Шестидесятеричная , также известный как основание 60 или шестидесятилетняя , [1] является системой счисления с шестьюдесятью в качестве своей базы . Он возник у древних шумеров в 3-м тысячелетии до нашей эры, был передан древним вавилонянам и до сих пор используется - в измененной форме - для измерения времени , углов и географических координат .
Число 60, высшее составное число , имеет двенадцать факторов , а именно 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 и 60, из которых 2, 3 и 5 простые. числа . С таким количеством факторов многие дроби, включающие шестидесятеричные числа, упрощаются. Например, один час можно равномерно разделить на части по 30 минут, 20 минут, 15 минут, 12 минут, 10 минут, 6 минут, 5 минут, 4 минуты, 3 минуты, 2 минуты и 1 минуту. 60 - наименьшее число, которое делится на каждое число от 1 до 6; то есть это наименьшее общее кратное для 1, 2, 3, 4, 5 и 6.
- В этой статье все шестидесятеричные цифры представлены как десятичные числа, если не указано иное. Например, 10 означает число десять, а 60 означает число шестьдесят .
Источник
Используя большой палец и указывая по очереди на каждую из трех костей каждого пальца, люди могут сосчитать на пальцах до 12 на одной руке. Традиционная система счета, которая все еще используется во многих регионах Азии, работает таким же образом и может помочь объяснить появление систем счисления, основанных на 12 и 60, помимо систем, основанных на 10, 20 и 5. В этой системе другая рука человека. подсчитают, сколько раз было достигнуто 12 на их собственном опыте. Пять пальцев составляют пять подходов по 12 или шестьдесят. [2] [3] Однако вавилонская шестидесятеричная система основывалась на шести группах по десять, а не на пяти группах по двенадцать.
По словам Отто Нойгебауэра , истоки шестидесятеричного числа не так просты, последовательны или единичны во времени, как их часто изображают. На протяжении многих веков их использования, которое продолжается и по сей день для специализированных тем, таких как время, углы и астрономические системы координат, шестидесятеричные обозначения всегда содержали сильную скрытую часть десятичных чисел, например, в том, как записываются шестидесятеричные числа. Их использование также всегда включало (и продолжает включать) несоответствия в том, где и как различные основы должны представлять числа даже в пределах одного текста. [4]
Самым мощным стимулом для строгого, полностью последовательного использования шестидесятеричного числа всегда были его математические преимущества для записи и вычисления дробей. В древних текстах это проявляется в том, что шестидесятеричное число используется наиболее единообразно и последовательно в математических таблицах данных. [4] Еще одним практическим фактором, который помогал расширить использование шестидесятеричного числа в прошлом, даже хотя и менее последовательно, чем в математических таблицах, было то, что оно было очевидным преимуществом для торговцев и покупателей в плане упрощения повседневных финансовых операций, когда они включали торги и разделение больших объемов товары. В частности, ранний шекель составлял одну шестидесятую часть маны [4], хотя позже греки вынудили это отношение к более совместимому с основанием 10 соотношению, когда шекель составлял одну пятидесятую мины .
