| Усеченные кубические соты | |
|---|---|
  | |
| Тип | Равномерные соты |
| Символ Шлефли | 2т {4,3,4} т 1,2 {4,3,4} |
| Диаграмма Кокстера-Дынкина |     |
| Тип ячейки | ( 4.6.6 ) |
| Типы лиц | квадрат {4} шестиугольник {6} |
| Фигурка края | равнобедренный треугольник {3} |
| Фигура вершины |  ( тетрагональный дисфеноид ) |
| Пространственная группа Обозначение фибрифолд Обозначение Кокстера | Im 3 м (229) 8 o : 2 [[4,3,4]] |
| Группа Коксетера | , [4,3,4] |
| Двойной | Сплюснутые тетраэдры. Дисфеноидные четырехгранные соты .  |
| Характеристики | изогональный , изотоксальный , изохорный |
Bitruncated кубического сот представляет собой пространство заполнения тесселяции (или сотни ) в евклидове пространства 3 из усеченных октаэдров (или, что эквивалентно, bitruncated кубов). Он имеет 4 усеченных октаэдра вокруг каждой вершины. Он полностью состоит из усеченных октаэдров и является клеточно-транзитивным . Он также является реберно-транзитивным , с двумя шестиугольниками и одним квадратом на каждом ребре, и вершинно-транзитивным . Это один из 28 однородных сот .
Джон Хортон Конвей называет эти соты усеченными октаэдрилами в своем списке архитектурной и катоптрической мозаики с двойным, называемым сплюснутой тетраэдрилью , также называемой двусфеноидной тетраэдрической сотой . Хотя обычный тетраэдр не может замощить пространство в одиночку, у этого двойника есть идентичные ячейки тетраэдра дисфеноида с гранями равнобедренного треугольника .
Геометрия [ править ]
Она может быть реализована как Вороная тесселяция из кубической объемно-центрированной решетки. Лорд Кельвин предположил, что оптимальной пеной для мыльных пузырей является вариант усеченных кубиками сот (с изогнутыми гранями и краями, но с той же комбинаторной структурой). Однако структура Вира – Фелана представляет собой менее симметричную, но более эффективную пену из мыльных пузырей.
Соты представляют собой мозаику пермутоэдра для 3-х пространств. Координаты вершин одного октаэдра представляют собой гиперплоскость целых чисел в 4-м пространстве, в частности перестановки (1,2,3,4). Тесселяция формируется переведенными копиями внутри гиперплоскости.
Тесселяция - это самая высокая мозаика параллелоэдров в 3-м пространстве.
Прогнозы [ править ]
Bitruncated кубических сота может быть ортогонально проецируется в евклидовой плоскости с различными механизмов симметрии. Форма высшей (гексагональной) симметрии проектируется в неоднородный ромбитрихексагональный мозаичный слой . Проекция квадратной симметрии образует две перекрывающиеся усеченные квадратные плитки , которые объединяются в квадратную плитку со скошенной фаской .
| Симметрия | p6m (* 632) | p4m (* 442) | pmm (* 2222) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| Твердый | |||||
| Рамка | |||||
Симметрия [ править ]
Вершина этой соты представляет собой дисфеноидный тетраэдр , а также тетраэдр Гурса ( фундаментальная область ) для группы Кокстера . Эта сотовая структура имеет четыре одинаковых конструкции, с усеченными октаэдрическими ячейками, имеющими разные группы Кокстера и конструкции Витхоффа . Эти однородные симметрии можно представить, раскрасив по-разному ячейки в каждой конструкции.
| Космическая группа | Я 3 мес. (229) | PM 3 мес. (221) | FM 3 м (225) | Ж 4 3 мес. (216) | Fd 3 м (227) |
|---|---|---|---|---|---|
| Фибрифолд | 8 часов : 2 | 4 - : 2 | 2 - : 2 | 1 о : 2 | 2 + : 2 |
| Группа Коксетера | × 2 [[4,3,4]] = [4 [3 [4] ]]  знак равно   | [4,3,4] = [2 [3 [4] ]]  знак равно   | [4,3 1,1 ] = <[3 [4] ]>    знак равно  | [3 [4] ]  | × 2 [[3 [4] ]] = [[3 [4] ]]  |
| Диаграмма Кокстера |    | |  | | |
| усеченные октаэдры | 1 | 1: 1 : | 2: 1: 1 : : | 1: 1: 1: 1 : : : | 1: 1 : |
| Фигура вершины | |||||
| Симметрия вершинной фигуры | [2 + , 4] (заказ 8) | [2] (порядок 4) | [] (порядок 2) | [] + (заказ 1) | [2] + (заказ 2) |
| Изображение, раскрашенное ячейкой |
Связанные многогранники и соты [ править ]
[4,3,4], , Группа Кокстера генерирует 15 перестановок однородных мозаик, 9 с отличной геометрией, включая чередующиеся кубические соты. Расширено кубические сотни (также известные как runcinated tesseractic сотни) геометрически идентичны кубические сотни.
| C3 соты | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| Космическая группа | Фибрифолд | Расширенная симметрия | Расширенная диаграмма | Заказ | Соты |
| Рт 3 м (221) | 4 - : 2 | [4,3,4] | | × 1 | 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 |
| FM 3 м (225) | 2 - : 2 | [1 + , 4,3,4] ↔ [4,3 1,1 ] |  ↔  | Половина | 7 , 11 , 12 , 13 |
| Я 4 3 мес. (217) | 4 ч : 2 | [[(4,3,4,2 + )]] |   | Половина × 2 | (7) , |
| Fd 3 м (227) | 2 + : 2 | [[1 + , 4,3,4,1 + ]] ↔ [[3 [4] ]] |  ↔ | Квартал × 2 | 10 , |
| Я 3 мес. (229) | 8 часов : 2 | [[4,3,4]] |  | × 2 |
|
[4,3 1,1 ],, Группа Кокстера генерирует 9 перестановок однородных мозаик, 4 с отличной геометрией, включая чередующиеся кубические соты.
| В3 соты | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| Космическая группа | Фибрифолд | Расширенная симметрия | Расширенная диаграмма | Заказ | Соты |
| FM 3 м (225) | 2 - : 2 | [4,3 1,1 ] ↔ [4,3,4,1 + ] |  ↔ | × 1 | 1 , 2 , 3 , 4 |
| FM 3 м (225) | 2 - : 2 | <[1 + , 4,3 1,1 ]> ↔ <[3 [4] ]> | ↔ | × 2 | (1) , (3) |
| Рт 3 м (221) | 4 - : 2 | <[4,3 1,1 ]> | | × 2 |
|
Эти соты - одна из пяти различных однородных сот [1], построенных группой Кокстера . Симметрию можно умножить на симметрию колец в диаграммах Кокстера – Дынкина :
| Соты формата А3 | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| Космическая группа | Фибрифолд | Квадратная симметрия | Расширенная симметрия | Расширенная диаграмма | Расширенная группа | Сотовые диаграммы |
| Ж 4 3 мес. (216) | 1 о : 2 | а1 | [3 [4] ] | | (Никто) | |
| FM 3 м (225) | 2 - : 2 | d2 | <[3 [4] ]> ↔ [4,3 1,1 ] | ↔ | × 2 1 ↔ |  1 , 2 |
| Fd 3 м (227) | 2 + : 2 | g2 | [[3 [4] ]] или [2 + [3 [4] ]] | ↔ | × 2 2 | 3 |
| Рт 3 м (221) | 4 - : 2 | d4 | <2 [3 [4] ]> ↔ [4,3,4] |  ↔ | × 4 1 ↔ | 4 |
| Я 3 (204) | 8 −o | r8 | [4 [3 [4] ]] + ↔ [[4,3 + , 4]] | ↔ | ½ × 8 ↔ ½ × 2 |  (*) |
| Я 3 мес. (229) | 8 часов : 2 | [4 [3 [4] ]] ↔ [[4,3,4]] | × 8 ↔ × 2 | 5 | ||
Альтернативная форма [ править ]
| Кубические соты с чередованием битов и усечением | |
|---|---|
| Тип | Выпуклые соты |
| Символ Шлефли | 2s {4,3,4} 2s {4,3 1,1 } sr {3 [4] } |
| Диаграммы Кокстера |  знак равно  знак равно знак равно |
| Клетки | тетраэдр икосаэдр |
| Фигура вершины | |
| Группа Коксетера | [[4,3 + , 4]], |
| Двойной | Сотовая ячейка из десяти бриллиантов : |
| Характеристики | вершинно-транзитивный |
Эти соты можно чередовать , создавая пиритоэдрические икосаэдры из усеченных октаэдров с дисфеноидными тетраэдрическими ячейками, созданными в промежутках. Есть три построения из трех связанных диаграмм Кокстера-Дынкина :, , а также . Они обладают симметрией [4,3 + , 4], [4, (3 1,1 ) + ] и [3 [4] ] + соответственно. Первую и последнюю симметрию можно удвоить как [[4,3 + , 4]] и [[3 [4] ]] + .
