Звездчатость

Построение звездчатого двенадцатиугольника : правильный многоугольник с символом Шлефли {12/5}.

В геометрии , плеяде'ученое это процесс расширения на полигон в двух измерениях , многогранник в трех измерениях, или, в общем случае , многогранник в п размерах , чтобы сформировать новую фигуру. Начиная с исходной фигуры, процесс расширяет определенные элементы, такие как ее края или плоскости граней, обычно симметрично, до тех пор, пока они снова не встретятся друг с другом, чтобы сформировать замкнутую границу новой фигуры. Новая фигура представляет собой звездообразную форму оригинала. Слово stellation происходит от латинского stellātus , « звездный », которое, в свою очередь, происходит от латинского stella , «звезда».

Определение Кеплера [ править ]

В 1619 году Кеплер определил звездчатость для многоугольников и многогранников как процесс расширения ребер или граней до тех пор, пока они не встретятся, чтобы сформировать новый многоугольник или многогранник.

Он построил звездчатый правильный додекаэдр, чтобы получить два правильных звездчатых многогранника, малый звездчатый додекаэдр и большой звездчатый додекаэдр . Он также создал звездчатый правильный октаэдр, чтобы получить стеллу octangula , правильное соединение двух тетраэдров.

Звездчатые многоугольники [ править ]

Симметричная звездчатость правильного многоугольника создает правильный звездообразный многоугольник или многоугольное соединение . Эти многоугольники характеризуются числом m, которое многоугольная граница наматывается вокруг центра фигуры. Как и у всех правильных многоугольников, их вершины лежат на окружности. m также соответствует количеству вершин по кругу, чтобы добраться от одного конца данного ребра до другого, начиная с 1.

Регулярная звезда многоугольника представлена своим Шлефли символ { п / м }, где п есть число вершин, т является шагом используются в секвенирования краев вокруг него, а м и п являются взаимно простым (не имеет общий фактора ). Случай m = 1 дает выпуклый многоугольник { n }. m также должно быть меньше половины n ; в противном случае линии будут либо параллельны, либо расходятся, не позволяя фигуре когда-либо сомкнуться.

Если у n и m есть общий множитель, то фигура - правильное соединение. Например, {6/2} - это правильное соединение двух треугольников {3} или гексаграмма , а {10/4} - соединение двух пентаграмм {5/2}.

Некоторые авторы используют символ Шлефли для таких регулярных соединений. Другие считают, что этот символ указывает на единственный путь, который проходит m раз.п/мвершинные точки, так что одно ребро накладывается на другое, и каждая вершина посещается m раз. В этом случае для соединения может использоваться модифицированный символ, например 2 {3} для гексаграммы и 2 {5/2} для обычного соединения двух пентаграмм.

Правильный n -угольник имеетп - 4/2созвездиях , если п является даже ( в предположении соединения нескольких вырожденного digons не считается), ип - 3/2созвездиях , если п является нечетным .

Пентаграмма , {5/2}, является единственным плеяде'ученой из пятиугольника	Гексаграмма , {6/2}, то плеяде'ученая из шестиугольника и соединение двух треугольников.	Эннеагон (девятиугольник) {9} имеет 3 enneagrammic формы: {9/2}, {9/3}, {9/4}, с {9/3} представляет собой соединение 3 треугольников.
У семиугольника есть две формы гептаграммы : {7/2}, {7/3}

Как и семиугольник , то восьмиугольника также имеет два octagrammic созвездий, один, {8/3} будучи звездой многоугольник , а другие, {8/2}, будучи соединением двух квадратов .

