число алеф
В математике , особенно в теории множеств , числа алеф представляют собой последовательность чисел, используемую для представления мощности (или размера) бесконечных множеств , которые могут быть хорошо упорядочены . Они были введены математиком Георгом Кантором [1] и названы в честь символа, который он использовал для их обозначения, еврейской буквы алеф ( ). [2] [а]
Мощность натуральных чисел равна (читай алеф-ноль или алеф-ноль ; иногда также используется термин алеф-нуль ), следующая большая мощность хорошо упорядоченного множества равна алеф-единица, затем и так далее. Продолжая в том же духе, можно определить кардинальное число для каждого порядкового числа , как описано ниже.
Концепция и обозначения принадлежат Георгу Кантору [5] , который определил понятие мощности и понял, что бесконечные множества могут иметь различную мощность .
Числа алеф отличаются от бесконечности ( ), обычно встречающейся в алгебре и исчислении, тем, что алефы измеряют размеры множеств, в то время как бесконечность обычно определяется либо как крайний предел прямой числовой линии (применительно к функции или последовательности , которая « расходится до бесконечности» или «безгранично возрастает»), или как крайняя точка расширенной прямой с действительными числами .
(алеф-ноль, также алеф-ноль или алеф-нуль) — это мощность множества всех натуральных чисел и бесконечный кардинал . Множество всех конечных ординалов , называемое или (где строчная греческая буква омега ), имеет мощность Множество имеет мощность тогда и только тогда, когда оно счетно бесконечно , то есть существует биекция (однозначное соответствие) между это и натуральные числа. Примеры таких наборов:
