Броуновский меандр

Эта статья может быть слишком технической, чтобы ее могло понять большинство читателей . Пожалуйста, помогите улучшить его, чтобы он был понятен неспециалистам , не удаляя технические детали. ( Июль 2013 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математической теории вероятностей , броуновское меандр является непрерывным неоднородный марковский процесс определяется следующим образом :${\ Displaystyle W ^ {+} = \ {W_ {t} ^ {+}, т \ в [0,1] \}}$

Пусть будет стандартное одномерное броуновское движение , и , т.е. последний раз перед t  = 1 при посещениях . Тогда броуновский меандр определяется следующим образом:${\ Displaystyle W = \ {W_ {t}, т \ geq 0 \}}$${\ displaystyle \ tau: = \ sup \ {t \ in [0,1]: W_ {t} = 0 \}}$${\displaystyle W}$${\displaystyle \{0\}}$

${\displaystyle W_{t}^{+}:={\frac {1}{\sqrt {1-\tau }}}|W_{\tau +t(1-\tau )}|,\quad t\in [0,1].}$

Другими словами, пусть будет в последний раз перед 1, когда посещает стандартное броуновское движение . ( почти наверняка.) Мы отсекаем и отбрасываем траекторию броуновского движения ранее , а оставшуюся часть масштабируем так, чтобы она охватывала временной интервал длиной 1. Коэффициент масштабирования для пространственной оси должен быть квадратным корнем из масштабного коэффициента для ось времени. Процесс, полученный в результате этой процедуры масштабирования, представляет собой броуновский меандр. Как следует из названия, это часть броуновского движения, которая все время находится вдали от начальной точки .${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \{0\}}$${\displaystyle \tau <1}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \{0\}}$

Плотность перехода броуновского меандра описывается следующим образом:${\displaystyle p(s,x,t,y)\,dy:=P(W_{t}^{+}\in dy\mid W_{s}^{+}=x)}$

Для и , и письма${\displaystyle 0<s<t\leq 1}$${\displaystyle x,y>0}$

${\displaystyle \varphi _{t}(x):={\frac {\exp\{-x^{2}/(2t)\}}{\sqrt {2\pi t}}}\quad {\text{and}}\quad \Phi _{t}(x,y):=\int _{x}^{y}\varphi _{t}(w)\,dw,}$

у нас есть

${\displaystyle {\begin{aligned}p(s,x,t,y)\,dy:={}&P(W_{t}^{+}\in dy\mid W_{s}^{+}=x)\\={}&{\bigl (}\varphi _{t-s}(y-x)-\varphi _{t-s}(y+x){\bigl )}{\frac {\Phi _{1-t}(0,y)}{\Phi _{1-s}(0,x)}}\,dy\end{aligned}}}$

и

${\displaystyle p(0,0,t,y)\,dy:=P(W_{t}^{+}\in dy)=2{\sqrt {2\pi }}{\frac {y}{t}}\varphi _{t}(y)\Phi _{1-t}(0,y)\,dy.}$

Особенно,

${\displaystyle P(W_{1}^{+}\in dy)=y\exp\{-y^{2}/2\}\,dy,\quad y>0,}$

т.е. имеет распределение Рэлея с параметром 1, такое же распределение, как , где - экспоненциальная случайная величина с параметром 1.${\displaystyle W_{1}^{+}}$${\displaystyle {\sqrt {2\mathbf {e} }}}$${\displaystyle \mathbf {e} }$

Ссылки [ править ]

• Дуретт, Ричард; Иглхарт, Дональд; Миллер, Дуглас (1977). «Слабая сходимость к броуновскому меандру и броуновскому отклонению» . Летопись вероятности . 5 (1): 117–129. DOI : 10.1214 / AOP / 1176995895 .
• Ревуз, Даниил; Йор, Марк (1999). Непрерывные мартингалы и броуновское движение (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-57622-3.