Помимо математических таблиц, несоответствия в том, как числа были представлены в большинстве текстов, распространились вплоть до самых основных клинописных символов, используемых для представления числовых величин. [4] Например, клинописный символ для 1 представлял собой эллипс, полученный путем приложения закругленного конца стилуса под углом к глине, в то время как шестидесятеричный символ для 60 был большим овалом или «большой 1». Но в тех же текстах, в которых использовались эти символы, число 10 было представлено как круг, образованный путем применения круглого конца стиля, перпендикулярного глине, а больший круг или «большая 10» использовался для обозначения 100. Такие многоосновные числовые количественные символы могут быть смешаны друг с другом и с сокращениями, даже в пределах одного числа. Детали и даже предполагаемые величины (поскольку ноль использовался непоследовательно) были идиоматичными для конкретных периодов времени, культур и количества или представленных концепций. Хотя такие контекстно-зависимые представления числовых величин легко критиковать в ретроспективе, в наше время у нас все еще есть десятки регулярно используемых примеров тематического базового смешения, включая недавнее нововведение добавления десятичных дробей к шестидесятеричным астрономическим координатам. [4]
Применение
Вавилонская математика
Шестидесятеричная система, использовавшаяся в древней Месопотамии, не была чистой системой с основанием 60, в том смысле, что она не использовала 60 различных символов для своих цифр . Вместо этого клинописные цифры использовали десять в качестве подосновы в виде знаковой записи : шестидесятеричная цифра состояла из группы узких клиновидных знаков, представляющих единицы до девяти (, , , , ..., ) и группу широких клиновидных знаков, представляющих до пяти десятков (, , , , ). Значение цифры представляло собой сумму значений составляющих ее частей:
Числа больше 59 были обозначены несколькими блоками символов этой формы в обозначении разряда . Поскольку не было символа для нуля, не всегда сразу очевидно, как следует интерпретировать число, и его истинное значение иногда должно было определяться его контекстом. Например, символы 1 и 60 идентичны. [5] [6] В более поздних вавилонских текстах использовался заполнитель () для обозначения нуля, но только в средних положениях, а не в правой части числа, как мы это делаем с числами вроде 13 200 . [6]
Другие исторические обычаи
В китайском календаре , A шестидесятилетний цикл обычно используется, в какие дни или годы названы позиции в последовательности десяти стеблей и в другой последовательности из 12 ветвей. Один и тот же стебель и ветка повторяются каждые 60 шагов в этом цикле.
Книга VIII в Plato «s Республики включает аллегория брака с центром на число 60 4 =12 960 000 и его делители. Это число имеет особенно простое шестидесятеричное представление 1,0,0,0,0. Позднее ученые использовали как вавилонскую математику, так и теорию музыки, пытаясь объяснить этот отрывок. [7]
Птолемей «s Альмагест , трактат по математической астрономии написанной во втором веке нашей эры, использует базу 60 выразить дробные части чисел. В частности, его таблица аккордов , которая была, по сути, единственной обширной тригонометрической таблицей за более чем тысячелетие, имеет дробные части градуса с основанием 60.
Средневековые астрономы также использовали шестидесятеричные числа для обозначения времени. Аль-Бируни сначала разделил час по половому признаку на минуты , секунды , трети и четверти из 1000, обсуждая еврейские месяцы. [8] Около 1235 года Иоанн Сакробоско продолжил эту традицию, хотя Нотафт считал, что Сакробоско был первым, кто это сделал. [9] Парижская версия таблиц Альфонса (ок. 1320 г.) использовала день как базовую единицу времени, записывая кратные и дробные числа дня в системе счисления с основанием 60. [10]
Шестидесятеричная система счисления продолжала часто использоваться европейскими астрономами для выполнения вычислений вплоть до 1671 года. [11] Например, Йост Бюрджи в Fundamentum Astronomiae (представлен императору Рудольфу II в 1592 году), его коллега Урсус в Fundamentum Astronomicum и, возможно, Также Генри Бриггс использовал таблицы умножения на основе шестидесятеричной системы в конце 16 века для вычисления синусов. [12]
В конце восемнадцатого и начале девятнадцатого века было обнаружено, что тамильские астрономы производили астрономические вычисления, считая снаряды, используя смесь десятичной и шестидесятеричной системы счисления, разработанную эллинистическими астрономами. [13]
Системы счисления с основанием 60 также использовались в некоторых других культурах, не имеющих отношения к шумерам, например, у народа экари в Западной Новой Гвинее . [14] [15]
Современное использование
В настоящее время шестидесятеричная система используется для измерения углов , географических координат , электронной навигации и времени . [16]
Один час времени делится на 60 минут , а одна минута делится на 60 секунд. Таким образом, измерение времени, такое как 3:23:17 (3 часа, 23 минуты и 17 секунд), можно интерпретировать как целое шестидесятеричное число (без шестидесятеричной точки), что означает 3 × 60 2 + 23 × 60 1 + 17 × 60 0 секунд . Однако каждая из трех шестидесятеричных цифр в этом числе (3, 23 и 17) записана в десятичной системе счисления.
