Предел (математика)
В математике предел — это значение, к которому функция (или последовательность ) приближается, когда вход (или индекс) приближается к некоторому значению . [1] Пределы важны для вычислений и математического анализа и используются для определения непрерывности , производных и интегралов .
Понятие предела последовательности далее обобщается на понятие предела топологической сети и тесно связано с пределом и прямым пределом в теории категорий .
(хотя некоторые авторы могут использовать «Lt» вместо «lim» [2] ) и читается как «предел f от x , когда x приближается к c , равному L ». Тот факт, что функция f приближается к пределу L , когда x приближается к c , иногда обозначается стрелкой вправо (→ или ), как в
который читается как « склонен к как склонен ».
означает, что f ( x ) можно сделать настолько близким к L , насколько это необходимо, сделав x достаточно близким к c . [3] В этом случае приведенное выше уравнение можно прочитать как «предел f для x , когда x приближается к c , равен L ».
Огюстен-Луи Коши в 1821 году [4] , а затем Карл Вейерштрасс формализовали определение предела функции, которое стало известно как (ε, δ)-определение предела . В определении используется ε (строчная греческая буква эпсилон ) для представления любого небольшого положительного числа, так что « f ( x ) становится произвольно близким к L » означает, что f ( x ) в конечном итоге лежит в интервале ( L − ε , L + ε ), который также может быть записан с использованием абсолютного значения как | ж ( Икс ) - L | < е . [4] Фраза «по мере приближения x к c » указывает на то, что мы имеем в виду значения x , расстояние которых от c меньше некоторого положительного числа δ (строчная греческая буква дельта ), то есть значения x в пределах ( c − δ , c ) или ( c , c + δ) , что может быть выражено с помощью 0 < | х - с | < δ . Первое неравенство означает, что x ≠ c , а второе указывает, что x находится на расстоянии δ от c . [4]
