Гамильтонова теория поля

Классическая механика
Часть серии по
${\ displaystyle {\ textbf {F}} = {\ frac {d} {dt}} (м {\ textbf {v}})}$ Второй закон движения
История График Учебники
ветви Применяемый Небесный Континуум Динамика Кинематика Кинетика Статика Статистическая
Основы Ускорение Угловой момент Пара Принцип Даламбера Энергия кинетический потенциал Сила Точка зрения Инерциальная система отсчета Импульс Инерция / момент инерции Масса Механическая мощность Механическая работа Момент Импульс Космос Скорость Время Крутящий момент Скорость Виртуальная работа
Составы Законы движения Ньютона Аналитическая механика Лагранжева механика Гамильтонова механика Рутианская механика Уравнение Гамильтона – Якоби Уравнение движения Аппеля Механика Купмана – фон Неймана
Основные темы Коэффициент демпфирования Смещение Уравнения движения Законы движения Эйлера Фиктивная сила Трение Гармонический осциллятор Инерциальная / неинерциальная система отсчета Механика движения плоских частиц Движение ( линейное ) Закон всемирного тяготения Ньютона Законы движения Ньютона Относительная скорость Жесткое тело динамика Уравнения Эйлера Простые гармонические колебания Вибрация
Вращение Круговое движение Вращающаяся опорная рамка Центростремительная сила Центробежная сила реактивный Сила Кориолиса Маятник Тангенциальная скорость Скорость вращения Угловое ускорение / перемещение / частота / скорость
Ученые Кеплер Галилео Гюйгенс Ньютон Хоррокс Галлей Даниэль Бернулли Иоганн Бернулли Эйлер д'Аламбер Clairaut Лагранж Лаплас Гамильтон Пуассон Коши Раут Liouville Appell Гиббс Купман фон Нейман
Категории ► Классическая механика
v т е

В теоретической физике , теории гамильтонова поля является поле теоретико-аналог классической механики Гамильтона . Это формализм в классической теории поля наряду с лагранжевой теорией поля . Он также имеет приложения в квантовой теории поля .

Определение [ править ]

Гамильтониан для системы дискретных частиц является функцией их обобщенных координат и сопряженных импульсов, и , возможно, время. Для континуумов и полей гамильтонова механика непригодна, но ее можно расширить, рассматривая большое количество точечных масс и взяв непрерывный предел, то есть бесконечное количество частиц, образующих континуум или поле. Поскольку каждая точечная масса имеет одну или несколько степеней свободы , формулировка поля имеет бесконечно много степеней свободы.

Одно скалярное поле [ править ]

Плотность гамильтониана является непрерывным аналогом для полей; это функция полей, сопряженных полей "импульса" и, возможно, самих координат пространства и времени. Для одного скалярного поля $φ (x, t)$ плотность гамильтониана определяется из плотности лагранжиана как ^{[nb 1]}

{\ displaystyle {\ mathcal {H}} (\ phi, \ pi, \ mathbf {x}, t) = {\ dot {\ phi}} \ pi - {\ mathcal {L}} (\ phi, \ nabla \ phi, \ partial \ phi / \ partial t, \ mathbf {x}, t) \ ,.}

с $\nabla$ на «Del» или оператор «Nabla» , $х$ является вектор положения некоторой точки в пространстве, и $т$ является время . Плотность лагранжиана является функцией полей в системе, их пространственных и временных производных и, возможно, самих пространственных и временных координат. Это полевой аналог функции Лагранжа для системы дискретных частиц, описываемой обобщенными координатами.

Как и в гамильтоновой механике, где каждая обобщенная координата имеет соответствующий обобщенный импульс, поле $φ (x, t)$ имеет поле сопряженного импульса $π (x, t)$ , определяемое как частная производная плотности лагранжиана по производной по времени от поле,

{\ displaystyle \ pi = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {\ phi}}}} \ ,, \ quad {\ dot {\ phi}} \ Equiv {\ гидроразрыв {\ partial \ phi} {\ partial t}} \ ,,}

в котором точка ^{[nb 2]} обозначает частную производную по времени $\partial / \partial t$ , а не полную производную по времени $d / dt$ .

