Диофант и диофантовы уравнения - это книга по истории математики , история диофантовых уравнений и их решения Диофантом Александрийским. Первоначально она была написана на русском языке по Изабеллы Башмакова , и опубликованы Наука в 1972 году под названием Диофант и диофантовы уравнения . [1] Он был переведен на немецкий язык Людвигом Боллем как Diophant und diophantische Gleichungen ( Birkhäuser , 1974) [2] и на английский язык Абэ Шеницером как Diophantus and Diophantine Equations.(Dolciani Mathematical Expositions 20, Математическая ассоциация Америки , 1997). [3] [4] [5]
Темы [ править ]
В том смысле, который рассматривается в книге, диофантово уравнение - это уравнение, записанное с использованием многочленов , коэффициенты которых являются рациональными числами . Эти уравнения должны быть решены путем нахождения значений рациональных чисел для переменных, которые при включении в уравнение делают его истинным. Хотя существует также хорошо разработанная теория целочисленных (а не рациональных) решений полиномиальных уравнений, она не включена в эту книгу. [2]
Диофант Александрийский изучал уравнения этого типа во втором веке нашей эры. Согласно общепринятому мнению ученых, Диофант находил решения только определенных уравнений и не имел методов решения общих семейств уравнений. Например, Герман Ганкель писал о работах Диофанта, что «не просматривается ни малейшего следа общего, всеобъемлющего метода; каждая проблема требует какого-то особого метода, который отказывается работать даже с наиболее тесно связанными проблемами». [6] Напротив, тезис книги Башмаковой состоит в том, что у Диофанта действительно были общие методы, о которых можно судить по сохранившимся записям о его решениях этих проблем. [3]
В первой главе книг рассказывается, что известно о Диофанте и его современниках, и дается обзор проблем, опубликованных Диофантом. Во второй главе рассматривается математика, известная Диофанту, в том числе его разработка отрицательных чисел, рациональных чисел и степеней чисел, а также его философия математики, рассматривающая числа как безразмерные величины , что является необходимым предварительным условием использования неоднородных многочленов . Третья глава приносит в более современных концепций алгебраической геометрии в том числе степени и рода в качестве алгебраической кривой и рациональных отображений и бирациональными эквивалентностей между кривыми. [3]
В главах четвертая и пятая касается конических сечений и теоремы о том, что когда у коники есть хотя бы одна рациональная точка, у нее их бесконечно много. Глава шесть охватывает использование секущих генерировать бесконечное множество точек на кубической кривой плоскость , рассматриваемое в современной математике в качестве примера группового закона о эллиптических кривых . Глава седьмая касается теоремы Ферма о суммах двух квадратов и возможности того, что Диофант мог знать какую-либо форму этой теоремы. Остальные четыре главы прослеживают влияние Диофанта и его работ через Гипатию.и в Европу XIX века, уделяя особое внимание развитию теории эллиптических кривых и их группового закона. [3]
Немецкое издание добавляет дополнительный материал, в том числе отчет Джозефа Х. Сильвермана о прогрессе в доказательстве Великой теоремы Ферма . [4] Обновленная версия того же материала была включена в английский перевод. [3]
Аудитория и прием [ править ]
Чтобы прочитать эту книгу, требуется очень мало математических знаний. [1] Несмотря на «сомнения по поводу исторических заявлений Башмаковой», рецензент Дэвид Грейвс пишет, что «в этой замечательной маленькой книжке заключено огромное количество материала, как математического, так и исторического», и рекомендует ее любому теоретику или исследователю истории. математики . [3] Рецензент Алан Осборн также положителен, написав, что книга «хорошо составлена, ... предлагает значительную историческую информацию, предлагая читателю изучить большую часть математики». [5]
Ссылки [ править ]
- ^ a b Боллинг, Р., "Обзор уравнений Диофант и диофантовы ", Математические обзоры и zbMATH (на немецком языке), MR 0414483 , Zbl 0241.01003
- ^ a b Steiner, R., "Review of Diophant und diophantische Gleichungen ", Mathematical Reviews , MR 0485648
- ^ a b c d e f Грейвс, Дэвид (февраль 1999 г.), "Обзор Диофанта и диофантовых уравнений " , Обзоры МАА , Математическая ассоциация Америки
- ^ a b Gundlach, K.-B., "Обзор Диофанта и диофантовых уравнений ", zbMATH (на немецком языке), Zbl 0883.11001
- ^ a b Осборн, Алан (январь 1999 г.), «Обзор Диофанта и диофантовых уравнений », The Mathematics Teacher , 92 (1): 70, JSTOR 27970826
- ↑ Hankel, Hermann (1874), Zur Geschichte der Mathematik в Alterthum und Mittelalter (на немецком языке), Лейпциг: Teubner, стр. 164–165. Как переведено у Либбрехта, Ульриха (2005), « Китайская математика в тринадцатом веке» , Довер, стр. 218, ISBN 9780486446196
