Каноническая карта

В математике , каноническое отображение , также называется естественное отображение , является карта или морфизм между объектами , которые естественным образом возникает из определения или строительства объектов. В общем, это карта, которая сохраняет самый широкий объем структуры ^[1] и имеет тенденцию быть уникальной. В редких случаях, когда остается свобода выбора, карта либо условно считается наиболее полезной для дальнейшего анализа, либо иногда является самой элегантной картой, известной на сегодняшний день.

Стандартная форма канонического отображения включает некоторую функцию, отображающую набор в набор ( по модулю ), где - отношение эквивалентности на . ^[2] Близким понятием является структурная карта или структурный морфизм ; карта или морфизм, связанный с данной структурой объекта. Их также иногда называют каноническими картами.${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle X / R}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle X}$

Канонический изоморфизм каноническое отображение , что также является изоморфизмом (т.е., обратимы ). В некоторых контекстах может возникнуть необходимость обратиться к вопросу о выборе канонических отображений или канонических изоморфизмов; для типичного примера см . предварительное суммирование .

Примеры [ править ]

• Если N является нормальной подгруппой из группы G , то существует канонический сюръективный гомоморфизм групп из G в фактор - группы G / N, который посылает элемент г в смежном классе определяется г .
• Если я являюсь идеальным из кольца R , то существует канонический сюръективный гомоморфизм колец из R на фактор - кольца R / I , который посылает элемент г его смежный класс I + R .
• Если V - векторное пространство , то существует каноническое отображение из V во второе двойственное пространство к V, которое переводит вектор v в линейный функционал f _v, определенный как f _v (λ) = λ ( v ).
• Если F: R → S есть гомоморфизм между коммутативными кольцами , то S можно рассматривать как алгебры над R . Тогда кольцевой гомоморфизм f называется структурным отображением (для структуры алгебры). Соответствующее отображение на простых спектрах f ^* : Spec ( S ) → Spec ( R ) также называется структурным отображением.
• Если E - векторное расслоение над топологическим пространством X , то отображение проекции из E в X является структурным отображением.
• В топологии , каноническое отображение является функцией F отображения набора X → X / R ( X по модулю R ), где R является отношением эквивалентности на X , который принимает каждый х в X к классу эквивалентности [ х ] по модулю R . ^[3]

Ссылки [ править ]