В математической области численного анализа , многочлен Бернштейн является полиномом , который является линейной комбинацией бернштейновских базисных полиномов. Идея названа в честь Сергея Натановича Бернштейна .
Численно стабильный способ оценки полиномов Бернштейна формы является де алгоритмом Кастельжо в .
Многочлены в форме Бернштейна были впервые использованы Бернштейном в конструктивном доказательстве аппроксимационной теоремы Вейерштрасса . С появлением компьютерной графики многочлены Бернштейна, ограниченные интервалом [0, 1], стали важными в форме кривых Безье .
Определение
В п +1 Bernstein базисных многочленов степени п определяются как
где - биномиальный коэффициент . Так, например,
Первые несколько базисных полиномов Бернштейна для смешивания 1, 2, 3 или 4 значений:
В Бернштейн базисных многочленов степени п образуют основу для векторного пространства многочленов степени не выше n с действительными коэффициентами. Линейная комбинация базисных многочленов Бернштейна
называется многочленом Бернштейна или многочленом в форме Бернштейна степени n . [1] Коэффициентыназываются коэффициентами Бернштейна или коэффициентами Безье .
Первые несколько базисных полиномов Бернштейна сверху в мономиальной форме:
Характеристики
Базисные полиномы Бернштейна обладают следующими свойствами:
- , если или же
- для
- имеет корень с множественностью в точке (примечание: если , в 0 нет корня).
- имеет корень с множественностью в точке (примечание: если , в 1) нет корня.
- Производное может быть записана в виде комбинации двух многочленов меньшей степени:
- K: th производная в 0:
- K: th производная в 1:
- Преобразование полинома Бернштейна в мономы имеет вид
- и обратным биномиальным преобразованием обратное преобразование [2]
- Неопределенный интеграл дается выражением
- Определенный интеграл постоянен для данного n :
- Если , тогда имеет уникальный локальный максимум на интервале в . Этот максимум принимает значение
- Базисные полиномы Бернштейна степени образуют раздел единства :
- Взяв первый -производная от , лечение как константа, затем подставив значение , можно показать, что
- Аналогично второй -производная от , с участием снова затем заменил , показывает, что
- Многочлен Бернштейна всегда можно записать как линейную комбинацию многочленов более высокой степени:
- Разложение полиномов Чебышева первого рода в базис Бернштейна имеет вид [3]
Аппроксимация непрерывных функций
Пусть ƒ - непрерывная функция на отрезке [0, 1]. Рассмотрим полином Бернштейна
Можно показать, что
равномерно на отрезке [0, 1]. [4] [1] [5] [6]
Таким образом, полиномы Бернштейна обеспечивают один из способов доказательства аппроксимационной теоремы Вейерштрасса о том, что любую действительную непрерывную функцию на вещественном интервале [ a , b ] можно равномерно аппроксимировать полиномиальными функциями над . [7]
Более общее утверждение для функции с непрерывной k- й производной:
где дополнительно
является собственным значением из В п ; соответствующая собственная функция является многочленом степени k .
Вероятностное доказательство
Это доказательство следует оригинальному доказательству Бернштейна 1912 года. [8] См. Также Feller (1966) или Koralov & Sinai (2007). [9] [10]
Предположим, K - случайная величина, распределенная как количество успехов в n независимых испытаниях Бернулли с вероятностью x успеха в каждом испытании; другими словами, K имеет биномиальное распределение с параметрами n и x . Тогда у нас есть математическое ожидание а также
По слабому закону больших чисел в теории вероятностей ,
для любого δ > 0. Более того, это соотношение выполняется равномерно по x , что видно из его доказательства с помощью неравенства Чебышева с учетом того, что дисперсия 1 ⁄ n K , равная 1 ⁄ n x (1 - x ), ограничено сверху соотношением 1 ⁄ (4 n ) независимо от x .
Поскольку ƒ , будучи непрерывной на замкнутом ограниченном интервале, должна быть равномерно непрерывна на этом отрезке, один выводит заявление о форме
равномерно по x . Принимая во внимание , что ƒ ограничена (на заданном интервале), получаем для ожидания
равномерно по x . Для этого нужно разбить сумму ожидания на две части. С одной стороны, разница не превышает ε ; эта часть не может давать больше, чем ε . С другой стороны, разница превышает ε , но не превышает 2 M , где M - верхняя граница для | ƒ (x) |; эта часть не может давать вклад более чем в 2 M раз меньше малой вероятности того, что разница превышает ε .