Точно так же практическая единица измерения угла - это градус , из которых 360 (шестьдесят шестьдесят градусов ) в круге. Есть 60 минут дуги в определенной степени, и 60 угловых секунд в минуту.
YAML
В версии 1.1 [17] в YAML формате хранения данных, sexagesimals поддерживаются для простых скаляров, и формально определены как для целых чисел [18] и чисел с плавающей точкой. [19] Это привело к путанице, так как, например, некоторые MAC-адреса будут распознаваться как шестидесятичные и загружаться как целые числа, а другие - нет и загружаться как строки. В YAML 1.2 была прекращена поддержка шестидесятичных чисел. [20]
Обозначения
В эллинистических греческих астрономических текстах, таких как труды Птолемея , шестидесятеричные числа записывались с использованием греческих буквенных цифр , причем каждая шестидесятеричная цифра рассматривалась как отдельное число. Эллинистические астрономы приняли новый символ нуля,, который на протяжении веков трансформировался в другие формы, включая греческую букву омикрон, ο, обычно означающую 70, но допустимую в шестидесятеричной системе, где максимальное значение в любой позиции составляет 59. [21] [22] Греки ограничили свое использование шестидесятеричные числа к дробной части числа. [23]
В средневековых латинских текстах шестидесятеричные числа записывались арабскими цифрами ; различные уровни дробей обозначались minuta (т.е. дробь), minuta secunda , minuta tertia и т. д. К семнадцатому веку стало обычным обозначать целую часть шестидесятеричных чисел нулем с надстрочным индексом, а различные дробные части - единицей или единицей. больше акцентных знаков. Джон Уоллис в своей книге Mathesis universalis обобщил эту нотацию, включив в нее более высокие значения, кратные 60; приведя в качестве примера число 49 ‵ ‵ ‵ ‵ 36 ‵ ‵ ‵ 25‵‵15‵1 ° 15′2 ″ 36 ‴ 49 ⁗ ; где числа слева умножаются на более высокие степени 60, числа справа делятся на степени 60, а число, отмеченное верхним индексом нуля, умножается на 1. [24] Это обозначение приводит к современным знакам для градусы, минуты и секунды. Та же самая номенклатура минут и секунд также используется для единиц времени, а современные обозначения времени с часами, минутами и секундами, записанными в десятичном формате и отделенными друг от друга двоеточиями, могут интерпретироваться как форма шестидесятеричной записи.
В некоторых системах употребления каждая позиция после шестидесятеричной запятой была пронумерована с использованием латинских или французских корней: prime или primus , second или secundus , tierce , quatre , quinte и т. Д. По сей день мы называем часть часа второго порядка или степени «секунда». По крайней мере, до 18 века,1/60секунды назывался «ярус» или «третий». [25] [26]
В 1930-х годах Отто Нойгебауэр ввел современную систему обозначений для вавилонских и эллинистических чисел, которая заменяет современные десятичные обозначения от 0 до 59 в каждой позиции, используя точку с запятой (;) для разделения целой и дробной частей числа и используя запятую. (,) для разделения позиций в каждой части. [27] Например, средний синодический месяц, используемый как вавилонскими, так и эллинистическими астрономами и все еще используемый в еврейском календаре, составляет 29; 31,50,8,20 дней. Эти обозначения используются в данной статье.