Звездчатые многогранники [ править ]

Многогранник образуется звездочкой путем удлинения граней или граней многогранника до тех пор, пока они снова не встретятся, чтобы сформировать новый многогранник или соединение. Внутренность нового многогранника разделена гранями на ряд ячеек. Плоскости граней многогранника могут разделять пространство на множество таких ячеек, и по мере продолжения звездчатого процесса все больше этих ячеек будет заключено в них. Для симметричного многогранника эти ячейки будут разделены на группы или множества конгруэнтных ячеек - мы говорим, что ячейки в таком конгруэнтном множестве принадлежат к одному типу. Распространенный метод поиска звездчатых звездочек включает выбор одного или нескольких типов клеток.

Это может привести к огромному количеству возможных форм, поэтому часто вводятся дополнительные критерии, чтобы сократить набор до тех звездчатых, которые в некотором роде значительны и уникальны.

Набор ячеек, образующих замкнутый слой вокруг его ядра, называется оболочкой. Для симметричного многогранника оболочка может состоять из одного или нескольких типов ячеек.

На основе таких идей было выделено несколько ограничительных категорий интересов.

• Основные звёздчатые. Добавление последовательных оболочек к сердцевинному многограннику приводит к набору звездчатых линий.
• Полностью поддерживаемые звездчатые формы. Нижняя сторона ячейки может выглядеть снаружи как «выступ». В полностью поддерживаемой звёздчатой ​​форме такие выступы отсутствуют, и все видимые части лица видны с одной и той же стороны.
• Моноакральные звездочки. Буквально «однопостовый». Если в звёздчатой ​​форме присутствует только один вид пика или вершины (т. Е. Все вершины конгруэнтны в пределах одной орбиты симметрии), звёздчатость является моноакральной. Все такие звёздчатые формы полностью поддерживаются.
• Первичные звездчатые. Если многогранник имеет плоскости зеркальной симметрии, ребра, попадающие в эти плоскости, считаются лежащими в первичных линиях. Если все ребра лежат в основных линиях, звездчатость является первичной. Полностью поддерживаются все основные звездчатые формы.
• Звездочки Миллера. В «Пятьдесят девять икосаэдров» Кокстер , Дю Валь, Флатер и Петри записывают пять правил, предложенных Миллером . Хотя эти правила относятся конкретно к геометрии икосаэдра, они были адаптированы для работы с произвольными многогранниками. Они обеспечивают, среди прочего, сохранение вращательной симметрии исходного многогранника и то, что каждая звездчатая звезда отличается по внешнему виду. Все четыре только что определенные формы звездчатости являются подмножествами звездчатых звезд Миллера.

Мы также можем выделить некоторые другие категории:

• Частичные плеяде'ученый один , где не все элементы заданной размерности вытянуты.
• Суб-симметричного плеяде'ученый один , где не все элементы расширяются симметрично.

В Архимеде твердые и двойственные также могут быть звездообразными. Здесь мы обычно добавляем правило, согласно которому все исходные плоскости граней должны присутствовать в звездчатой ​​форме, т.е. мы не рассматриваем частичные звездчатые формы. Например, куб обычно не считается звёздчатым кубооктаэдром .

Обобщая правила Миллера, можно выделить:

• 4 звездочки ромбического додекаэдра
• 187 звёздчатых звёзд триакисного тетраэдра
• 358 833 097 звёздчатых звёзд ромбического триаконтаэдра
• 17 созвездиях в кубооктаэдр (4 приведены в Веннингер «ы многогранника моделей )
• Неизвестное количество звёздчатых звёзд икосододекаэдра ; нехиральных звёздчатых звездочек 7071671, но количество хиральных звёздочек неизвестно. (20 показаны в Веннингер «ы многогранника моделей )

Семнадцать невыпуклых однородных многогранников являются звездчатыми архимедовыми телами.

Правила Миллера [ править ]

В книге «Пятьдесят девять икосаэдров» Дж. К. П. Миллер предложил набор правил для определения того, какие звездчатые формы следует считать «должным образом значимыми и отличными».