Двойные соты состоят из ячеек, называемых декаэдрами из десяти бриллиантов .
| Космическая группа | Я 3 (204) | Вечер 3 (200) | FM 3 (202) | Fd 3 (203) | F23 (196) |
|---|---|---|---|---|---|
| Фибрифолд | 8 −o | 4 - | 2 - | 2 o + | 1 o |
| Группа Коксетера | [[4,3 + , 4]] | [4,3 + , 4] | [4, (3 1,1 ) + ] | [[3 [4] ]] + | [3 [4] ] + |
| Диаграмма Кокстера | | | | | |
| Заказ | двойной | полный | половина | четверть двойной | четверть |
| Изображение раскрашено ячейками |
Эти соты представлены атомами бора α-ромбиэдрического кристалла . Центры икосаэдров расположены в ГЦК-позициях решетки. [2]
Связанные многогранники [ править ]
Неоднородные варианты с симметрией [4,3,4] и двумя типами усеченных октаэдров можно удвоить, поместив два типа усеченных октаэдров, чтобы получить неоднородные соты с усеченными октаэдрами и гексагональными призмами (как дитригональные трапеции). Его вершина представляет собой C 2v -симметричную треугольную бипирамиду .
Затем эти соты можно чередовать, чтобы получить другие неоднородные соты с пиритоэдрическими икосаэдрами , октаэдрами (как треугольные антипризмы) и тетраэдрами (как сфеноиды). Его вершинная фигура имеет симметрию C 2v и состоит из 2 пятиугольников , 4 прямоугольников , 4 равнобедренных треугольников (разделенных на два набора по 2) и 4 равнобедренных треугольников .
См. Также [ править ]
 | Викискладе есть медиафайлы, связанные с усеченными кубическими сотами . |
- Архитектурная и катоптическая мозаика
- Кубические соты
- Зона Бриллюэна
Заметки [ править ]
- ^ [1] , A000029 6–1 случаев, пропуск одного с нулевыми отметками
- ↑ Williams, 1979, p. 199, рис. 5-38.
Ссылки [ править ]
- Джон Х. Конвей , Хайди Берджел, Хаим Гудман-Штраус , (2008) Симметрии вещей , ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 21, Присвоение имен архимедовым и каталонским многогранникам и мозаикам, Архитектурная и катоптрическая мозаика, стр. 292-298, включает все непризматические формы)
- Георгий Ольшевский, Uniform Panoploid Tetracombs , Manuscript (2006) (Полный список из 11 выпуклых однородных мозаик, 28 выпуклых однородных сот и 143 выпуклых однородных тетракомбов)
- Бранко Грюнбаум , Равномерные мозаики трехмерного пространства. Геомбинаторика 4 (1994), 49 - 56.
- Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Coxeter , отредактированные Ф. Артуром Шерком, Питером Макмалленом, Энтони С. Томпсоном, Азией Ивичем Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [2]
- (Документ 22) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10] (1.9 Однородные заполнители пространств)
- А. Андрейни , Sulle reti di poliedri regolari e semiregolari e sulle corrispondenti reti correlative (О правильных и полуправильных сетях многогранников и соответствующих коррелятивных сетях), Mem. Итальянское общество науки, сер. 3, 14 (1905) 75–129.
- Клитцинг, Ричард. «3D евклидовы соты o4x3x4o - партия - O16» .
- Однородные соты в 3-м пространстве: 05-партия
- Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: первоисточник дизайна . ISBN Dover Publications, Inc. 0-486-23729-X.
Внешние ссылки [ править ]
- Вайсштейн, Эрик В. "Многогранник, заполняющий пространство" . MathWorld .