Дроби и иррациональные числа
Фракции
В системе шестидесятеричной, любой фракции , в которой знаменатель является регулярным числом (имеющий только 2, 3 и 5 в его простые множители ) может быть выражено точно. [28] Здесь показаны все дроби этого типа, знаменатель которых меньше или равен 60:
- 1 ⁄ 2 = 0; 30
- 1 ⁄ 3 = 0; 20
- 1 ⁄ 4 = 0; 15
- 1 ⁄ 5 = 0; 12
- 1 ⁄ 6 = 0; 10
- 1 ⁄ 8 = 0; 7,30
- 1 / 9 = 0; 6,40
- 1 ⁄ 10 = 0; 6
- 1 ⁄ 12 = 0; 5
- 1 ⁄ 15 = 0; 4
- 1 ⁄ 16 = 0; 3,45
- 1 ⁄ 18 = 0; 3,20
- 1 ⁄ 20 = 0; 3
- 1 ⁄ 24 = 0; 2,30
- 1 ⁄ 25 = 0; 2,24
- 1 ⁄ 27 = 0; 2,13,20
- 1 ⁄ 30 = 0; 2
- 1 ⁄ 32 = 0; 1,52,30
- 1 ⁄ 36 = 0; 1,40
- 1 ⁄ 40 = 0; 1,30
- 1 ⁄ 45 = 0; 1,20
- 1 ⁄ 48 = 0; 1,15
- 1 ⁄ 50 = 0; 1,12
- 1 ⁄ 54 = 0; 1,6,40
- 1 ⁄ 60 = 0; 1
Однако числа, которые не являются правильными, образуют более сложные повторяющиеся дроби . Например:
- 1 ⁄ 7 = 0; 8,34,17 (полоса указывает последовательность шестидесятеричных цифр 8,34,17 повторяется бесконечно много раз)
- 1 ⁄ 11 = 0; 5,27,16,21,49
- 1 ⁄ 13 = 0; 4,36,55,23
- 1 ⁄ 14 = 0; 4, 17,8,34
- 1 ⁄ 17 = 0; 3,31,45,52,56,28,14,7
- 1 ⁄ 19 = 0; 3,9,28,25,15,47,22,6,18,56,50,31,34,44,12,37,53,41
- 1 ⁄ 59 = 0; 1
- 1 ⁄ 61 = 0; 0,59
Тот факт, что два числа, примыкающие к шестидесяти, 59 и 61, являются простыми числами, означает, что дроби, повторяющиеся с периодом в одну или две шестидесятеричные цифры, могут иметь только обычные числа, кратные 59 или 61 в качестве знаменателя, и что в других нерегулярных числах дроби повторяются с более длинным периодом.
Иррациональные числа
Представления иррациональных чисел в любой позиционной системе счисления (включая десятичную и шестидесятеричную) не прекращаются и не повторяются .
Квадратный корень из 2 , длина диагонали в виде единичного квадрата , аппроксимировались Вавилонянами старого вавилонского периода ( 1900 г. до н.э. - 1650 г. до н.э. ) , как
- [29]
Поскольку √ 2 ≈ 1,414 213 56 ... является иррациональным числом , его нельзя точно выразить в шестидесятеричной системе (или любой другой системе с основанием целого числа), но его шестидесятеричное расширение действительно начинается с 1; 24,51,10,7,46,6,4, 44 ... ( OEIS : A070197 )
Значение π, используемое греческим математиком и ученым Птолемеем, было 3; 8,30 = 3 + 8/60 + 30/60 2 знак равно 377/120 ≈ 3,141 666 .... [30] Джамшид аль-Каши , персидский математик 15 века , вычислил 2 π как шестидесятеричное выражение до его правильного значения при округлении до девяти долей цифр (таким образом, чтобы 1/60 9); его значение для 2 π было 6; 16,59,28,1,34,51,46,14,50. [31] [32] Как и √ 2 выше, 2 π является иррациональным числом и не может быть точно выражено шестидесятеричным числом. Его шестидесятеричное расширение начинается с 6; 16,59,28,1,34,51,46,14,49,55,12,35 ... ( OEIS : A091649 )
Смотрите также
- Часы
- Широта
- Тригонометрия
Рекомендации
- ^ Выраженный / с ɛ к s ə dʒ ɛ с ɪ м əl / и / с ɛ к s æ dʒ ɪ п ər I / ; см. «шестидесятеричный» , Oxford English Dictionary (Online ed.), Oxford University Press ( требуется подписка или членство в учреждении-участнике )
- ^ Ифра, Жорж (2000), Всеобщая история чисел: от предыстории до изобретения компьютера. , Джон Уайли и сыновья , ISBN 0-471-39340-1. Перевод с французского Дэвида Беллоса, Э. Ф. Хардинга, Софи Вуд и Яна Монка.
- ^ Мейси, Сэмюэл Л. (1989), Динамика прогресса: время, метод и мера , Атланта, Джорджия: University of Georgia Press, стр. 92, ISBN 978-0-8203-3796-8
- ^ а б в г д Нойгебауэр, О. (1969), «Точные науки в древности», Acta Historica Scientiarum Naturalium et Medicinalium , Dover, 9 : 17–19, ISBN 0-486-22332-9, PMID 14884919
- ^ Белло, Игнасио; Бриттон, Джек Р .; Каул, Антон (2009), Topics in Contemporary Mathematics (9 ed.), Cengage Learning, p. 182, ISBN 9780538737791.
- ^ а б Лэмб, Эвелин (31 августа 2014 г.), «Смотри, мама, нет нуля!» , Scientific American , Корни единства
- ^ Бартон, Джордж А. (1908), «О вавилонского происхождении брачного числа Платона», Журнал Американского восточного общества , 29 : 210-219, DOI : 10,2307 / 592627 , JSTOR 592627. Макклейн, Эрнест Г .; Платон (1974), "Музыкальные "Браки" в Платоне "Республика " ", Журнал теории музыки , 18 (2): 242-272, DOI : 10,2307 / 843638 , JSTOR 843638
- ^ Аль-Бируни (1879) [1000], Хронология древних народов , переведенная Сахау, К. Эдвард, стр. 147–149.
- ^ Нотафт, К. Филипп Э. (2018), Скандальная ошибка: реформа календаря и календарная астрономия в средневековой Европе , Оксфорд: Oxford University Press, стр. 126, ISBN 9780198799559,
Сакробоско переключился на шестидесятеричные дроби, но сделал их более подходящими для вычислительного использования, применив их не к дню, а к часу, тем самым открыв использование часов, минут и секунд, которые все еще преобладают в двадцать первом веке.
- ^ Нотафт, К. Филипп Э. (2018), Скандальная ошибка: реформа календаря и календарная астрономия в средневековой Европе , Оксфорд: Oxford University Press, стр. 196, ISBN 9780198799559,
Одной примечательной особенностью таблиц альфонсов в их латинско-парижском воплощении является строгая «шестидесятеричная» всех табличных параметров, поскольку… движения и временные интервалы последовательно растворялись в кратные по основанию 60 и доли дней или градусов.
- ^ Ньютон, Исаак (1671), Метод потоков и бесконечных рядов: с его применением к геометрии кривых линий. , Лондон : Генри Вудфол (опубликовано в 1736 г.), стр. 146,
Самый замечательный из них является шестидесятилетним или шестидесятеричным Шкало арифметики, частого использования среди астрономов, которое выражает все возможные номера, Целые или фракции, Rational или Surd, по полномочиям Шестьдесят , и некоторые числовые коэффициенты , не превышающее пятьдесят девять.
- ^ Фолкертс, Менсо; Лаунерт, Дитер; Том, Андреас (2016), «Метод Йоста Бюрджи для вычисления синусов», Historia Mathematica , 43 (2): 133–147, arXiv : 1510.03180 , doi : 10.1016 / j.hm.2016.03.001 , MR 3489006 , S2CID 119326088
- ^ Нойгебауер, Отто (1952), "Тамил Астрономия: Исследование в истории астрономии в Индии", Осирис , 10 : 252-276, DOI : 10,1086 / 368555; перепечатано в Нойгебауэр, Отто (1983), Астрономия и история: Избранные очерки , Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 0-387-90844-7
- ^ Бауэрс, Нэнси (1977), «Нумерация Капауку: Расчеты, расизм, стипендии и меланезийские системы подсчета» (PDF) , Журнал Полинезийского общества , 86 (1): 105–116, заархивировано из оригинала (PDF) в 2009 г. -03-05
- ^ Лин, Глендон Ангов (1992), Системы подсчета Папуа-Новой Гвинеи и Океании , доктор философии. дипломная работа Технологического университета Папуа-Новой Гвинеи , архивировано с оригинала 05.09.2007.. См. Особенно главу 4, заархивированную 28 сентября 2007 г. на Wayback Machine .