Эти правила адаптированы для использования со звёздчатыми элементами многих других многогранников. По правилам Миллера мы находим:

• У тетраэдра нет звёздчатой ​​формы , потому что все грани смежные.
• У куба нет звёздчатой ​​формы , потому что несмежные грани параллельны и, следовательно, не могут быть расширены, чтобы встретиться на новых ребрах.
• Имеется 1 звёздчатая форма октаэдра , stella octangula.
• У додекаэдра есть 3 звездообразных формы : малый звездчатый додекаэдр , большой додекаэдр и большой звездчатый додекаэдр , все из которых являются многогранниками Кеплера – Пуансо.
• Икосаэдр состоит из 58 звёздчатых звёзд , включая большой икосаэдр (один из многогранников Кеплера – Пуансо), а также вторую и последнюю звёздчатую форму икосаэдра. 59-я модель в «Пятьдесят девяти икосаэдрах» - это сам оригинальный икосаэдр.

Многие «звездочки Миллера» не могут быть получены напрямую с помощью метода Кеплера. Например, у многих есть полые центры, в которых полностью отсутствуют исходные грани и ребра многогранника ядра: не остается ничего, что могло бы быть звездчатым. С другой стороны, метод Кеплера также дает звездчатые формы, которые запрещены правилами Миллера, поскольку их ячейки связаны ребрами или вершинами, даже если их грани представляют собой одиночные многоугольники. Это несоответствие не привлекало особого внимания до Inchbald (2002).

Другие правила звездчатости [ править ]

Правила Миллера никоим образом не представляют «правильный» способ перечисления звёздчатых чисел. Они основаны на объединении частей на звездчатой ​​диаграмме определенным образом и не принимают во внимание топологию получаемых граней. Таким образом, есть некоторые вполне разумные звездчатые формы икосаэдра, которые не входят в их список - одна из них была идентифицирована Джеймсом Бриджем в 1974 году, в то время как некоторые "звездчатые формы Миллера" вызывают сомнения относительно того, следует ли их вообще рассматривать как звездчатые - одна из Набор икосаэдров состоит из нескольких совершенно разрозненных ячеек, симметрично плавающих в пространстве.

Пока еще не полностью разработан альтернативный набор правил, который учитывает это. Наибольший прогресс был достигнут на основе представления о том, что звездчатость - это процесс, обратный или двойственный по отношению к фасетке , в результате чего части многогранника удаляются из многогранника без создания каких-либо новых вершин. Для каждой звёздчатости некоторого многогранника существует двойная фасетка двойственного многогранника , и наоборот. Изучая грани двойственного, мы получаем представление о звездчатых формах оригинала. Бридж обнаружил свою новую звездчатую форму икосаэдра, изучив грани его двойного додекаэдра.

Некоторые многогранники придерживаются точки зрения, что звездчатость - это двусторонний процесс, так что любые два многогранника, имеющие одну и ту же плоскость граней, являются звездообразными друг от друга. Это понятно, если кто-то разрабатывает общий алгоритм, подходящий для использования в компьютерной программе, но в остальном он не особенно полезен.

Многие примеры звездчатых звезд можно найти в списке звездчатых моделей Веннингера .

Звездчатые многогранники [ править ]

Звездчатый процесс можно применить и к многогранникам более высокой размерности. Плеяде'ученая диаграмма из п -многогранника существует в ( п  - 1) -мерной гиперплоскости данной грани .

Например, в четырехмерном пространстве 120-элементный звездчатый многогранник является последним звездчатым элементом обычного 120-элементного 4-многогранника .

Именование звёздчатых знаков [ править ]

Первым систематическим названием звездчатых многогранников было присвоение Кэли правильных звездных многогранников (ныне известных как многогранники Кеплера – Пуансо ). Эта система широко, но не всегда систематически применялась для других многогранников и высших многогранников.

