Создание кардиоиды и используемой системы координат
Позволять - общий радиус двух образующих окружностей со средними точками , угол качения и исходная точка - начальная точка (см. рисунок). Один получает
и отсюда представление в
- .
Представляем замены а также после удаления квадратного корня получается неявное представление в
- .
Доказательство параметрического представления
Доказательство может быть установлено с использованием комплексных чисел и их общего описания как комплексной плоскости . Катящееся движение черного круга по синему можно разделить на два вращения. В комплексной плоскости вращение вокруг точки (начало) под углом может быть выполнено умножением точки (комплексное число) на . Следовательно
- вращение вокруг точки является ,
- вращение вокруг точки является: .
Точка кардиоиды генерируется вращением начала координат вокруг точки и последующее вращение вокруг под тем же углом :
- .
Отсюда можно получить параметрическое представление выше:
(Следующие формулы были использованы. См. Тригонометрические функции .)
Аккорды через куспид
- C1: хорды, проходящие через острие кардиоиды, имеют одинаковую длину .
- С2: В серединах этих аккордов через параболический лежат по периметру неподвижной окружности генератора (смотрите рисунок).
- доказательство для C1
Точки находятся на хорде через куспид (= начало координат). Следовательно
- .
- доказательство для C2
Для доказательства используется представление в комплексной плоскости (см. Выше). По очкам
- ,
середина аккорда является
который лежит по периметру окружности со средней точкой и радиус (см. рисунок).
Кардиоида как обратная кривая параболы
кардиоида, образованная инверсией параболы через единичный круг (пунктирная линия)
- Кардиоида - это обратная кривая параболы с фокусом в центре инверсии (см. График)
Для примера, показанного на графике, окружности образующих имеют радиус . Следовательно, кардиоида имеет полярное представление
и его обратная кривая
- ,
которая представляет собой параболу (s. парабола в полярных координатах ) с уравнением в декартовых координатах.
Замечание: Не всякая обратная кривая параболы является кардиоидой. Например, если парабола перевернута через круг, центр которого находится в вершине параболы, то результатом будет циссоида Диокла .
Кардиоида как конверт карандаша кругов
кардиоида как конверт карандаша кругов
В предыдущем разделе, если дополнительно инвертировать касательные параболы, получается пучок окружностей, проходящий через центр инверсии (начало координат). Подробное рассмотрение показывает: Середины окружностей лежат на периметре неподвижной образующей окружности. (Образующая окружность - обратная кривая директрисы парабол.)
Это свойство приводит к следующему простому способу рисования кардиоиды:
- 1) Выберите круг и точка по периметру,
- 2) нарисуйте круги, содержащие с центрами на , а также
- 3) нарисуйте конверт этих кругов.
- доказательство с условием конверта
Огибающая пучка неявно заданных кривых
с параметром состоит из таких точек которые являются решениями нелинейной системы
- ( состояние конверта ).
(означает частную производную для параметра.
Позволять быть кругом с серединой и радиус . потом имеет параметрическое представление . Карандаш кругов с центрами на содержащий точку может быть неявно представлен
- ,
что эквивалентно
Второе условие конверта:
- .
Несложно проверить, что точки кардиоиды с параметрическим представлением
выполнить нелинейную систему выше. Параметр идентичен угловому параметру кардиоиды.
Кардиоида как конверт карандаша линий
Кардиоида как конверт карандаша линий
Аналогичный и простой метод рисования кардиоиды использует карандаш из линий . Это связано с Л. Кремона :
- Нарисуйте круг, разделите его периметр на равные части с помощью точки (см. рисунок) и пронумеруйте их последовательно.
- Нарисуйте аккорды: . (то есть: вторая точка перемещается с двойной скоростью.)
- Огибающая этих аккордов кардиоида.
Генерация кардиоиды Кремоны
- доказательство
В следующем рассмотрении используются тригонометрические формулы для. Для простоты вычислений доказательство дано для кардиоиды с полярным представлением.(см. раздел Кардиоиды в разных положениях ).
- уравнение касательной
из кардиоида с полярным представлением:
- Из параметрического представления
получается нормальный вектор . Уравнение касательной является:
С помощью тригонометрических формул и последующего деления на , уравнение касательной можно переписать в виде:
- уравнение хорды
из круга с серединой и радиус : Для уравнения секущей, проходящей через две точки получается:
С помощью тригонометрических формул и последующего деления на уравнение секущей можно переписать следующим образом:
Несмотря на два угла иметь разные значения (см. рисунок) та же линия. Следовательно, любая секущая окружности, определенная выше, также является касательной к кардиоиде:
- Кардиоида - это огибающая хорд круга.
Замечание:
Доказательство можно провести с помощью условий огибающей (см. Предыдущий раздел) неявного пучка кривых:
- - пучок секущих окружности (см. выше) и
Для фиксированного параметра t оба уравнения представляют собой линии. Их точка пересечения
- ,
которая является точкой кардиоиды с полярным уравнением
Кардиоид как
каустик : источник света
, луч света
, отраженный луч
Кардиоида как каустика круга с источником света (справа) по периметру
Кардиоида как каустика круга
Соображения, сделанные в предыдущем разделе, доказывают, что каустика круга с источником света по периметру круга является кардиоидой.
- Если в плоскости есть источник света в точке по периметру круга, который отражает любой луч, тогда отраженные лучи внутри круга являются касательными к кардиоиде.
- доказательство
Как и в предыдущем разделе, круг может иметь середину. и радиус . Его параметрическое представление
Касательная в точке окружности имеет нормальный вектор . Следовательно, отраженный луч имеет нормальный вектор (см. график) и содержит точку . Отраженный луч является частью линии с уравнением (см. Предыдущий раздел)
который является касательной к кардиоиде с полярным уравнением
из предыдущего раздела.
Замечание: Для таких соображений обычно пренебрегают многократными отражениями от круга.
Кардиоида как педальная кривая круга
Точка кардиоиды - это стопа опущенного перпендикуляра по касательной к окружности.
Кардиоидное поколение Cremona не следует путать со следующим поколением:
Пусть будет круг и точка на периметре этого круга. Верно следующее:
- Подножия перпендикуляров от точки по касательным окружности точки кардиоиды.
Следовательно, кардиоида - это особая педальная изгиба круга.
- доказательство
В декартовой системе координат круг может иметь середину и радиус . Касательная в точке окружности имеет уравнение
Основание перпендикуляра от точки по касательной точка с еще неизвестного расстояния к происхождению . Вставка точки в уравнение касательной дает
что является полярным уравнением кардиоиды.
Замечание: Если точка не по периметру круга , каждый получает лимон Паскаля .
эволюция кардиоидного
пурпурного цвета: одна точка P, ее центр кривизны M и ее соприкасающийся круг
Эволютное кривой представляет собой геометрическое место центров кривизны. Подробно: Для кривой с радиусом кривизны эволюция имеет представление
с участием подходящим образом ориентированная единица нормальная.
При кардиоиде получают:
- Эволютная из кардиоидной является еще кардиоидной одна треть , как больших (с. Рисунок).
- доказательство
Для кардиоиды с параметрическим представлением
единица нормальная
и радиус кривизны
Следовательно, параметрические уравнения эволюции имеют вид
Эти уравнения описывают кардиоиду, которая втрое меньше, повернутая на 180 градусов и смещенная по оси x на .
(Использовались тригонометрические формулы: )
Ортогональная траектория из пучка кривых является кривой , которая пересекает любые кривой карандаш ортогональна. Для кардиоидов верно следующее:
- Ортогональные траектории пучка кардиоидов с уравнениями
- кардиоиды с уравнениями
(Второй карандаш можно рассматривать как отражение на оси Y первого. См. Диаграмму.)
Доказательство:
для кривой, заданной в полярных координатах функцией выполняется следующая связь с декартовыми координатами:
а для производных
Разделив второе уравнение на первое, получим декартов наклон касательной к кривой в точке :
Для кардиоидов с уравнениями а также соответственно получается:
- а также
(Наклон любой кривой зависит от только, а не из параметров !)
Следовательно
Это означает: любая кривая первого пучка пересекает любую кривую второго пучка ортогонально.
4 кардиоиды в полярном представлении и их положение в системе координат