В математике и обработке сигналов , аналитический сигнал является комплексной функцией , которая не имеет отрицательных частотные компонентов. [1] Реальная и мнимая части аналитического сигнала - это действительные функции, связанные друг с другом преобразованием Гильберта .
Аналитическое представление о вещественной функции является аналитическим сигналом , содержащее исходную функция и ее преобразованием Гильберта. Это представление облегчает многие математические манипуляции. Основная идея состоит в том, что отрицательные частотные компоненты преобразования Фурье (или спектра ) действительной функции являются лишними из-за эрмитовой симметриитакого спектра. Эти отрицательные частотные составляющие можно отбросить без потери информации, если вместо этого нужно иметь дело с комплексной функцией. Это делает определенные атрибуты функции более доступными и облегчает получение методов модуляции и демодуляции, таких как односторонняя полоса.
Пока управляемая функция не имеет отрицательных частотных составляющих (то есть она все еще аналитическая ), преобразование комплексного обратно в реальное - это просто вопрос отбрасывания мнимой части. Аналитическое представление является обобщением концепции векторов : [2] в то время как вектор ограничен неизменными во времени амплитудой, фазой и частотой, аналитический сигнал допускает параметры, изменяющиеся во времени.
Определение
Если является вещественной функцией с преобразованием Фурье, то преобразование обладает эрмитовой симметрией относительно ось:
где является комплексно сопряженным из. Функция:
где
содержит только неотрицательные частотные составляющие. И операция обратима из-за эрмитовой симметрии:
Аналитический сигнал о является обратным преобразованием Фурье :
где
- является преобразование Гильберта из;
- - символ свертки ;
- это мнимая единица .
Отмечая, что это также можно выразить как операцию фильтрации, которая непосредственно удаляет отрицательные частотные составляющие :
Отрицательные частотные составляющие
С , восстановление отрицательных частотных составляющих - это простой вопрос, отбрасывая что может показаться нелогичным. Также можно отметить, что комплексно сопряженныесостоит только из отрицательных частотных составляющих. И поэтомувосстанавливает подавленные положительные частотные составляющие. Другая точка зрения состоит в том, что мнимая составляющая в любом случае представляет собой член, который вычитает частотные составляющие из s (t). В Оператор удаляет вычитание, создавая впечатление добавления новых компонентов.
Примеры
Пример 1
- где
Потом:
- Третье равенство - это формула Эйлера .
Следствие из формулы Эйлера является В общем, аналитическое представление простой синусоиды получается выражением ее в терминах комплексных экспонент, отбрасывая отрицательную частотную составляющую и удваивая положительную частотную составляющую. А аналитическое представление суммы синусоид - это сумма аналитических представлений отдельных синусоид.
Пример 2
Здесь мы используем формулу Эйлера, чтобы идентифицировать и отбросить отрицательную частоту.
Потом:
Пример 3
Это еще один пример использования метода преобразования Гильберта для удаления отрицательных частотных составляющих. Отметим, что нам ничего не мешает вычислить для комплексного . Но это может быть не обратимое представление, потому что исходный спектр в целом несимметричен. Таким образом, за исключением этого примера, в общем обсуждении предполагается, что.
- , где .
Потом:
Характеристики
Мгновенная амплитуда и фаза
Аналитический сигнал также может быть выражен в полярных координатах :
где введены следующие изменяющиеся во времени величины:
- называется мгновенной амплитудой или огибающей ;
- называется мгновенной фазой или фазовым углом .
На прилагаемой диаграмме синяя кривая изображает а красной кривой изображены соответствующие .
Производная по времени развернутой мгновенной фазы имеет единицы радиан / секунду и называется мгновенной угловой частотой :
Таким образом, мгновенная частота (в герцах ) равна:
Мгновенная амплитуда, мгновенная фаза и частота в некоторых приложениях используются для измерения и обнаружения локальных характеристик сигнала. Другое применение аналитического представления сигнала относится к демодуляции модулированных сигналов . Полярные координаты удобно разделяют эффекты амплитудной модуляции и фазовой (или частотной) модуляции и эффективно демодулируют определенные виды сигналов.
Комплексная огибающая / основная полоса
Аналитические сигналы часто смещены по частоте (преобразованы с понижением частоты) в сторону 0 Гц, что может создавать [несимметричные] отрицательные частотные составляющие:
где - произвольная опорная угловая частота. [2]
Эта функция имеет разные названия, например, сложная огибающая и сложная основная полоса . Сложный конверт не уникален; это определяется выбором. Эта концепция часто используется при работе с сигналами полосы пропускания . Если это модулированный сигнал, может быть приравнено к его несущей частоте .
В остальных случаях выбирается где-то посередине желаемой полосы пропускания. Тогда простой фильтр нижних частот с действительными коэффициентами может вырезать интересующую часть. Другой мотив - уменьшить максимальную частоту, что снижает минимальную скорость выборки без псевдонимов. Сдвиг частоты не подрывает математическую управляемость представления сложного сигнала. Таким образом, в этом смысле сигнал, преобразованный с понижением частоты, остается аналитическим . Однако восстановление представления с действительным знаком - это уже не просто извлечение реального компонента. Может потребоваться преобразование с повышением частоты , и если сигнал был дискретизирован (дискретно), также может потребоваться интерполяция ( повышающая дискретизация ), чтобы избежать наложения спектров .