Джон Конвей разработал терминологию для звездчатых многоугольников , многогранников и полихор (Coxeter 1974). В этой системе процесс расширения края , чтобы создать новую фигуру называется плеяде'ученым , что из наполняющих граней называется greatening и что из наполняющих клеток называются возвеличиванием (последнее не относится к многогранникам). Это позволяет систематически использовать такие слова, как «звездчатый», «великий» и «великий» при разработке названий для получающихся фигур. Например, Конвей предложил несколько незначительных вариаций названий многогранников Кеплера – Пуансо .

Звёздчатость до бесконечности [ править ]

Веннингер заметил, что некоторые многогранники, например куб, не имеют конечных звёздчатых элементов. Однако звездчатые ячейки могут быть сконструированы как призмы, простирающиеся до бесконечности. Фигуру, составляющую эти призмы, можно назвать звёздочкой в ​​бесконечность . Однако по большинству определений многогранников эти звёздчатые формы не являются строго многогранниками.

Фигуры Веннингера возникли как двойники однородных гемиполиэдров , где грани, проходящие через центр, направляются в вершины «на бесконечность».

От математики к искусству [ править ]

Помимо своего вклада в математику, Магнус Веннингер описывается в контексте взаимосвязи математики и искусства как создание «особенно красивых» моделей сложных звездчатых многогранников. ^[1]

Итальянское Возрождение художник Паоло Уччелло создал мозаичный пол , показывая небольшой звездчатый додекаэдр в базилике Святого Марка, Венеция , с. 1430. Изображение Уччелло использовалось в качестве символа Венецианской биеннале 1986 года на тему «Искусство и наука». ^[2] То же плеяде'ученых занимает центральное место в двух литографий по MC Escher : Контраст (порядка и хаоса) , 1950, и Гравитация , 1952. ^[3]

См. Также [ править ]

• Пятьдесят девять икосаэдров
• Список моделей многогранников Веннингера Включает 44 звездчатых формы октаэдра, додекаэдра, икосаэдра и икосододекаэдра, перечисленных в книге Магнуса Веннингера "Модели многогранников" 1974 года.
• Полиэдрическое соединение Включает 5 обычных соединений и 4 двойных правильных соединения.
• Список многогранных звездчатых

Ссылки [ править ]

• Мост, Нью-Джерси; Огранка додекаэдра, Acta Crystallographica A30 (1974), стр. 548–552.
• Кокстер , HSM; Правильные комплексные многогранники (1974).
• Кокстер , HSM; Du Val, P .; Flather, HT; и Петри, Дж. Ф. Пятьдесят девять икосаэдров , 3-е издание. Стрэдброк, Англия: Публикации Тарквин (1999).
• Inchbald, G .; В поисках потерянных икосаэдров, The Mathematical Gazette 86 (2002), стр. 208-215.
• Messer, P .; Звёздчатые формы ромбического триаконтаэдра и за его пределами, Симметрия: культура и наука , 11 (2000), стр. 201–230.
• Веннингер, Магнус (1974). Модели многогранников . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-09859-9. CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
• Веннингер, Магнус (1983). Двойные модели . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-24524-9. CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. «Звездчатость» . MathWorld .
• Звёздчатость икосаэдра и огранка додекаэдра
• Stella: Polyhedron Navigator - Программа для исследования многогранников и печати сетей для их физического построения. Включает однородные многогранники, звёздчатые формы, соединения, тела Джонсона и т. Д.
• Перечень звёздчатых знаков
• Владимир Булатов Зубчатые многогранники.
• Апплет Владимира Булатова Polyhedra Stellations в виде приложения для OS X
• Апплет звёздчатой ​​формы
• Интерактивное создание звёздчатых многогранников различной симметрии
• Пятьдесят девять икосаэдров - апплет
• 59 Звёздчатые формы Икосаэдра, Джордж Харт
• Звездчатая форма: красивая математика
• Дальнейшие звездчатые формы однородных многогранников, Джон Лоуренс Хадсон The Mathematical Intelligencer, Том 31, номер 4, 2009 г.