Наконец, можно заметить, что абсолютное значение разницы между ожиданиями никогда не превышает ожидание абсолютного значения разницы, и
Элементарное доказательство
Вероятностное доказательство также может быть перефразировано элементарно, используя лежащие в его основе вероятностные идеи, но продолжая прямую проверку: [11] [12] [13] [14] [15]
Следующие личности могут быть проверены:
(1)
- ("вероятность")
(2)
- ("иметь в виду")
(3)
- («отклонение»)
Фактически, по биномиальной теореме
и это уравнение можно применить дважды к . Тождества (1), (2) и (3) легко следуют с помощью замены.
В рамках этих трех тождеств используйте указанную выше обозначение базисного полинома
и разреши
Таким образом, по тождеству (1)
чтобы
Поскольку функция f равномерно непрерывна, задано, Eсть такой, что в любое время . Более того, по преемственности. Но потом
Первая сумма меньше ε. С другой стороны, по тождеству (3) выше и поскольку, вторая сумма ограничена 2 M раз
Отсюда следует, что многочлены f n стремятся к f равномерно.
Обобщения на более высокое измерение
Многочлены Бернштейна можно обобщить до k измерений. Полученные многочлены имеют вид P i 1 ( x 1 ) P i 2 ( x 2 ) ... P i k ( x k ) . [16] В простейшем случае рассматриваются только произведения из единичного интервала [0,1] ; но с помощью аффинных преобразований прямой можно определить многочлены Бернштейна и для произведений [ a 1 , b 1 ] × [ a 2 , b 2 ] × ... × [ a k , b k ] . Для непрерывной функции f на k -кратном произведении единичного интервала доказательство того, что f ( x 1 , x 2 , ..., x k ) может быть равномерно аппроксимировано выражением
является прямым расширением доказательства Бернштейна в одном измерении. [17]
Смотрите также
- Полиномиальная интерполяция
- Форма Ньютона
- Форма Лагранжа
- Биномиальный QMF (также известный как вейвлет Добеши )
Заметки
- ^ a b Лоренц 1953
- ^ Mathar, RJ (2018). «Ортогональная базисная функция над единичной окружностью с минимаксным свойством». Приложение B. arXiv : 1802.09518 .
- ^ Рабаба, Абедаллах (2003). "Преобразование полиномиального базиса Чебышева-Бернштейна". Комп. Meth. Прил. Математика . 3 (4): 608–622. DOI : 10,2478 / CMAM-2003-0038 .
- ^ Натансон (1964) стр. 6
- ^ Феллер 1966
- ^ Билз 2004
- ^ Натансон (1964) стр. 3
- ^ Бернштейн 1912
- ^ Коралов, Л .; Синай, Ю. (2007). « « Вероятностное доказательство теоремы Вейерштрасса » ». Теория вероятностей и случайных процессов (2-е изд.). Springer. п. 29.
- ^ Феллер 1966
- Перейти ↑ Lorentz 1953 , pp. 5-6
- ^ Билз 2004
- ^ Голдберг 1964
- ^ Ахиезер 1956
- ^ Burkill 1959
- ^ Лоренц 1953
- ^ Hildebrandt, TH ; Шенберг, И. Дж. (1933), «О линейных функциональных операциях и проблеме моментов для конечного интервала в одном или нескольких измерениях» , Annals of Mathematics , 34 : 327
Рекомендации
- Бернштейн, С. (1912), "Демонстрация теории теории Вейерштрасса по исчислению вероятностей (Доказательство теоремы Вейерштрасса, основанное на исчислении вероятностей)" (PDF) , Comm. Харьковская математика. Soc. , 13 : 1-2, Английский перевод
- Лоренц, GG (1953), Полиномы Бернштейна , University of Toronto Press
- Ахиезер, Н. И. (1956), Теория приближения , перевод Чарльза Дж. Хаймана, Фредерика Унгара, стр. 30–31., Русское издание впервые опубликовано в 1940 г.
