Алгебраическая поверхность

В математике , алгебраическая поверхность представляет собой алгебраическое многообразие из размерности два. В случае геометрии над полем комплексных чисел алгебраическая поверхность имеет комплексную размерность два (как комплексное многообразие , когда она неособая ) и, следовательно, размерность четыре как гладкое многообразие .

Теория алгебраических поверхностей намного сложнее, чем теория алгебраических кривых (включая компактные римановы поверхности , которые являются подлинными поверхностями (действительной) размерности два). Однако многие результаты были получены в итальянской школе алгебраической геометрии , и им до 100 лет.

Классификация по измерению Кодаира [ править ]

В случае размерности один многообразия классифицируются только топологическим родом , но размерность два, разница между арифметическим родом и геометрическим родом оказывается важной, потому что мы не можем различить бирационально только топологический род. Затем мы вводим неправильность их классификации. Краткое изложение результатов (подробно, для каждого типа поверхности относится к каждому перенаправлению) следующее:${\ displaystyle p_ {a}}$ ${\ displaystyle p_ {g}}$

Примеры алгебраических поверхностей включают (κ - размерность Кодаира ):

• κ = -∞: проективная плоскость , квадрика в Р ³ , кубические поверхности , Веронез поверхность , поверхности дель Пеццо , линейчатые поверхности
• κ = 0: поверхности K3 , абелевы поверхности , поверхности Энриквеса , гиперэллиптические поверхности.
• κ = 1: эллиптические поверхности
• κ = 2: поверхности общего типа .

Дополнительные примеры см. В списке алгебраических поверхностей .

Первые пять примеров фактически бирационально эквивалентны . То есть, например, кубическая поверхность имеет функциональное поле, изоморфное полю проективной плоскости , являющееся рациональными функциями от двух неопределенностей. Декартово произведение двух кривых также дает примеры.

Бирациональная геометрия поверхностей [ править ]

Бирациональная геометрия алгебраических поверхностей богата, из - за раздутие (также известный как моноидальное преобразование ), в соответствии с которым точкой заменяются на кривой все предельные касательных направления , входящих в нее (а проективная линии ). Некоторые кривые также могут быть разрушены , но есть ограничение (число самопересечения должно быть -1).

Теорема Кастельнуово [ править ]

Одной из основных теорем бирациональной геометрии поверхностей является теорема Кастельнуово . Это утверждает, что любое бирациональное отображение между алгебраическими поверхностями задается конечной последовательностью раздутий и раздутий.

Свойства [ править ]

Критерий Накаи говорит , что:

Дивизор D на поверхности S обилен тогда и только тогда, когда D ² > 0 и для любой неприводимой кривой C на S D • C> 0.

Обильные дивизоры обладают хорошим свойством, например, обратным движением некоторого гиперплоского расслоения проективного пространства, свойства которого очень хорошо известны. Пусть абелева группа , состоящая из всех делителей на S . Тогда по теореме о пересечении${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} (S)}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} (S) \ times {\ mathcal {D}} (S) \ rightarrow \ mathbb {Z}: (X, Y) \ mapsto X \ cdot Y}$

рассматривается как квадратичная форма . Позволять

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{0}(S):=\{D\in {\mathcal {D}}(S)|D\cdot X=0,{\text{for all }}X\in {\mathcal {D}}(S)\}}$

затем становится быть числовым эквивалентом группа классов из S и${\displaystyle {\mathcal {D}}/{\mathcal {D}}_{0}(S):=Num(S)}$

${\displaystyle Num(S)\times Num(S)\mapsto \mathbb {Z} =({\bar {D}},{\bar {E}})\mapsto D\cdot E}$

также становится быть квадратичной формой на , где есть образ делителя D на S . (Ниже изображение сокращенно D. )${\displaystyle Num(S)}$${\displaystyle {\bar {D}}}$${\displaystyle {\bar {D}}}$

Для обильного расслоения H на S определение

${\displaystyle \{H\}^{\perp }:=\{D\in Num(S)|D\cdot H=0\}.}$

приводит теорему об индексе Ходжа поверхностной версии.

для , т.е. является отрицательно определенной квадратичной формой.${\displaystyle D\in \{\{H\}^{\perp }|D\neq 0\},D\cdot D<0}$${\displaystyle \{H\}^{\perp }}$

Эта теорема доказывается с помощью критерия Накаи и теоремы Римана-Роха для поверхностей. Для всех дивизор в этой теореме верен. Эта теорема является не только инструментом для исследования поверхностей, но также используется для доказательства гипотезы Вейля Делиня, поскольку она верна для алгебраически замкнутого поля.${\displaystyle \{H\}^{\perp }}$

Основные результаты по алгебраическим поверхностям включают теорему об индексе Ходжа и разделение на пять групп классов бирациональной эквивалентности, называемое классификацией алгебраических поверхностей . Класс общего типа , размерности Кодаиры 2, очень велик (например, степень 5 или выше для неособой поверхности в P ³ ).

Существуют три существенных инварианта числа Ходжа поверхности. Из них h ^1,0 классически называли неправильностью и обозначали q ; а h ^2,0 был назван геометрическим родом p _g . Третий, h ^1,1 , не является бирациональным инвариантом , потому что раздутие может добавить целые кривые с классами в H ^1,1 . Известно, что циклы Ходжа алгебраичны и что алгебраическая эквивалентность совпадает с гомологической эквивалентностью , так что h^1,1 - это верхняя оценка ρ, ранга группы Нерона-Севери . Арифметического рода р разница

геометрический род - неправильность.

Фактически это объясняет, почему нерегулярность получила свое название как своего рода «термин ошибки».

Теорема Римана-Роха для поверхностей [ править ]

Теорема Римана-Роха для поверхностей была впервые сформулирована Максом Нётером . Семейства кривых на поверхностях можно в некотором смысле классифицировать, что дает основание для большей части их интересной геометрии.

Ссылки [ править ]

• Долгачев И.В. (2001) [1994], "Алгебраическая поверхность" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Зариски, Оскар (1995), Алгебраические поверхности , Классика в математике, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-58658-6, Руководство по ремонту  1336146

Внешние ссылки [ править ]

• Бесплатная программа SURFER для визуализации алгебраических поверхностей в реальном времени, включая пользовательскую галерею.
• SingSurf - интерактивная программа для трехмерного просмотра алгебраических поверхностей.
• Страница по алгебраическим поверхностям открыта в 2008 г.
• Обзор и мысли по проектированию алгебраических поверхностей