Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В математике и математической физике , комплекс пространство - время расширяет традиционное представление о пространстве - времени , описываемое вещественными пространства и время координат для комплекснозначных пространства и времени координат. Это понятие полностью математическое и не подразумевает физики, но его следует рассматривать как инструмент, например, как показано на примере вращения Вика .

Реальные и сложные пространства [ править ]

Математика [ править ]

Комплексификация из реального векторного пространства приводит к комплексному векторному пространству (над комплексным числом полем ). « Комплексизировать » пространство означает расширить обычное скалярное умножение векторов на действительные числа до скалярного умножения на комплексные числа . Для комплексифицированных пространств внутренней продукции , то комплекс скалярного произведение на векторах заменяет обычное вещественный скалярное произведение , пример последних являются скалярным произведением .

В математической физике, когда мы комплексифицировать в реальном пространстве координат R п мы создаем комплексное координатное пространство C п , о которой говорится в дифференциальной геометрии как « комплексное многообразие » . Пространство C n может быть связано с R 2 n , поскольку каждое комплексное число представляет собой два действительных числа.

Комплекс пространственно - временная геометрия относится к метрическому тензору быть сложным, а не само пространством.

Физика [ править ]

Пространство Минковского из специальной теории относительности (SR) и общей теории относительности (ОТО) представляет собой 4-мерное « псевдоевклидово пространство » векторное пространство. Пространство- время, лежащее в основе полевых уравнений Альберта Эйнштейна , которые математически описывают гравитацию , представляет собой реальное 4-мерное « Псевдориманово многообразие ».

В КМ волновые функции, описывающие частицы, являются комплексными функциями реальных пространственных и временных переменных. Набор всех волновых функций данной системы представляет собой бесконечномерное комплексное гильбертово пространство .

История [ править ]

Представление о пространстве-времени, имеющем более четырех измерений, представляет интерес само по себе с математической точки зрения. Его появление в физике может быть связано с попытками объединить фундаментальные взаимодействия , первоначально гравитацию и электромагнетизм . Эти идеи преобладают в теории струн и за ее пределами. Идеи комплексного пространства-времени уделялось значительно меньше внимания, но она рассматривалась вместе с уравнением Лоренца – Дирака и уравнениями Максвелла. [1] [2] Другие идеи включают отображение реального пространства-времени в комплексное пространство представления SU (2, 2) , см. Теорию твисторов . [3]

В 1919 году Калуца опубликовал свой 5-мерное расширение общей теории относительности , чтобы Альберта Эйнштейна , [4] , который был впечатлен тем , как уравнения электромагнетизма возникло из теории Калуцы. В 1926 году Оскар Кляйн предположил [5], что дополнительное измерение Калуцы может быть « свернуто » в чрезвычайно маленький круг, как если бы круговая топология скрыта внутри каждой точки пространства. Вместо того, чтобы быть другим пространственным измерением, дополнительное измерение можно было бы рассматривать как угол, который создавал гипер-измерение, когда он вращался на 360 °. Эта теория 5d называетсяТеория Калуцы – Клейна .

В 1932 году Синь П. Со из Массачусетского технологического института под руководством Артура Эддингтона опубликовал теорию, пытающуюся объединить гравитацию и электромагнетизм в рамках сложной четырехмерной римановой геометрии . В элементе линия DS 2 является -комплекснозначным, так что действительная часть соответствует массе и гравитации, в то время как мнимая часть с зарядом и электромагнетизмом. Обычные координаты пространства x , y , z и времени t сами по себе реальны, а пространство-время не является сложным, но касательные пространства могут быть такими. [6]

В течение нескольких десятилетий после публикации своей общей теории относительности в 1915 году Альберт Эйнштейн пытался объединить гравитацию с электромагнетизмом , чтобы создать единую теорию поля, объясняющую оба взаимодействия. В последние годы Второй мировой войны Альберт Эйнштейн начал рассматривать сложные геометрии пространства-времени различных видов. [7]

В 1953 году Вольфганг Паули обобщена [8] теория Калуцы-Клейна в шесть-мерном пространстве, и ( с помощью размерной редукции ) вывел основы в (2) SU калибровочной теории (применяемой в QM к электрослабого взаимодействия ), как если бы «Свернувшийся» круг Клейна стал поверхностью бесконечно малой гиперсферы .

