероятностное метрическое пространство
- Статистическое расстояние
Рекомендации- ^ Metryka Pomiarowa, przykłady zastosowań aproksymacyjnych w Mechanice doświadczalnej (Метрика измерений, примеры аппроксимации в экспериментальной механике) , докторская диссертация , Шимон Лукашик (автор), Войцех Кармовский (научный руководитель), Технический университет, 31 декабря 2001 г. , завершено 31 марта 2004 г.
- ^ Новая концепция вероятностной метрики и ее применения в аппроксимации разрозненных наборов данных , Лукашик Шимон, Computational Mechanics Volume 33, Number 4, 299–304, Springer-Verlag 2003 doi : 10.1007 / s00466-003-0532-2
- ^ The Number Sense: How the Mind Creates Mathematics , Stanislas Dehaene, Oxford University Press, США, 1999, ISBN 0-19-513240-8 , стр. 73–75.
- ^ Флориан Хогевинд, Питер Биссолли (2010) Оперативные карты среднемесячной температуры для Региона VI ВМО (Европа и Ближний Восток) , IDŐJÁRÁS, Ежеквартальный журнал Венгерской метеорологической службы, Vol. 115, № 1-2, январь – июнь 2011 г., стр. 31-49, с. 41 год
- ^ Ганг Менг, Джейн Лоу, Мэри Э. Томпсон (2010) «Маломасштабное получение показателей, связанных со здоровьем, с использованием вторичной пространственной интерполяции данных» , Международный журнал географии здравоохранения , 9:50 doi : 10.1186 / 1476-072X-9-50
- ^ Ганг Мэн (2010) Социальные и пространственные детерминанты неравенства неблагоприятных исходов родов в социально развитых обществах , диссертация (доктор философии по планированию), Университет Ватерлоо, Канада,
- ^ Časlav Брукнер, О квантовой задаче измерения , часть книги серии Frontiers Collection (FRONTCOLL), 16 ноября 2016
- ^ Časlav Брукнер, Нет-Go теорема для наблюдателя-независимых фактов , Энтропия 2018, 20 (5), 350; https://doi.org/10.3390/e20050350
- ^ Массимилиано Proietti, Александр Pickston, Франческо Graffitti, Питер Барроу, Дмитрий Kundys, Кирилл Branciard, Мартин Ringbauer, Алессандро Fedrizzi, Экспериментальная проверка локальной независимости наблюдателя , развития науки 20 сен 2019, Vol. 5, вып. 9, eaaw9832, DOI: 10.1126 / sciadv.aaw9832