Многие скалярные поля [ править ]

Для многих полей $φ i (x, t)$ и их сопряженных $π i (x, t)$ плотность гамильтониана является функцией их всех:

{\ Displaystyle {\ mathcal {H}} (\ phi _ {1}, \ phi _ {2}, \ ldots, \ pi _ {1}, \ pi _ {2}, \ ldots, \ mathbf {x} , t) = \ sum _ {i} {\ dot {\ phi _ {i}}} \ pi _ {i} - {\ mathcal {L}} (\ phi _ {1}, \ phi _ {2} , \ ldots \ nabla \ phi _ {1}, \ nabla \ phi _ {2}, \ ldots, \ partial \ phi _ {1} / \ partial t, \ partial \ phi _ {2} / \ partial t, \ ldots, \ mathbf {x}, t) \ ,.}

где каждое сопряженное поле определяется относительно своего поля,

\pi _{i}(\mathbf {x} ,t)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\phi }}_{i}}}\,.

В общем, для любого числа полей объемный интеграл плотности гамильтониана дает гамильтониан в трех пространственных измерениях:

H=\int {\mathcal {H}}\ d^{3}x\,.

Плотность гамильтониана - это гамильтониан на единицу пространственного объема. Соответствующее измерение - [энергия] [длина] ⁻³ в единицах СИ Джоули на кубический метр, Дж м ⁻³ .

Тензорные и спинорные поля [ править ]

Приведенные выше уравнения и определения могут быть распространены на векторные поля и в более общем плане тензорные поля и спинорные поля . В физике тензорные поля описывают бозоны, а спинорные поля описывают фермионы .

Уравнения движения [ править ]

В уравнения движения для полей аналогичны уравнениям Гамильтона для дискретных частиц. Для любого количества полей:

Уравнения гамильтонова поля

${\dot {\phi }}_{i}=+{\frac {\delta {\mathcal {H}}}{\delta \pi _{i}}}\,,\quad {\dot {\pi }}_{i}=-{\frac {\delta {\mathcal {H}}}{\delta \phi _{i}}}\,,$

где точки снова являются частными производными по времени, вариационная производная по полям

{\frac {\delta }{\delta \phi _{i}}}={\frac {\partial }{\partial \phi _{i}}}-\nabla \cdot {\frac {\partial }{\partial (\nabla \phi _{i})}}-{\frac {\partial }{\partial t}}{\frac {\partial }{\partial (\partial \phi _{i}/\partial t)}}\,,

с скалярным произведением , должны использоваться вместо простых частных производных . В обозначении тензорного индекса (включая соглашение о суммировании ) это

{\frac {\delta }{\delta \phi _{i}}}={\frac {\partial }{\partial \phi _{i}}}-\partial _{\mu }{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\phi _{i})}}

где $\partial μ$ - четыре градиента .

Фазовое пространство [ править ]

Поля $φ i$ и сопрягающие $π i$ образуют бесконечномерное фазовое пространство , поскольку поля имеют бесконечное число степеней свободы.

Скобка Пуассона [ править ]

Для двух функций, которые зависят от полей $φ i$ и $π i$ , их пространственных производных, а также пространственных и временных координат,

A=\int d^{3}x{\mathcal {A}}\left(\phi _{1},\phi _{2},\ldots ,\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\nabla \phi _{1},\nabla \phi _{2},\ldots ,\nabla \pi _{1},\nabla \pi _{2},\ldots ,\mathbf {x} ,t\right)\,,

B=\int d^{3}x{\mathcal {B}}\left(\phi _{1},\phi _{2},\ldots ,\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\nabla \phi _{1},\nabla \phi _{2},\ldots ,\nabla \pi _{1},\nabla \pi _{2},\ldots ,\mathbf {x} ,t\right)\,,

и поля равны нулю на границе объема, по которому берутся интегралы, теоретико-полевая скобка Пуассона определяется как (не путать с коммутатором из квантовой механики). ^[1]

[A,B]_{\phi ,\pi }=\int d^{3}x\sum _{i}\left({\frac {\delta {\mathcal {A}}}{\delta \phi _{i}}}{\frac {\delta {\mathcal {B}}}{\delta \pi _{i}}}-{\frac {\delta {\mathcal {B}}}{\delta \phi _{i}}}{\frac {\delta {\mathcal {A}}}{\delta \pi _{i}}}\right)\,,

где - вариационная производная $\delta {\mathcal {F}}/\delta f$

{\frac {\delta {\mathcal {F}}}{\delta f}}={\frac {\partial {\mathcal {F}}}{\partial f}}-\sum _{i}\nabla _{i}{\frac {\partial {\mathcal {F}}}{\partial (\nabla _{i}f)}}\,.