В 1975 году Ежи Плебанский опубликовал «Некоторые решения сложных уравнений Альберта Эйнштейна». [9]

Были попытки сформулировать уравнение Дирака в комплексном пространстве-времени путем аналитического продолжения . [10]

См. Также [ править ]

  • Строительство сложной нулевой тетрады
  • Четыре вектора
  • Гильбертово пространство
  • Твистор пространство
  • Сферическая основа
  • Вектор Римана – Зильберштейна.

Ссылки [ править ]

  1. ^ Траутман, А. (1962). «Обсуждение современного состояния теории относительности - Аналитические решения лоренц-инвариантных линейных уравнений». Proc. Рой. Soc. . 270 (1342): 326–328. Bibcode : 1962RSPSA.270..326T . DOI : 10,1098 / rspa.1962.0222 .
  2. Перейти ↑ Newman, ET (1973). «Уравнения Максвелла и комплексное пространство Минковского». J. Math. Phys . Американский институт физики. 14 (1): 102–103. Bibcode : 1973JMP .... 14..102N . DOI : 10.1063 / 1.1666160 .
  3. ^ Пенроуз, Роджер (1967), "Твисторная алгебра" , Журнал математической физики , 8 (2): 345-366, Bibcode : 1967JMP ..... 8..345P , DOI : 10,1063 / 1,1705200 , MR 0216828 , архивируется из оригинала от 12 января 2013 г. , получено 14 июня 2015 г. 
  4. Перейти ↑ Pais, Abraham (1982). Тонкий Господь ...: Наука и жизнь Альберта Эйнштейна . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. С. 329–330.
  5. ↑ Оскар Кляйн (1926). "Quantentheorie und fünfdimensionale Relativitätstheorie". Zeitschrift für Physik . 37 (12): 895–906. Bibcode : 1926ZPhy ... 37..895K . DOI : 10.1007 / BF01397481 .
  6. ^ Сох, HP (1932). «Теория гравитации и электричества». J. Math. Phys. (Массачусетский технологический институт) . 12 (1–4): 298–305. DOI : 10.1002 / sapm1933121298 .
  7. ^ Эйнштейн, А. (1945), "Обобщение релятивистской теории гравитации", Ann. математики. , 46 (4): 578-584, DOI : 10,2307 / 1969197 , JSTOR 1969197 
  8. ^ Н. Штрауманн (2000). «Об изобретении Паули неабелевой теории Калуцы – Клейна в 1953 году». arXiv : gr-qc / 0012054 . Цитировать журнал требует |journal=( помощь )
  9. ^ Плебанский, J. (1975). «Некоторые решения сложных уравнений Эйнштейна». Журнал математической физики . 16 (12): 2395–2402. Bibcode : 1975JMP .... 16.2395P . DOI : 10.1063 / 1.522505 . S2CID 122814301 . 
  10. ^ Марк Дэвидсон (2012). «Исследование уравнения Лоренца-Дирака в комплексном пространстве-времени для ключей к зарождающейся квантовой механике» . Журнал физики: Серия конференций . 361 (1): 012005. Bibcode : 2012JPhCS.361a2005D . DOI : 10.1088 / 1742-6596 / 361/1/012005 .

Дальнейшее чтение [ править ]

  • Хуберт Ф. М. Геннер (2014). «К истории единой теории поля. Часть II (ок. 1930 - ок. 1965)» . Живые обзоры в теории относительности . 17 (5): 5. Bibcode : 2014LRR .... 17 .... 5G . DOI : 10.12942 / LRR-2014-5 . PMC  5255905 . PMID  28179849 .
  • Кайзер, Джеральд (2009). «Квантовая физика, теория относительности и сложное пространство-время: к новому синтезу». arXiv : 0910.0352 [ math-ph ].