Распределение квазивероятностей Вигнера

Распределение квазивероятностей Вигнера (также называемое функцией Вигнера или распределением Вигнера – Вилля в честь Юджина Вигнера и Жана-Андре Вилля ) является распределением квазивероятностей . Он был введен ^[1] Юджином Вигнером в 1932 году для изучения квантовых поправок к классической статистической механике . Цель состояла в том, чтобы связать волновую функцию, которая появляется в уравнении Шредингера, с распределением вероятностей в фазовом пространстве .

Функция Вигнера так называемого кошачьего состояния .

Это производящая функция для всех пространственных автокорреляционных функций данной квантово-механической волновой функции ψ ( x ) . Таким образом, он отображает ^[2] на квантовую матрицу плотности в отображении между реальными функциями фазового пространства и эрмитовыми операторами, введенными Германом Вейлем в 1927 году ^[3] в контексте, связанном с теорией представлений в математике (ср. Квантование Вейля в физике ). По сути, это преобразование Вигнера – Вейля матрицы плотности, т.е. реализация этого оператора в фазовом пространстве. Это было позже rederived Жан Ville в 1948 году в виде квадратичной (в сигнале) представлении энергии локального частотно-временного сигнала , ^[4] эффективно спектрограмме .

В 1949 году Хосе Энрике Мойал , который вывел его независимо, признал его как функционал, генерирующий квантовый момент, ^[5] и, таким образом, как основу элегантного кодирования всех значений квантового ожидания и, следовательно, квантовой механики, в фазовом пространстве ( ср. формулировку фазового пространства ). Он имеет приложения в статистической механике , квантовой химии , квантовой оптике , классической оптике и анализе сигналов в различных областях, таких как электротехника , сейсмология , частотно-временной анализ музыкальных сигналов , спектрограммы в биологии и обработке речи, а также проектирование двигателей .

Классическая частица имеет определенное положение и импульс, поэтому она представлена ​​точкой в ​​фазовом пространстве. Учитывая набор ( ансамбль ) частиц, вероятность нахождения частицы в определенной позиции в фазовом пространстве определяется распределением вероятностей, плотностью Лиувилля. Эта строгая интерпретация не подходит для квантовой частицы из-за принципа неопределенности . Вместо этого указанное выше распределение Вигнера квазивероятностей играет аналогичную роль, но не удовлетворяет всем свойствам обычного распределения вероятностей; и, наоборот, удовлетворяет свойствам ограниченности, недоступным для классических распределений.

Например, распределение Вигнера может принимать и обычно принимает отрицательные значения для состояний, не имеющих классической модели, и является удобным индикатором квантово-механической интерференции. (См ниже для характеристики чистых состояний , чьи функции Вигнера неотрицателен.) Сглаживание распределения Вигнера через фильтр с размера больше , чем ħ (например, свертка с фазовым пространством гауссовых, A преобразованием Вейерштрассы , с получением указанного в представлении Husimi ниже) приводит к положительно-полуопределенной функции, т. е. можно подумать, что она была огрублена до полуклассической. ^[а]

Регионы такого отрицательного значения доказуемы (сворачивая их с небольшой Gaussian) , чтобы быть «малыми»: они не могут распространяться на компактные областях больше , чем несколько ħ , и , следовательно , исчезают в классическом пределе . Они экранируется принципом неопределенности , которая не позволяет точное местоположение в фазовом пространстве областей меньше , чем ħ , и , таким образом , делает такие « отрицательные вероятности » менее парадоксальной.

Распределение Вигнера W ( x , p ) чистого состояния определяется как:

где ψ - волновая функция, а x и p - положение и импульс, но это может быть любая пара сопряженных переменных (например, действительная и мнимая части электрического поля или частота и время сигнала). Обратите внимание, что он может иметь поддержку в x даже в регионах, где ψ не имеет поддержки в x ("удары").

Он симметричен по x и p ,

${\ displaystyle W (x, p) = {\ frac {1} {\ pi \ hbar}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ varphi ^ {*} (p + q) \ varphi ( pq) e ^ {- 2ixq / \ hbar} \, dq}$

где φ - нормированная волновая функция импульсного пространства, пропорциональная преобразованию Фурье функции ψ .

В 3D,

${\ displaystyle W ({\ vec {r}}, {\ vec {p}}) = {\ frac {1} {(2 \ pi) ^ {3}}} \ int \ psi ^ {*} ({ \ vec {r}} + \ hbar {\ vec {s}} / 2) \ psi ({\ vec {r}} - \ hbar {\ vec {s}} / 2) e ^ {i {\ vec { p}} \ cdot {\ vec {s}}} \, d ^ {3} s.}$

В общем случае, включающем смешанные состояния, это преобразование Вигнера матрицы плотности ,

${\ displaystyle W (x, p) = {\ frac {1} {\ pi \ hbar}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ langle x + y | {\ hat {\ rho}} | xy \ rangle e ^ {- 2ipy / \ hbar} \, dy,}$

где ⟨ х | г | ⟩ = г | (х) . Это преобразование (или отображение) Вигнера является обратным преобразованию Вейля , которое отображает функции фазового пространства в операторы гильбертова пространства при квантовании Вейля .

