В математической физике , то теория Де Донде-Вейля является обобщением гамильтонов формализм в вариационном исчислении и классической теории поля над пространства - времени , которая рассматривает пространственные и временные координаты на равных. В этой структуре гамильтонов формализм в механике обобщается на теорию поля таким образом, что поле представляется как система, которая изменяется как в пространстве, так и во времени. Это обобщение отличается от канонического гамильтонова формализма. в теории поля, которая рассматривает пространственные и временные переменные по-разному и описывает классические поля как бесконечномерные системы, эволюционирующие во времени.
Уравнения Де Дондера – Вейля: |
Формулировка теории поля де Дондера – Вейля
Теория Де Дондера – Вейля основана на замене переменных, известной как преобразование Лежандра . Пусть x i - координаты пространства-времени для i = от 1 до n (где n = 4 представляет 3 + 1 измерения пространства и времени), а y - полевые переменные, для a = от 1 до m , а L - плотность лагранжиана.
С полимоментом p i a, определяемым как
и гамильтонова функция Де Дондера – Вейля H, определяемая как
в уравнениях Де Донд-Вейль являются: [1]
Эта гамильтонова форма де Дондера-Вейля уравнений поля ковариантна и эквивалентна уравнениям Эйлера-Лагранжа, когда преобразование Лежандра к переменным p i a и H не является сингулярным. Теория представляет собой формулировку ковариантной гамильтоновой теории поля, которая отличается от канонического гамильтонова формализма и для n = 1 сводится к гамильтоновой механике (см. Также принцип действия в вариационном исчислении ).
Герман Вейль в 1935 году разработал теорию Гамильтона-Якоби для теории Де Дондера-Вейля. [2]
Аналогично гамильтонов формализм в механике , сформулированном с использованием симплектических геометрий в фазовом пространстве теория Де Донд-Вейль может быть сформулирована с использованием multisymplectic геометрии или polysymplectic геометрии и геометрии струйных расслоений .
Обобщение скобок Пуассона на теорию Де Дондера – Вейля и представление уравнений Де Дондера – Вейля в терминах обобщенных скобок Пуассона, удовлетворяющих алгебре Герстенхабера, было найдено Канатчиковым в 1993 году [3].
История
Формализм, ныне известный как теория Де Дондера – Вейля (DW), был разработан Теофилем Де Дондером [4] [5] и Германом Вейлем . Герман Вейль сделал свое предложение в 1934 году, вдохновившись работами Константина Каратеодори , которые, в свою очередь, были основаны на работах Вито Вольтерра . Работа Де Дондера с другой стороны исходили из теории интегральных инвариантов в Эли Картана . [6] Теория Де Дондера – Вейля была частью вариационного исчисления с 1930-х годов и первоначально нашла очень мало приложений в физике. Недавно он был применен в теоретической физике в контексте квантовой теории поля [7] и квантовой гравитации . [8]
В 1970 году Енджей Снятицкий, автор книги « Геометрическое квантование и квантовая механика» , разработал инвариантную геометрическую формулировку струйных пучков , опираясь на работы Де Дондера и Вейля. [9] В 1999 году Игорь Канатчиков показал, что ковариантные гамильтоновы полевые уравнения Де Дондера – Вейля могут быть сформулированы в терминах матриц Даффина – Кеммера – Петио . [10]
Смотрите также
- Гамильтонова теория поля
- Ковариантная гамильтонова теория поля
дальнейшее чтение
- Избранные статьи по ГЕОДЕЗИЧЕСКИМ ПОЛЯМ, Перевод и редакция Д.Х. Дельфениха. Часть 1 [2] , Часть 2 [3]
- HA Kastrup, Канонические теории лагранжевых динамических систем в физике, Physics Reports, Volume 101, Issues 1-2, Pages 1-167 (1983).
- Марк Дж. Готей, Джеймс Изенберг, Джерролд Э. Марсден, Ричард Монтгомери: «Карты моментов и классические релятивистские поля. Часть I: Ковариантная теория поля» arXiv : Physics / 9801019
- Корнелиус Пауфлер, Хартманн-Ремер: уравнения Де Дондера – Вейля и мультисимплектическая геометрия , Reports on Mathematical Physics, vol. 49 (2002), нет. 2–3, с. 325–334
- Кшиштоф Маурин: Наследие Римана: римановы идеи в математике и физике , часть II, глава 7.16 Теории поля для вариационного исчисления кратных интегралов , Kluwer Academic Publishers, ISBN 0-7923-4636-X , 1997, с. 482 сл.
Рекомендации
- ^ Ханно Рунд, "Теория Гамильтона-Якоби в вариационном исчислении: ее роль в математике и физике", Ван Ностранд, Рейнхольд, 1966.
- ^ Герман Вейль, "Геодезические поля в вариационном исчислении для кратных интегралов", Ann. Математика. 36, 607 (1935). https://www.jstor.org/stable/1968645
- ^ Игорь В. Канатчиков: О канонической структуре ковариантной гамильтоновой формулировки де Дондера – Вейля теории поля I. Градуированные скобки Пуассона и уравнения движения , arXiv: hep-th / 9312162v1 (представлено 20 декабря 1993 г.).
- ^ Теофиль Де Донд, "Théorie invariantive ее Расчитать де вариация," Готье-Виллар, 1930. [1]
- ^ Фредерик Хелей: гамильтонов формализм для многомерного вариационного исчисления и теории возмущений В Хаиме Брезис Феликс Э. Браудер, Аббас Бахри, Серджиу Клейнерман, Майкл Vogelius (объявления.): Некомпактная проблема при пересечении геометрии, анализа и топология , американский Математическое общество, 2004, с. 127–148, с. 131 , ISBN 0-8218-3635-8 ,
- ^ Роджер Белявски, Кевин Хьюстон , Мартин Спейт: вариационные задачи в дифференциальной геометрии , Серия лекций Лондонского математического общества, № 394, Университет Лидса, 2009 г. ISBN 978-0-521-28274-1 , стр. 104 ф.
- ↑ Игорь Канатчиков: Теория Де Дондера – Вейля и гиперкомплексное расширение квантовой механики на теорию поля , arXiv: hep-th / 9810165v1 (представлено 21 октября 1998 г.)
- ^ И. В. Канатчиков: Доканоническая квантовая гравитация: квантование без пространственно-временного разложения , arXiv: gr-qc / 0012074 (представлено 20 декабря 2000 г.)
- ^ Jędrzej Śniatycki, 1970. Цитируется после: Иветт Косманна Шварзбов : Нётер теорем: Инвариантности и законов сохранения в 20 - м века , Springer, 2011, ISBN 978-0-387-87867-6 , стр. 111
- ^ Игорь В. Канатчиков: О формулировке Даффина – Кеммера – Петио ковариантной гамильтоновой динамики в теории поля , arXiv: hep-th / 9911 / 9911175v1 (представлено 23 ноября 1999 г.)