- Буркилл, Дж. К. (1959), Лекции по приближению полиномами (PDF) , Бомбей: Институт фундаментальных исследований Тата , стр. 7–8
- Голдберг, Ричард Р. (1964), Методы реального анализа , John Wiley & Sons, стр. 263–265.
- Чаглар, Хакан; Акансу, Али Н. (июль 1993 г.). «Обобщенный параметрический метод проектирования PR-QMF, основанный на приближении полиномов Бернштейна». Транзакции IEEE по обработке сигналов . 41 (7): 2314–2321. DOI : 10.1109 / 78.224242 . Zbl 0825.93863 .
- Коровкин, П.П. (2001) [1994], "Многочлены Бернштейна" , Энциклопедия математики , EMS Press
- Натансон, ИП (1964). Теория конструктивных функций. Том I: равномерное приближение . Перевод Алексея Николаевича Оболенского. Нью-Йорк: Фредерик Ангар. Руководство по ремонту 0196340 . Zbl 0133.31101 .
- Феллер, Уильям (1966), Введение в теорию вероятностей и ее приложения, Том II , John Wiley & Sons, стр. 149–150, 218–222.
- Билс, Ричард (2004), Анализ. Введение , Cambridge University Press , стр. 95–98, ISBN 0521600472
Внешние ссылки
- Кац, Марк (1938). "Une remarque sur les polynomes de MS Bernstein" . Studia Mathematica . 7 : 49–51. DOI : 10,4064 / см-7-1-49-51 .
- Келиски, Ричард Пол; Ривлин, Теодор Джозеф (1967). «Итеративы многочленов Бернштейна» . Тихоокеанский математический журнал . 21 (3): 511. DOI : 10,2140 / pjm.1967.21.511 .
- Старк, Э.Л. (1981). «Полином Бернштейна, 1912-1955». В Butzer, PL (ред.). ISNM60 . С. 443–461. DOI : 10.1007 / 978-3-0348-9-369-5_40 . ISBN 978-3-0348-9369-5.
- Петроне, Соня (1999). «Случайные многочлены Бернштейна». Сканд. J. Stat . 26 (3): 373–393. DOI : 10.1111 / 1467-9469.00155 .
- Оруч, Халил; Филлипс, Георг М. (1999). «Обобщение полиномов Бернштейна» . Труды Эдинбургского математического общества . 42 : 403–413. DOI : 10.1017 / S0013091500020332 .
- Джой, Кеннет I. (2000). "Полиномы Бернштейна" (PDF) . Архивировано из оригинального (PDF) 20 февраля 2012 года . Проверено 28 февраля 2009 .из Калифорнийского университета в Дэвисе . Обратите внимание на ошибку в пределах суммирования в первой формуле на странице 9.
- Idrees Bhatti, M .; Бракен, П. (2007). «Решения дифференциальных уравнений в полиномиальном базисе Бернштейна» . J. Comput. Прил. Математика . 205 : 272–280. DOI : 10.1016 / j.cam.2006.05.002 .
- Кассельман, Билл (2008). «От Безье до Бернштейна» .Рубрика с характеристиками Американского математического общества
- Ацикгоз, Мехмет; Араси, Серкан (2010). «О производящей функции многочленов Бернштейна». AIP Conf. Proc . 1281 : 1141. DOI : 10,1063 / 1,3497855 .
- Доха, EH; Bhrawy, AH; Балобан, Массачусетс (2011). «Интегралы полиномов Бернштейна: приложение для решения дифференциальных уравнений высокого четного порядка». Прил. Математика. Lett . 24 : 559–565. DOI : 10.1016 / j.aml.2010.11.013 .
- Фаруки, Рида Т. (2012). «Основание многочлена Бернштейна: столетняя ретроспектива». Комп. Помогать. Геом. Des . 29 : 379–419. DOI : 10.1016 / j.cagd.2012.03.001 .
- Чен, Сяоянь; Тан, Цзэцин; Лю, Чжи; Се, Цзинь (2017). «Приближение функций новым семейством обобщенных операторов Бернштейна» . J. Math. Аня. Applic . 450 : 244–261. DOI : 10.1016 / j.jmaa.2016.12.075 .
- Вайсштейн, Эрик В. «Полином Бернштейна» . MathWorld .
- Эта статья включает материал из свойств полинома Бернштейна на PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .