Электромагнитный потенциал является релятивистская вектор - функция , из которой электромагнитное поле может быть получено. Он объединяет как электрический скалярный потенциал, так и магнитный векторный потенциал в один четырехвектор . [1]
При измерении в данной системе отсчета и для данного датчика первая составляющая электромагнитного четырехпотенциала обычно принимается как электрический скалярный потенциал, а другие три составляющие составляют магнитный векторный потенциал. Хотя и скалярный, и векторный потенциал зависят от системы отсчета, электромагнитный четырехпотенциал лоренц-ковариантен .
Как и другие потенциалы, много различных электромагнитных четырехпотенциалов соответствуют одному и тому же электромагнитному полю, в зависимости от выбора калибра.
В этой статье используется обозначение тензорного индекса и соглашение о знаках метрики Минковского (+ - - -) . См. Также ковариацию и контравариантность векторов, а также повышающие и понижающие индексы для получения более подробной информации об обозначениях. Формулы даны в единицах СИ и гауссовых единицах cgs .
Определение
Электромагнитный потенциал может быть определен как: [2]
Единицы СИ Гауссовские единицы
в котором ϕ - электрический потенциал , а A - магнитный потенциал ( векторный потенциал ). Единицы измерения A α - В · с · м −1 в СИ и Mx · см −1 в гауссовых сгс .
Электрические и магнитные поля, связанные с этими четырьмя потенциалами, следующие: [3]
Единицы СИ Гауссовские единицы
В специальной теории относительности электрическое и магнитное поля преобразуются под действием преобразований Лоренца . Это можно записать в виде тензора - тензора электромагнитного поля . Это записывается в терминах электромагнитного четырехпотенциала и четырехградиента как:
предполагая, что сигнатура метрики Минковского равна (+ - - -). Если указанная подпись вместо (- + + +), то. Это по существу определяет четырехпотенциал в терминах физически наблюдаемых величин, а также сводится к приведенному выше определению.
В шкале Лоренца
Часто условие калибровки Лоренца в инерциальной системе отсчета используется для упрощения уравнений Максвелла следующим образом: [2]
Единицы СИ Гауссовские единицы
где J α - составляющие четырехтока , а
- оператор Даламбера . В терминах скалярного и векторного потенциалов это последнее уравнение принимает следующий вид:
Единицы СИ Гауссовские единицы
Для данного распределения заряда и тока, ρ ( r , t ) и j ( r , t ) , решения этих уравнений в единицах СИ следующие: [3]
где
это запаздывающее время . Иногда это также выражается с помощью
где квадратные скобки означают, что время следует оценивать для запаздывающего времени. Конечно, поскольку приведенные выше уравнения являются просто решением неоднородного дифференциального уравнения , любое решение однородного уравнения может быть добавлено к ним, чтобы удовлетворить граничным условиям . Эти однородные решения в общем случае представляют собой волны, распространяющиеся от источников за пределами границы.
Когда приведенные выше интегралы оцениваются для типичных случаев, например, для колеблющегося тока (или заряда), обнаруживается, что они дают как составляющую магнитного поля, изменяющуюся в соответствии с r −2 ( поле индукции ), так и составляющую, уменьшающуюся как r −1 ( поле излучения ). [ требуется разъяснение ]
Свобода измерения
Когда уплощенные к одной форме , можно разложить с помощью Hodge разложения теоремы в виде суммы с точным , в коточном и гармонической форме,
- .
В A существует калибровочная свобода в той из трех форм в этом разложении, только совпадающая форма имеет какое-либо влияние на электромагнитный тензор
- .
Точные формы закрыты, как и гармонические формы в соответствующей области, поэтому а также , всегда. Итак, независимо от того, что а также мы остаемся просто
- .
Смотрите также
- Четыре вектора
- Ковариантная формулировка классического электромагнетизма
- Уравнения Ефименко
- Глюонное поле
Рекомендации
- Перейти ↑ Gravitation, JA Wheeler, C. Misner, KS Thorne, WH Freeman & Co, 1973, ISBN 0-7167-0344-0
- ^ а б Ди-джей Гриффитс (2007). Введение в электродинамику (3-е изд.). Pearson Education, Дорлинг Киндерсли. ISBN 978-81-7758-293-2.
- ^ а б И. С. Грант, В. Р. Филлипс (2008). Электромагнетизм (2-е изд.). Manchester Physics, John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-92712-9.
- Риндлер, Вольфганг (1991). Введение в специальную теорию относительности (2-е) . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-853952-5.
- Джексон, JD (1999). Классическая электродинамика (3-е) . Нью-Йорк: Вили. ISBN 0-471-30932-X.