При тех же условиях исчезновения полей на поверхности для временной эволюции $A$ справедлив (аналогично для $B$ ) следующий результат :

{\frac {dA}{dt}}=[A,H]+{\frac {\partial A}{\partial t}}

которое можно найти из полной производной по времени от $A$ , интегрирования по частям и с использованием указанной выше скобки Пуассона.

Явная независимость от времени [ править ]

Следующие результаты верны, если плотности лагранжиана и гамильтониана явно не зависят от времени (они все еще могут иметь неявную зависимость от времени через поля и их производные),

Плотность кинетической и потенциальной энергии [ править ]

Плотность гамильтониана - это полная плотность энергии, сумма плотности кинетической энергии ( ) и плотности потенциальной энергии ( ), ${\mathcal {T}}$ ${\mathcal {V}}$

{\mathcal {H}}={\mathcal {T}}+{\mathcal {V}}\,.

Уравнение неразрывности [ править ]

Взяв частную производную по времени из определения плотности гамильтониана, приведенного выше, и используя цепное правило для неявного дифференцирования и определение поля сопряженного импульса, получаем уравнение неразрывности :

{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {S} =0

в котором плотность гамильтониана можно интерпретировать как плотность энергии, а

\mathbf {S} ={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\nabla \phi )}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}

поток энергии, или поток энергии в единицу времени на единицу площади поверхности.

Релятивистская теория поля [ править ]

Ковариантная гамильтонова теория поля - это релятивистская формулировка гамильтоновой теории поля.

Гамильтонова теория поля обычно означает симплектический гамильтонов формализм в применении к классической теории поля , который принимает форму мгновенного гамильтонова формализма на бесконечномерном фазовом пространстве и где канонические координаты являются полевыми функциями в некоторый момент времени. ^[2] Этот гамильтонов формализм применяется к квантованию полей , например, в квантовой калибровочной теории . В ковариантной гамильтоновой теории поля канонические импульсы p ^μ_i соответствуют производным полей по всем мировым координатам x ^μ . ^[3]Ковариантные уравнения Гамильтона эквивалентны уравнениям Эйлера-Лагранжа в случае гиперрегулярных лагранжианов . Ковариантная гамильтонова теория поля развивается в вариантах Гамильтона – Де Дондера ^[4], полисимплектического ^[5], мультисимплектического ^[6] и k -симплектического ^[7] вариантов. Фазовое пространство ковариантной гамильтоновой теории поля - это конечномерное полисимплектическое или мультисимплектическое многообразие.

Гамильтонова неавтономная механика формулируется как ковариантная гамильтонова теория поля на пучках волокон по оси времени, то есть на действительной прямой .

См. Также [ править ]

Аналитическая механика
Теория де Дондера – Вейля
Четыре вектора
Каноническое квантование
Гамильтонова механика жидкости
Ковариантная классическая теория поля
Полисимплектическое многообразие
Неавтономная механика

Заметки [ править ]

^ Это стандартное злоупотребление обозначениями - сокращать все производные и координаты в плотности лагранжиана следующим образом:
${\mathcal {L}}(\phi ,\partial _{\mu }\phi ,x_{\mu })$
$Μ$ является индексом , который принимает значения 0 (для координаты времени), а также 1, 2, 3 (для пространственных координат), так строго только одно производных или координат будет присутствовать. В общем, все пространственные и временные производные появятся в плотности лагранжиана, например, в декартовых координатах плотность лагранжиана имеет полный вид:
${\mathcal {L}}\left(\phi ,{\frac {\partial \phi }{\partial x}},{\frac {\partial \phi }{\partial y}},{\frac {\partial \phi }{\partial z}},{\frac {\partial \phi }{\partial t}},x,y,z,t\right)$
Здесь мы пишем то же самое, но с помощью ∇ для сокращения всех пространственных производных как вектора.
^ Это стандартное обозначение в данном контексте, большая часть литературы не упоминает явно, что это частная производная. В общем случае полные и частные производные функции по времени не совпадают.