Таким образом, функция Вигнера является краеугольным камнем квантовой механики в фазовом пространстве .

В 1949 году Хосе Энрике Мойал выяснил, как функция Вигнера обеспечивает меру интегрирования (аналогичную функции плотности вероятности ) в фазовом пространстве, чтобы получить ожидаемые значения из функций c-числа фазового пространства g ( x , p ), однозначно связанных с соответствующим образом упорядоченным операторов Ĝ через преобразование Вейля (см. преобразование Вигнера – Вейля и свойство 7 ниже), что напоминает классическую теорию вероятностей .

В частности, оператор словар ожидаемое значением является «фазовым пространством среднего» из Вигнера преобразования этого оператора,

${\ displaystyle \ langle {\ hat {G}} \ rangle = \ int \! dx \, dp ~ W (x, p) ~ g (x, p) ~.}$

1. W ( x ,  p ) - вещественная функция.

2. Распределения вероятностей x и p задаются маргинальными номерами :

${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} dp \, W (x, p) = \ langle x | {\ hat {\ rho}} | x \ rangle.}$Если систему можно описать чистым состоянием , получится ${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} dp \, W (x, p) = | \ psi (x) | ^ {2}}$.

${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} dx \, W (x, p) = \ langle p | {\ hat {\ rho}} | p \ rangle.}$Если систему можно описать чистым состоянием , то ${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} dx \, W (x, p) = | \ varphi (p) | ^ {2}}$.

${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} dx \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} dp \, W (x, p) = Tr ({\ hat {\ rho}} ).}$

Обычно след матрицы плотности ρ̂ равен 1.

3. W ( x , p ) имеет следующие симметрии отражения:

• Симметрия времени: ${\ Displaystyle \ psi (x) \ rightarrow \ psi (x) ^ {*} \ Rightarrow W (x, p) \ rightarrow W (x, -p).}$
• Симметрия пространства: ${\ Displaystyle \ psi (x) \ rightarrow \ psi (-x) \ Rightarrow W (x, p) \ rightarrow W (-x, -p).}$

4. W ( x , p ) ковариантно по Галилею:

${\ Displaystyle \ psi (x) \ rightarrow \ psi (x + y) \ Rightarrow W (x, p) \ rightarrow W (x + y, p).}$

Это не ковариантность Лоренца .

5. Уравнение движения для каждой точки фазового пространства является классическим при отсутствии сил:

${\ Displaystyle {\ frac {\ partial W (x, p)} {\ partial t}} = {\ frac {-p} {m}} {\ frac {\ partial W (x, p)} {\ partial Икс}}.}$

Фактически, это классический стиль даже при наличии гармонических сил.

6. Перекрытие состояний рассчитывается как:

${\ displaystyle | \ langle \ psi | \ theta \ rangle | ^ {2} = 2 \ pi \ hbar \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} dx \, \ int _ {- \ infty} ^ { \ infty} dp \, W _ {\ psi} (x, p) W _ {\ theta} (x, p).}$

7. Ожидаемые значения оператора (средние) вычисляются как средние по фазовому пространству соответствующих преобразований Вигнера:

${\ displaystyle g (x, p) \ Equiv \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} dy \, \ left \ langle x - {\ frac {y} {2}} \ right | {\ hat { G}} \ left | x + {\ frac {y} {2}} \ right \ rangle e ^ {ipy / \ hbar},}$

${\ displaystyle \ langle \ psi | {\ hat {G}} | \ psi \ rangle = Tr ({\ hat {\ rho}} {\ hat {G}}) = \ int _ {- \ infty} ^ { \ infty} dx \, \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} dp \, W (x, p) g (x, p).}$

8. Чтобы W ( x , p ) представляли физические (положительные) матрицы плотности:

${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} dx \, \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} dp \, W (x, p) W _ {\ theta} (x, p ) \ geq 0 ~,}$

для всех чистых состояний | θ〉.