- ^ «Шестидесятеричная система», SpringerReference , Берлин / Гейдельберг: Springer-Verlag, 2011 г., DOI : 10.1007 / springerreference_78190
- ^ http://yaml.org/spec/1.1/
- ^ http://yaml.org/type/int.html
- ^ http://yaml.org/type/float.html
- ^ Орен Бен-Кики; Кларк Эванс; Брайан Ингерсон (01.10.2009), "YAML Ain't Markup Language (YAML ™) Version 1.2 (3-е издание, исправлено 01.10.2009) §10.3.2 Разрешение тегов" , официальный веб-сайт YAML , получено 2019-01-30
- ^ Нойгебауэр, Отто (1969) [1957], «Точные науки в древности» (2-е изд.), Dover Publications , стр. 13–14, пластина 2, ISBN 978-0-486-22332-2, PMID 14884919
- ^ Mercier, Raymond, «Рассмотрение греческого символа„ноль “ » (PDF) , Дом Кайрос
- ^ Aaboe, Asger (1964), Episodes from the Early History of Mathematics , New Mathematical Library, 13 , New York: Random House, стр. 103–104
- ^ Каджори, Флориан (2007) [1928], История математических обозначений , 1 , Нью-Йорк: Cosimo, Inc., стр. 216, ISBN 9781602066854
- ^ Уэйд, Николас (1998), Естественная история зрения , MIT Press, стр. 193, ISBN 978-0-262-73129-4
- ^ Льюис, Роберт Э. (1952), Среднеанглийский словарь , издательство Мичиганского университета, стр. 231, ISBN 978-0-472-01212-1
- ^ Нойгебауэр, Отто ; Сакс, Авраам Джозеф ; Гетце, Альбрехт (1945), Математические клинописные тексты , American Oriental Series, 29 , Нью-Хейвен: Американское восточное общество и американские школы восточных исследований, стр. 2
- ^ Нойгебауэр, Отто Э. (1955), Astronomical Cuneiform Texts , London: Lund Humphries
- ^ Фаулер, Дэвид ; Robson, Элеонора (1998), "Квадратный корень приближения в старых вавилонской математике: YBC 7289 в контексте", Historia Mathematica , 25 (4): 366-378, DOI : 10,1006 / hmat.1998.2209 , MR 1662496
- ^ Toomer, GJ , ed. (1984), Альмагест Птолемея , Нью-Йорк: Springer Verlag, стр. 302, ISBN 0-387-91220-7
- ^ Ющкевич, Адольф П., «Аль-Каши», в Розенфельде, Борис А. (ред.), Словарь научной биографии , с. 256.
- ^ Aaboe (1964) , стр. 125
дальнейшее чтение
- Ифра, Жорж (1999), Всеобщая история чисел: от предыстории до изобретения компьютера , Wiley, ISBN 0-471-37568-3.
- Nissen, Hans J .; Damerow, P .; Инглунд, Р. (1993), Архаическая бухгалтерия , Университет Чикаго, ISBN 0-226-58659-6
Внешние ссылки
- «Факты об исчислении градусов и минут» - это книга на арабском языке, написанная Сибу аль-Маридини, Бадр ад-Дин Мухаммад ибн Мухаммадом (р. 1423). Эта работа предлагает очень подробное рассмотрение шестидесятеричной математики и включает то, что кажется первым упоминанием о периодичности шестидесятеричных дробей.