Если выбирается больше, чем самая высокая частота тогда не имеет положительных частот. В этом случае извлечение реального компонента восстанавливает их, но в обратном порядке; низкочастотные компоненты теперь высокие и наоборот. Это можно использовать для демодуляции типа сигнала с одной боковой полосой, называемого нижней боковой полосой или инвертированной боковой полосой .
- Другие варианты опорной частоты
Иногда выбрано для минимизации
В качестве альтернативы, [4] может быть выбран, чтобы минимизировать среднеквадратичную ошибку при линейной аппроксимации развернутой мгновенной фазы:
или другая альтернатива (для оптимального ):
В области частотно-временной обработки сигналов было показано, что аналитический сигнал необходим для определения распределения Вигнера – Вилля, чтобы метод мог иметь желаемые свойства, необходимые для практических приложений. [5]
Иногда словосочетанию «сложная огибающая» дают более простое значение комплексной амплитуды (постоянной частоты) фазора; [a] [b] иногда сложный конверткак определено выше, интерпретируется как зависящее от времени обобщение комплексной амплитуды. [c] Их соотношение мало чем отличается от реального случая: переменная огибающая, обобщающая постоянную амплитуду .
Расширения аналитического сигнала на сигналы нескольких переменных
Концепция аналитического сигнала четко определена для сигналов одной переменной, которой обычно является время. Для сигналов двух или более переменных аналитический сигнал может быть определен по-разному, и ниже представлены два подхода.
Многомерный аналитический сигнал на основе специального направления
Прямое обобщение аналитического сигнала может быть выполнено для многомерного сигнала после того, как будет установлено, что в этом случае подразумевается под отрицательными частотами . Это можно сделать, введя единичный вектор в области Фурье и пометьте любой частотный вектор как отрицательный, если . Затем получают аналитический сигнал путем удаления всех отрицательных частот и умножения результата на 2 в соответствии с процедурой, описанной для случая сигналов с одной переменной. Однако особого направления длякоторый необходимо выбрать, если нет дополнительных ограничений. Следовательно, выбор является специальным или специфичным для конкретного приложения.
Моногенный сигнал
Реальная и мнимая части аналитического сигнала соответствуют двум элементам векторно-значного моногенного сигнала , как это определено для сигналов с одной переменной. Однако моногенный сигнал может быть расширен до произвольного числа переменных прямым способом, создавая ( n + 1) -мерную векторно- значную функцию для случая n- переменных сигналов.
Смотрите также
- Практические соображения по вычислению преобразований Гильберта
- Отрицательная частота
Приложения
- Модуляция с одной боковой полосой
- Квадратурный фильтр
- Причинный фильтр
Заметки
- ^ "комплексная огибающая (или комплексная амплитуда)" [6]
- ^ "комплексная огибающая (или комплексная амплитуда)", стр. 586 [7]
- ^ «Сложная огибающая - это расширенная интерпретация комплексной амплитуды как функции времени». п. 85 [8]
Рекомендации
- ^ Смит, Дж. О. «Аналитические сигналы и фильтры преобразования Гильберта», в математике дискретного преобразования Фурье (ДПФ) со звуковыми приложениями, второе издание, https://ccrma.stanford.edu/~jos/r320/Analytic_Signals_Hilbert_Transform.html , или https://www.dsprelated.com/freebooks/mdft/Analytic_Signals_Hilbert_Transform.html , онлайн-книга, издание 2007 г., доступ 2021-04-29.
- ^ a b Брейсвелл, Рон. Преобразование Фурье и его приложения . McGraw-Hill, 1965. С. 269.
- ^ Б. Боашаш, "Оценка и интерпретация мгновенной частоты сигнала-Часть I: основы", Труды IEEE, Vol. 80, No. 4, pp. 519–538, апрель 1992 г.
- ^ Джастис Дж. (1979-12-01). «Аналитическая обработка сигналов при вычислении музыки». Транзакции IEEE по акустике, речи и обработке сигналов . 27 (6): 670–684. DOI : 10,1109 / TASSP.1979.1163321 . ISSN 0096-3518 .
- ^ Б. Боашаш, «Заметки об использовании распределения Вигнера для частотно-временного анализа сигналов», IEEE Trans. по акустике, речи и обработке сигналов, т. 26, вып. 9 августа 1987 г.
- ^ Hlawatsch, Franz; Оже, Франсуа (1 марта 2013 г.). Частотно-временной анализ . Джон Вили и сыновья. ISBN 9781118623831.
- ^ Дриггерс, Рональд Г. (01.01.2003). Энциклопедия оптической инженерии: Abe-Las, страницы 1-1024 . CRC Press. ISBN 9780824742508.
- ^ Окамото, Кэнʼити (01.01.2001). Дистанционное зондирование глобальной окружающей среды . IOS Press. ISBN 9781586031015.
дальнейшее чтение
- Леон Коэн, Частотно-временной анализ , Prentice Hall, Upper Saddle River, 1995.
- Фредерик В. Кинг, Преобразования Гильберта , т. II, Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 2009.
- Б. Боашаш, Частотно-временной анализ и обработка сигналов: исчерпывающий справочник , издательство Elsevier Science, Оксфорд, 2003.
Внешние ссылки
- Аналитические сигналы и фильтры преобразования Гильберта