9. В силу неравенства Коши – Шварца для чистого состояния оно ограничено:

${\ displaystyle - {\ frac {2} {h}} \ leq W (x, p) \ leq {\ frac {2} {h}}.}$

Эта оценка исчезает в классическом пределе, H → 0. В этом пределе, W ( х , р ) сводится к плотности вероятности в координатном пространстве х , обычно сильно локализованной, умноженной на б-функций в импульсном: классический предел «остроконечный ". Таким образом, эта квантово-механическая граница исключает функцию Вигнера, которая является идеально локализованной дельта-функцией в фазовом пространстве, как отражение принципа неопределенности. ^[6]

Преобразование 10. Вигнера это просто преобразование Фурье из antidiagonals матрицы плотности, когда эта матрица выражается в положении основе. ^[7]

Позволять ${\ displaystyle | m \ rangle \ Equiv {\ frac {a ^ {\ dagger m}} {\ sqrt {m!}}} | 0 \ rangle}$ быть ${\ displaystyle m}$-м Фока состояние из гармонического осциллятора квантового . Groenewold (1946) обнаружил, что ассоциированная с ней функция Вигнера в безразмерных переменных есть

$${\ displaystyle W_ {| m \ rangle} (x, p) = {\ frac {(-1) ^ {m}} {\ pi}} e ^ {- (x ^ {2} + p ^ {2}) )} L_ {m} (2 (p ^ {2} + x ^ {2})),}$$

${\ Displaystyle L_ {m} (х)}$

${\ displaystyle m}$

Это может следовать из выражения для статических волновых функций собственного состояния: ${\ displaystyle u_ {m} (x) = \ pi ^ {- 1/4} H_ {m} (x) e ^ {- x ^ {2} / 2}}$, где ${\ displaystyle H_ {m}}$ это ${\ displaystyle m}$-й многочлен Эрмита . Из приведенного выше определения функции Вигнера после замены переменных интегрирования

${\ displaystyle W_ {| m \ rangle} (x, p) = {\ frac {(-1) ^ {m}} {\ pi ^ {3/2} 2 ^ {m} m!}} e ^ { -x ^ {2} -p ^ {2}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} d \ zeta e ^ {- \ zeta ^ {2}} H_ {m} (\ zeta -ip + x) H_ {m} (\ zeta -ip-x).}$

Тогда выражение следует из интегральной связи между полиномами Эрмита и Лагерра. ^[8]

Преобразование Вигнера является общим обратимое преобразование из оператора G на гильбертовом пространстве к функции г (х, р) на фазовом пространстве , и задается

${\ displaystyle g (x, p) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} ds ~ e ^ {ips / \ hbar} \ left. \ left \ langle x - {\ frac {s} {2 }} \ right. \ right | \ {\ hat {G}} \ left. \ left | x + {\ frac {s} {2}} \ right. \ right \ rangle.}$

Эрмитовы операторы отображаются в вещественные функции. Обратное к этому преобразованию, то есть из фазового пространства в гильбертово пространство, называется преобразованием Вейля ,

${\ displaystyle \ langle x | \ {\ hat {G}} \ | y \ rangle = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {dp \ over h} ~ e ^ {ip (xy) / \ hbar} g \ left ({x + y \ over 2}, p \ right),}$

(не путать с отдельным преобразованием Вейля в дифференциальной геометрии ).

Функция Вигнера W ( х, р ) , обсуждаемый здесь, таким образом , видно, что преобразование Вигнера матрицы плотности оператора р . Таким образом, след оператора с матрицей плотности Вигнера превращается в эквивалентное перекрытие интеграла фазового пространства g ( x ,  p ) с функцией Вигнера.

Преобразование Вигнера эволюционного уравнения фон Неймана для матрицы плотности в картине Шредингера имеет вид

Уравнение эволюции Мойала для функции Вигнера,

${\ Displaystyle {\ partial W (x, p, t) \ over \ partial t} = - \ {\ {W (x, p, t) ~, ~ H (x, p) \} \} ~,}$

где H (x, p) гамильтонова, а {{•, •}} скобка Мойала . В классическом пределе ħ → 0 скобка Мойала сводится к скобке Пуассона, а это эволюционное уравнение сводится к уравнению Лиувилля классической статистической механики.

Строго формально, с точки зрения квантовых характеристик , решение этого эволюционного уравнения имеет вид${\ Displaystyle W (x, p, t) = W (\ star (x _ {- t} (x, p), p _ {- t} (x, p)), 0)}$, где ${\ Displaystyle х_ {т} (х, р)}$ а также ${\ Displaystyle р_ {т} (х, р)}$являются решениями так называемых квантовых уравнений Гамильтона с начальными условиями${\ Displaystyle х_ {т = 0} (х, р) = х}$ а также ${\ Displaystyle р_ {т = 0} (х, р) = р}$, и где ⋆ {\ displaystyle \ star} -состав продукта понимается для всех функций аргумента.

Однако поскольку ${\ displaystyle \ star}$-композиция полностью нелокальна («квантовая вероятностная жидкость» распространяется, как наблюдал Мойал), остатки локальных траекторий обычно едва различимы в эволюции функции распределения Вигнера. ^[b] В интегральном представлении ★ -продуктов их последовательные операции были адаптированы к интегралу по путям в фазовом пространстве, чтобы решить это уравнение эволюции для функции Вигнера ^[9] (см. также ^{[10] [11] [ 12]} ). Эта нетраекторная особенность временной эволюции Мойала ^[13] проиллюстрирована в галерее ниже для гамильтонианов, более сложных, чем гармонический осциллятор.