Цитаты [ править ]

↑ Greiner & Reinhardt 1996 , Глава 2
^ Готэй, М., Мультисимплектическая основа для классической теории поля и вариационного исчисления. II. Разложение пространства + времени, в "Механике, анализе и геометрии: 200 лет после Лагранжа" (Северная Голландия, 1991).
^ Giachetta Г., Mangiarotti Л., Сарданашвили, Г. , "Advanced Классическая теория поля", World Scientific, 2009, ISBN 978-981-283-895-7 .
^ Крупкова, О., Гамильтонова теория поля, J. Geom. Phys. 43 (2002) 93.
^ Джачетта, Г., Манджиаротти, Л., Сарданашвили, Г. , Ковариантные гамильтоновы уравнения для теории поля, J. Phys. A32 (1999) 6629; arXiv : hep-th / 9904062 .
^ Эчеверрия-Энрикес, А., Мунос-Леканда, М., Роман-Рой, Н., Геометрия мультисимплектических гамильтоновых теорий поля первого порядка, J. Math. Phys. 41 (2002) 7402.
^ Рей, А., Роман-Рой, Н. Салдаго, М., Формализм Гюнтера ( k -симплектический формализм) в классической теории поля: подход Скиннера-Раска и оператор эволюции, J. Math. Phys. 46 (2005) 052901.

Ссылки [ править ]

Бадин, G .; Кришиани, Ф. (2018). Вариационная формулировка гидродинамики и геофизической гидродинамики - механика, симметрии и законы сохранения - . Springer. п. 218. DOI : 10.1007 / 978-3-319-59695-2 . ISBN 978-3-319-59694-5.
Гольдштейн, Герберт (1980). «Глава 12: Непрерывные системы и поля». Классическая механика (2-е изд.). Сан-Франциско, Калифорния: Эддисон Уэсли. С. 562–565. ISBN 0201029189. CS1 maint: discouraged parameter (link)
Greiner, W .; Райнхардт, Дж. (1996), Квантование поля , Springer, ISBN 3-540-59179-6 CS1 maint: discouraged parameter (link)
Феттер, Алабама; Валецка, JD (1980). Теоретическая механика частиц и сплошных сред . Дувр. С. 258–259. ISBN 978-0-486-43261-8.

[1] Это стандартное злоупотребление обозначениями - сокращать все производные и координаты в плотности лагранжиана следующим образом:
${\mathcal {L}}(\phi ,\partial _{\mu }\phi ,x_{\mu })$
$Μ$ является индексом , который принимает значения 0 (для координаты времени), а также 1, 2, 3 (для пространственных координат), так строго только одно производных или координат будет присутствовать. В общем, все пространственные и временные производные появятся в плотности лагранжиана, например, в декартовых координатах плотность лагранжиана имеет полный вид:
${\mathcal {L}}\left(\phi ,{\frac {\partial \phi }{\partial x}},{\frac {\partial \phi }{\partial y}},{\frac {\partial \phi }{\partial z}},{\frac {\partial \phi }{\partial t}},x,y,z,t\right)$
Здесь мы пишем то же самое, но с помощью ∇ для сокращения всех пространственных производных как вектора.

[2] Это стандартное обозначение в данном контексте, большая часть литературы не упоминает явно, что это частная производная. В общем случае полные и частные производные функции по времени не совпадают.

[3] Greiner & Reinhardt 1996 , Глава 2

[4] Готэй, М., Мультисимплектическая основа для классической теории поля и вариационного исчисления. II. Разложение пространства + времени, в "Механике, анализе и геометрии: 200 лет после Лагранжа" (Северная Голландия, 1991).

[5] Giachetta Г., Mangiarotti Л., Сарданашвили, Г. , "Advanced Классическая теория поля", World Scientific, 2009, ISBN 978-981-283-895-7 .

[6] Крупкова, О., Гамильтонова теория поля, J. Geom. Phys. 43 (2002) 93.

[7] Джачетта, Г., Манджиаротти, Л., Сарданашвили, Г. , Ковариантные гамильтоновы уравнения для теории поля, J. Phys. A32 (1999) 6629; arXiv : hep-th / 9904062 .

[8] Эчеверрия-Энрикес, А., Мунос-Леканда, М., Роман-Рой, Н., Геометрия мультисимплектических гамильтоновых теорий поля первого порядка, J. Math. Phys. 41 (2002) 7402.

[9] Рей, А., Роман-Рой, Н. Салдаго, М., Формализм Гюнтера ( k -симплектический формализм) в классической теории поля: подход Скиннера-Раска и оператор эволюции, J. Math. Phys. 46 (2005) 052901.